离散型随机变量的数字特征-2025届高三数学一轮复习考点规范练

考点规范练57　离散型随机变量的数字特征 一、基础巩固 1.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则E(X)等于(　　) A.2 B.2或 C. D.1 2.现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为.设对该项目投资10万元,一年后的利润为X(单位:万元),则X的均值为(　　) A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38 3.(多选)袋内有除颜色外其他完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个球,直到取出白球后停止,则(　　) A.取2次后停止的概率为 B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的概率为 C.取球次数X的均值为2 D.取球次数X的方差为 4.(多选)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则下列结论正确的是(　　) A.E(X)= B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)= 5.某公司有5万元资金用于投资某开发项目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.统计过去200例类似投资项目的结果如表所示. 投资成功 投资失败 192例 8例 则估计该公司投资该项目一年后可获收益的均值为　　　　　元.  6.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,x1<x2,E(X)=,D(X)=2,则x1+x2=　　　　　.  7.某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,全为黑球的概率为,则黑球的个数为　　　　　;若记取出的3个球中黑球的个数为X,则D(X)=　　　　　.  8.空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为　　　　　;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则随机变量X的均值为　　　　　.  9.现有甲、乙两个项目,对甲、乙两个项目分别投资20万元,甲项目一年后利润是1万元、2万元、4万元的概率分别是;乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化,乙项目在一年内,价格最多可进行两次调整,每次调整的概率为p(0<p<1),设乙项目一年内价格调整次数为X,当X取0,1,2时,一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设Y1,Y2分别表示对甲、乙两个项目各投资20万元一年后的利润. (1)写出Y1,Y2的概率分布列和均值; (2)当E(Y1)>E(Y2)时,求p的取值范围. 10.某企业计划在某地建立饮品基地进行饮品A,B,C的研发. (1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A每件的利润为4元,饮品B每件的利润为3元,饮品C每件的利润为7元,请估计三种饮品每件的平均利润. (2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为,新饮品研发成功的概率为,且工艺改进与饮品研发相互独立. ①求工艺改进和新饮品研发恰有一项成功的概率; ②若工艺改进成功,则企业可获利80万元,否则亏损30万元;若饮品研发成功,则企业可获利150万元,否则亏损70万元.求该企业获利X的均值. 二、综合应用 11.某大学对该校参加了某博览会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,已知某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为,他们考核所得的等次相互独立. (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀的概率; (2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列和均值E(X). 12.某环保机器制造商对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案. 方案一:交纳延保金5 000元,在延保的5年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1 000元; 方案二:交纳延保金6 230元,在延保的5年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费t(1 000≤t≤2 000)元. 该制造商搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内的维修次数,统计得到下表. 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 40 80 60 以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数. (1)求X的分布列; (2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据,为使选择方案二对客户更合算,应把t定在什么范围? 三、探究创新 13.某学校为鼓励家校互动,与某手机通信商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:G)的数据,其频率分布直方图如下: 若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题. (1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过3 G的概率; (2)现该通信商推出三款流量套餐,详情如下: 套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/G A 20 3 B 30 5 C 38 7 这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值2 G流量,资费20元;如果又超出充值流量,那么系统就再次自动帮用户充值2 G流量,资费20元,以此类推.如果当月流量有剩余,那么系统将自动清零,无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,则学校订购哪一款套餐最经济?说明理由. 考点规范练57　离散型随机变量的数字特征 1.C　由题意知=1,a>0,解得a=1. 所以E(X)=0+1故选C. 2.A　由题意可知E(X)=1.2+1.18+1.17=1.18. 3.BD　依题意,取球次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1= 故E(X)=1+2+3, D(X)= 设事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数”,则P(A)=P(X=2)=,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=故选BD. 4.AB　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=, 所以P(X=1)=, 所以E(X)=0+1, D(X)= 所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2. 故选AB. 5.4 760　依题意,用频率估计概率,可知一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故估计一年后可获收益的均值为6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元). 6　由题意可知E(X)=x1+x2=, D(X)==2, 因为x1<x2,所以x1=-,x2=所以x1+x2= 7.3　　设黑球的个数为n,由题意可知, 解得n=3. X的可能取值为1,2,3, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)= 故X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)=1+2+3, D(X)= 8　依题意,从7天中随机抽取3天,有=35(种)取法,其中至少有1天空气质量为良的取法有=25(种), 故抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为 由已知得X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)= 故E(X)=0+1+2+3 9.解 (1)依题意,Y1的分布列为 Y1 1 2 4 P Y2的分布列为 Y2 3 2 1 P (1-p)2 2p(1-p) p2 则E(Y1)=1+2+4, E(Y2)=3×(1-p)2+2×2p(1-p)+1×p2=3-2p. (2)由E(Y1)>E(Y2),得3-2p<,解得p> 又0<p<1,所以<p<1,所以p的取值范围是 10.解 (1)根据题中条形图可得样本中选择饮品A的频率为0.35,选择饮品B的频率为0.45,选择饮品C的频率为0.2,则样本中三种饮品每件的平均利润为4×0.35+3×0.45+7×0.2=4.15(元). 故估计三种饮品每件的平均利润为4.15元. (2)①设事件A=“工艺改进成功”,B=“新饮品研发成功”,C=“工艺改进和新饮品研发恰有一项成功”.由题意可知A,B相互独立,P(A)=,P(B)=, 故P(C)=P(A)+P(B)= ②由已知得X的可能取值为-100,10,120,230, P(X=-100)=, P(X=10)=, P(X=120)=, P(X=230)= 故E(X)=-100+10+120+230 11.解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀”为事件E, 则事件A,B,C相互独立,事件与事件E是对立事件. 故P(E)=1-P()=1-P()P()P()=1- (2)依题意,X的可能取值为,2,,3, 则P=P()=, P(X=2)=P(A)+P()+P(C)=, P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=, P(X=3)=P(ABC)= 故X的分布列为 X 2 3 P E(X)=+2+3 12.解 (1)依题意,每台机器维修次数为0,1,2,3的概率分别为,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6, 则P(X=0)=,P(X=1)=2=,P(X=2)=2+,P(X=3)=2+2=, P(X=4)=2+,P(X=5)=2=,P(X=6)=, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)选择方案一,设所需费用为Y1元,则当X≤2时,Y1=5 000,当X=3时,Y1=6 000,当X=4时,Y1=7 000,当X=5时,Y5=8 000,当X=6时,Y1=9 000, 故Y1的分布列为 Y1 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 P E(Y1)=5 000+6 000+7 000+8 000+9 000=6 860. 选择方案二,设所需费用为Y2元,则当X≤4时,Y2=6 230,当X=5时,Y2=6 230+t,当X=6时,Y2=6 230+2t,故Y2的分布列为 Y2 6 230 6 230+t 6 230+2t P E(Y2)=6 230+(6 230+t)+(6 230+2t)=6 230+ 要使选择方案二对客户更合算,则E(Y2)<E(Y1), 即6 230+<6 860, 解得t<1 500.又1 000≤t≤2 000, 所以1 000≤t<1 500. 故t的取值范围为[1 000,1 500). 13.解 (1)记“从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量不超过3 G”为事件D. 依题意,P(D)=(0.000 8+0.002 2)×100=0.3. 从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过3 G的人数为X,则X~B(3,0.3), 所以从该校教师中随机抽取3人,至多有1人手机月使用流量不超过3 G的概率为P(X=0)+P(X=1)=0.30×(1-0.3)3+0.3×(1-0.3)2=0.343+0.441=0.784. (2)依题意,从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量L∈(3,5]的概率为(0.002 5+0.003 5)×100=0.6,L∈(5,7]的概率为(0.000 8+0.000 2)×100=0.1. 当学校订购A套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X1,则X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1, 所以X1的分布列为 X1 20 35 50 P 0.3 0.6 0.1 所以E(X1)=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32. 所以学校为1位教师承担的月费用的平均值为32元. 当学校订购B套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X2,则X2的所有可能取值为30,45, 且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1, 所以X2的分布列为 X2 30 45 P 0.9 0.1 所以E(X2)=30×0.9+45×0.1=31.5. 所以学校为1位教师承担的月费用的平均值为31.5元. 当学校订购C套餐时,因为每位教师的手机月使用流量均不超过7 G,所以学校为1位教师承担的月费用为38元. 因为31.5<32<38,所以学校订购B套餐最经济. 学科网（北京）股份有限公司 $$