正态分布-2025届高三数学一轮复习考点规范练

考点规范练59　正态分布 一、基础巩固 1.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是(　　) A.E(X)=1 B.D(X)=0.4 C.P(X>1)=0.5 D.D(X)=0.16 2.(多选)甲、乙两名高中同学历次数学测试的成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　) 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近 D.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.158 65 3.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.该校学生每周平均阅读时间为9 h B.该校学生每周阅读时间的标准差为4 C.该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.3% D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5 h的人数约为214 4.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>-1)+P(X≥5)=1,则μ=(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.已知某大型企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,52),则适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制　　　　　套.  6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过的汽车超过700辆的概率为　　　　　.  7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名学生. (1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率; (2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值. 二、综合应用 8.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其概率分布密度函数为f(x)=,则下列说法正确的是 (　　) A.该地水稻的平均株高为100 cm B.该地水稻株高的方差为10 C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大 D.随机测量一株水稻,其株高在区间(80,90)和(100,110)的概率相等 9.在某次数学摸底考试中,学生的成绩X近似服从正态分布N(100,σ2),若P(X>120)=a,P(80<X<100)=b,直线l:ax+by+=0与圆C:x2+y2=2相切,则直线l的方程为　　　　　　　.  10.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件连接而成,连接方式如图所示.若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),则这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为　　　　　台.  11.(2023辽宁大连模拟)为深入学习党的二十大精神,某学校团委组织了“青春向党百年路,奋进学习二十大”知识竞赛活动,并从中抽取了200份试卷进行调查,这200份试卷的成绩(卷面共100分)频率分布直方图如图所示. (1)用样本估计总体,求此次知识竞赛的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). (2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ,σ的近似值).已知样本标准差s≈7.36,若有84.14%的学生的竞赛成绩不低于学校期望的平均分,则学校期望的平均分约为多少(结果取整数)? (3)从[80,100]的试卷中用分层随机抽样的方法抽取10份试卷,再从这10份样本中随机抽测i(1≤i≤6)份试卷(抽测的份数是随机的),若已知抽测的i份试卷都不低于90分,求抽测3份的概率. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 三、探究创新 12.某人每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的质量(单位:g)服从均值为1 000,标准差为50的正态分布. (1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为X,求X的分布列和均值; (2)为判断面包师有没有撒谎,他每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如表,经计算,25个面包的总质量为24 468 g. 购买的25个面包质量的统计数据(单位:g): 981 972 966 992 1 010 1 008 954 952 969 978 989 1 001 1 006 957 952 969 981 984 952 959 987 1 006 1 000 977 966 尽管上述数据都落在区间(950,1 050)内,但他还是认为面包师撒谎.根据所附信息,从概率角度说明理由. 附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~N; ②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3; ③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件. 考点规范练59　正态分布 1.B　因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16), 所以μ=1,σ=0.4, 所以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5. 2.ACD　由曲线知,甲同学的平均成绩为75,乙同学的平均成绩为85,所以乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩,故A正确,B错误. 由曲线可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近,故C正确. 若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.5-0.682 7=0.158 65,故D正确. 故选ACD. 3.AD　因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9 h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误. 因为P(3≤X≤15)≈0.997 3, 所以P(X≤3)=0.001 35, 所以该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误. 因为P(5≤X≤13)≈0.954 5,所以P(3≤X≤5)=[P(3≤X≤15)-P(5≤X≤13)]≈0.021 4, 所以每周阅读时间在3~5 h的人数约为10 000×0.021 4=214,故D正确. 4.D　因为P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1, 所以P(X≥5)=P(X≤-1). 又X~N(μ,σ2),所以μ==2. 5.1 359　因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.682 7, P(162≤X≤182)≈0.954 5,所以P(177≤X≤182)=[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.135 9. 所以适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制10 000×0.135 9=1 359(套). 6　因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=, 所以P(X>700)=[1-P(500≤X≤700)]= 所以所求概率为1- 7.解 (1)因为X~N(80,σ2),所以P(X>85)=P(X<75)=0.3, 所以P(80<X<85)=0.5-P(X>85)=0.2,P(95<X<100)=P(X>95)=0.1, P(85<X<95)=0.5-0.2-0.1=0.2. 故所求概率P=0.2×0.2×0.1=0.024. (2)因为X~N(80,σ2),P(80<X<85)=0.2, 所以P(75<X<85)=2P(80<X<85)=0.4. 由题意知Y~B(3,0.4), 则P(Y=0)=0.63=0.216, P(Y=1)=0.4×0.62=0.432, P(Y=2)=0.42×0.6=0.288, P(Y=3)=0.43=0.064. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(Y)=3×0.4=1.2. 8.AC　由题意可知μ=100,σ=10,所以该地水稻的平均株高为100 cm,该地水稻株高的方差为100.故A正确,B错误. 因为X~N(100,102), 所以P(90≤X≤110)≈0.682 7,P(80≤X≤120)≈0.954 5,P(70≤X≤130)≈0.997 3. 所以P(X>120)=[1-P(80≤X≤120)]≈0.022 75, P(X<70)=[1-P(70≤X≤130)]≈0.001 35, P(80<X<90)=[P(80≤X≤120)-P(90≤X≤110)]≈0.135 9, P(100<X<110)=P(90≤X≤110)≈0.341 35. 所以株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大,株高在区间(80,90)和(100,110)的概率不相等. 故C正确,D错误. 9.x+y+2=0　由题意可知P(X<100)=,P(X≤80)=P(X>120)=a, 因为P(X≤80)+P(80<X<100)=P(X<100), 所以a+b= ① 因为直线l:ax+by+=0与圆C:x2+y2=2相切, 所以,即a2+b2= ② 由①②解得a=b= 所以直线l的方程为x+y+=0, 即x+y+2=0. 10.375　因为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(10 000,102), 所以三个电子元件的使用寿命超过10 000小时的概率均为 由题意可知该部件的使用寿命超过10 000小时的概率为 所以这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为1 000=375(台). 11.解 (1)由频率分布直方图可知,平均分为(65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015)×10=80.5. (2)由(1)可知X~N(80.5,7.362),设学校期望的平均分约为m,则P(X≥m)=0.841 4. 因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-σ≤X≤μ)≈0.341 4, 所以P(X≥μ-σ)≈0.841 4, 即P(X≥73.14)≈0.841 4, 所以学校期望的平均分约为73分. (3)由频率分布直方图可知,分数在[80,90)和[90,100]的频率分别为0.35和0.15,那么按照分层随机抽样抽取10人,其中分数在[80,90)的应抽取10=7人, 分数在[90,100]的应抽取10=3人. 记事件Ai:抽测i(i=1,2,3)份试卷,事件B:取出的试卷都不低于90分, 则P(Ai)=,P(B|Ai)= 故P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=()=, 则P(A3|B)= 12.解 (1)由题意知,从面包师出售的面包中任取一个,其质量大于1 000 g的概率为,X~B, 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)= 故X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=2=1. (2)依题意,假设面包师没有撒谎,则面包师出售的面包的质量Y(单位:g)服从正态分布N(1 000,502). 根据附①,可知从面包师出售的面包中任取25个,其平均质量Z(单位:g)服从正态分布N(1 000,102). 故P(980≤Z≤1 020)≈0.954 5,P(Z<980)=0.022 75<0.05, 即事件“抽取的25个面包的平均质量小于980 g”为小概率事件. 而购买的25个面包的总质量为24 468 g,平均质量为978.72 g,小于980 g, 即小概率事件发生,故认为假设不成立,即认为面包师撒谎. 学科网（北京）股份有限公司 $$