比和比的应用（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

比和比的应用 本讲聚焦 1、比的意义、化简比及求比值 2、按比分配、化连比 3、等积式转化比 4、求复合比 01 化简比、求比值 PART.01 两数的比就是两数相除。除得的商叫比值，比值可以用分数、小数或整数表示。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 比的意义： 比的基本性质： 比、除法、分数三者之间的联系： 除法 被除数 除号 除数 商 分数 分子 分数线 分母 分数值 比 前项 比号 后项 比值 除法是一种运算 分数是一个数 比表示两个数之间的关系 比、除法、分数三者之间的区别： 例题1：①航模组的男生 14 人，女生 8 人，男生人数是女生 的 倍，女生与小组总人数的最简整数比是 ， 比值是 。 注意： 化简比要写成最简整数比，求比值可以是整数或者分数。 例题1：②60厘米： 米化成最简整数比是 ； 甲数除乙数的商是0.25，甲数：乙数＝ （填比值）。 【易学点拨】化简两个量的比，单位统一要得体。较小单位不用换，大乘进率最合理。 12 : 5 4 例题1：③甲加工3个零件用40分钟，乙加工4个零件用 小时，甲、乙的工作效率比是 。 （工作效率=工作总量÷工作时间） 9 : 16 例题1：④男生人数的 和女生的 相等，则男生和女生的人数比是 。 对于等积式我们一般假设结果为1，然后求出各个未知数。 =1 9 : 4 02 按比分配 点拨：化连比：找到公共项，求出公共项的最小公倍数，再利比的基本性质即可求出几项的连比。 例题2：①已知甲、乙两数的比是4：3，乙、丙两数的比是2：5。则甲、乙、丙三个数的比是 ，若它们的平均数是29，则乙数是 。 【点拨】化连比： 找到公共项，求出公共项的最小公倍数，再利用比的基本性质即可求出几项的连比。 甲 ：乙 =4 ：3 ×3 ×2 甲+乙+丙：29×3=87 解析： 丙 ：乙 =5 ：2 甲 ：乙 ：丙= 8：6：15 8 : 6 : 15 18 = 8 ：6 =15 ：6 例题2：②一个三角形的三个角的度数之比是2：3：5，那么它 是 角三角形。 三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 法①： 三个角的度数之比是2 ：3 ：5 法②： 三个角的度数之比是2 ：3 ：5 最大角是： 此三角形是直角三角形 三角形的三个角分别分为2份、3份、5份 总共10份，5份刚好占一半 即1800的一半900 所以这个三角形是直角三角形 直 根据三角形中最大角所占的分率来判断： 最大角所占分率 = 三角形是 三角形 最大角所占分率 > 三角形是 三角形 最大角所占分率 < 三角形是 三角形 直角 钝角 锐角 牛刀小试  在三角形中，三个角的度数之比是2 ：3 ：4，那么它是（ ）三角形。  在三角形中，三个角的度数之比是1：3 ：7，那么它是（ ）三角形。 < 锐角 > 钝角 例题2：③六年级男、女生的人数比为5：3，男生比女生多60人，则女生有 人。 假设男生有5份，则女生有3份 男生比女生多（5-3）份，多60人 每份量：60÷（5-3）=30（人） 女生：30×3=90（人） 90 例题2：④六年级电脑兴趣小组和篮球兴趣小组的人数比是2：3，电脑兴趣小组占全年级人数的 ，那么篮球兴趣小组占全年级人数的 。 电脑 ：篮球 =2 ：3 ×2 ×1 解析： 电脑 ：总数 =1 ：5 篮球 ：总数= 3：10 = 2 ：3 = 2 ：10 练习2：①已知a是b的 ， ；则 。 a : c = 8 : 9 解析： 8 : 9 a : b = 2 : 3 c : b = 3 : 4 = 8 : 12 = 9 : 12 练习2：②用一根长为48厘米的铁丝正好做一个长方体的框架。且长、宽、高的比是3:2:1。则这个长方体的体积是 立方厘米。 长+宽+高： 长： 宽： 高： 体积 ： 一份： 48 练习2：③一项工程，甲做了工程的 ，剩下的工程按3：2分给乙、丙完成。丙做了这项工程的 。 丙做的占剩下的： 丙做整个工程的： 甲 剩下： 法①： 将整项工程看作11份， 则甲做了1份 10÷（3+2）= 2（份） 丙做：2×2=4（份） 法②： 剩下：11-1=10（份） 丙做这项工程的： 乙 ： 丙 3 ： 2 练习2：④甲、乙、丙三人外出效游，午餐时，甲带有5包点心，乙带有3包点心，丙带有16元钱却没带食物，他们决定把甲、乙两人的点心平均分成三份食用；把丙的16元钱分给甲和乙，那么甲应分得多少元？ 三人共： 每人分： 甲给丙： 乙给丙： 甲：16÷（7+1）×7 = 14（元） 法①： 法②： 每包： 甲给丙： 甲： 答：甲应分得14元。 03 等积式转化比 点拨：利用等式性质或倒数法转化等积式。 例题3：甲、乙均不为零，甲数的 与乙数的 正好相等，甲、乙两数的比是 。 =1 对于等积式我们一般假设结果为1，然后求出各个未知数。 9:10 练习3：①学易优培训中心六年级男生人数的 与女生人数的 相等，那么男、女生的人数比是 。 =1 25:18 练习3：②甲、乙两根绳子，甲用去 ，乙用去后 ，两根绳子剩下长度正好同样长，甲、乙绳子原来的长度比是 。 =1 5:12 04 求复合比 点拨：我们把已知两个比或者多个比，然后通过相关运算，得到一个新比的过程叫做求复合比。 例题4：①两个长方形的长之比是3：2，宽之比是4：5，两个长方形的面积比是 。 长方形① : 长方形② 长之比 3 : 2 宽之比 4 : 5 面积比 (3×4) : (2×5) =12 : 10 =6 : 5 6 : 5 例题4：②甲车行驶的路程比乙车多 ，甲车行驶的时间却比乙车少 ，则甲、乙两车的速度比为 。 甲 ： 乙 路程比： 6 : 5 时间比： 4 : 5 速度比： (6÷4) : (3÷4) =3 : 2 3 : 2 练习4：①圆珠笔和钢笔的单价比是3：7，数量比为3：4。圆珠笔和钢笔的总价比是 。 圆珠笔 : 钢笔 单价比 3 : 7 数量比 3 : 4 总价比 (3×3) : (7×4) =9 : 28 9 : 28 练习4：②大、小两个正方形的周长比是3：2，它们的面积比是 。 大正方形 : 小正方形 周长比 3 : 2 边长比 3 : 2 面积比 (3×3) : (2×2) =9 : 4 9 : 4 练习4：③甲车行驶的路程比乙车多 ，而乙车行驶的时间却比甲车少 ，则甲、乙两车的速度比为 。 甲 ： 乙 路程比： 5 : 3 时间比： 5 : 4 速度比： (5÷5) : (3÷4) =4 : 3 4 : 3 1、判断 ① 比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数，比值不变。 （ ） ② 6克：7克的比值是 克。　 （ ） 综合巩固 × × 比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值无单位 1、判断 ③ M÷N读作“M除N”。 （ ） ④ 大牛和小象的数量比是4:5，那么大牛的数量比小象的少 。 （ ） 综合巩固 × × 注意除与除以的区别 假设大牛是 4 份，则小象是 5 份 相差：5 - 4 = 1份 大牛比小象少： 1÷5 = ( 相差量÷单位“1”) 2、填空 ①甲数除乙数的商是2.4，则甲：乙= ；如果甲、乙两数的差是14，那么乙数是 。 乙÷甲 = 2.4 = = 12 : 5 甲 : 乙 = 5 ：12 每份量：14 ÷（12 - 5）= 2 乙：2×12 =24 注意：区分 除 和 除以 ！ 5 : 12 24 2、填空 ②一个长方形周长是40厘米，长与宽的比是3:2。长方形的面积 是 平方厘米。 长+宽：40÷2=20（厘米） （长+宽）×2 = 40 每份量：20÷（3+2）=4（厘米） 长：3×4 =12（厘米） 宽：2×4 = 8（厘米） 面积：12×8 = 96（平方厘米） 96 2、填空 ③两只蜡烛长短不同，粗细也不同，长的能点7小时，短的能点10小时，同时点燃4个小时后，两只蜡烛长度正好相等，长蜡烛与短蜡烛的长度比是 。 = 7 : 5 7 : 5 =1 4小时后： ④如图所示：阴影部分面积占小圆的 ，占大圆面积的 ， 那么：（1）大圆和小圆的面积比是 ； （2）大圆和小圆的空白部分面积比是 。 =1 =12 : 5 12 : 5 =10 : 3 10 : 3 ⑤甲、乙两人，甲走的路程比乙多 ，乙走的时间比甲少 ，甲、乙两人的速度比是 。 甲 ： 乙 路程比： 7 : 6 时间比： 10 : 9 速度比：(7÷10) : (6÷9) =21 : 20 21 : 20 3、甲、乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水，已知甲瓶中盐与水的比是2：9 ，乙瓶中盐与水的比是3：10，现在把甲、乙两瓶盐水混合在一起，则盐水中盐与水的比是多少？ 甲、乙瓶容积相等 看作单位“1” 法①： =59 : 227 混合后： 答：盐水中盐与水的比是59 : 227。 3、甲、乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水，已知甲瓶中盐与水的比是2：9 ，乙瓶中盐与水的比是3：10，现在把甲、乙两瓶盐水混合在一起，则盐水中盐与水的比是多少？ 法②： 甲盐 : 甲水 : 总 = 2 : 9 : 11 = 26 : 117 : 143 乙盐 : 乙水 : 总 = 3 : 10 : 13 = 33 : 110 : 143 143 盐 : 水 =（ 26 + 33 ）:（117 + 110） = 59 : 227 混合后： 答：盐水中盐与水的比是59 : 227。 4、如图，一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形都有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲和L区域乙和丙，已知三块区域甲、乙、丙周长之比4:5:7，并且区域丙的面积48，求大正方形的面积。 小 : 中 : 大 周长比 4 : 5 : 7 边长比 4 : 5 : 7 面积比 (4×4) : (5×5) : (7×7) =16 : 25 : 49 一份：48÷（49－25）=2 大正方形：49×2 = 98 答：大正方形的面积是98。 THANKS $$