2024—-2025学年湘教版数学七年级上册培优训练提升课件

培优作业(一) 数轴、相反数、绝对值的综合 第 1 页 类型一: 数轴上的整数点的问题 1.小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上,如图所示,此时墨迹盖住的整数之和为( ) A.5 B.6 C.1 D.3 D 第 1 页 2.在数轴上有A,B两点,点A在原点左侧,点B在原点右侧,点A对应整数a,点B对应整数b,若A,B两点之间的距离为2 024,当a取最大值时,b的值是( ) A.2 025 B.2 023 C.1 012 D.1 013 B 第 1 页 3.(萧县期中)数轴上与原点的距离小于2的整数点的个数为x,不大于2的整数点的个数为y,等于2的整数点的个数为z,则x+y+z= . 10 第 1 页 类型二:利用有理数与数轴的关系解决点、数关系 4.若数轴上表示-1和3的两点分别是点A和点B,则点A和点B之间的距离是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 D 第 1 页 5.如图,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点A表示的数为( ) A.30 B.50 C.60 D.80 C 第 1 页 6.如图,数轴上的三个点中,表示负数的是点 . M 第 1 页 7.如图,数轴上的两个点分别表示-3和m,请写出一个符合条件的m的整数值: . -4(答案不唯一) 第 1 页 8.(崇左月考)在数轴上有A,B,C三点,如图所示. (1)与点A相距4个单位长度的点表示的数是什么? (2)将点B向左平移5个单位长度后,A,B,C三个点中哪一个点所表示的数最小,最小是多少? (3)将点A向右平移7个单位长度后,A,B,C三个点中哪一个点所表示的数最大,最大是多少? (4)若把原点O向左移动2个单位长度,则点A,B,C三个点所表示的数各是什么? 第 1 页 解:(1)-4+4=0;-4-4=-8. 所以与点A相距4个单位长度的点表示的数是-8或0. (2)-1-5=-6,-6<-4<2, 所以B点所表示的数最小,最小是-6. 第 1 页 (3)-4+7=3,3>2>-1, 所以A点所表示的数最大,最大是3. (4)-4+2=-2,-1+2=1,2+2=4, 则点A表示的数是-2,点B表示的数是1,点C表示的数4. 第 1 页 类型三:利用有理数和相反数的关系求字母表示的数 9.已知a,b是不为0的有理数,且|a|=-a,|b|=b,|a|>|b|,那么用数轴上的点来表示a,b时,正确的是( ) C 第 1 页 10.有理数a,b在数轴上的位置如图所示. (1)在数轴上分别用A,B两点表示-a,-b; (2)若数b与-b表示的点相距20个单位长度,则b与-b表示的数分别是什么? (3)在(2)的条件下,若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度,则a与-a表示的数是多少? 第 1 页 解:(1)如图所示. 第 1 页 (2)数b与其相反数相距20个单位长度,则b表示的点到原点的距离为 20 2=10, 所以b表示的数是-10,-b表示的数是10. (3)因为-b表示的数为10,而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度, 所以a表示的点到原点的距离为10-5=5. 所以a表示的数是5,-a表示的数是-5. 第 1 页 类型四:利用有理数和绝对值的关系求值 11.(1)若|a|=4,且a<0,则a= ; (2)若|a-2 024|=0,则a= ; (3)若|a|=3,则a= . 12.如果a与1互为相反数,则|a+2|= . -4 2 024 3 1 第 1 页 13.计算: (1)|-4 | |-1 | |5|; 解:原式= 5 =15. 第 1 页 (2)| - |+| - |+…+| - |. 解:原式= - + - +…+- =- =. 第 1 页 类型五:利用数轴比较有理数的大小 14.如图,已知数轴上点A对应的数为a,则下列结论中正确的是( ) A.-2<-a<a<2 B.-a<-2<a<2 C.-a<-2<2<a D.-2<-a<2<a C 第 1 页 类型六:利用绝对值解决实际问题 15.一天上午,出租车司机小王在东西走向的中山路上营运,如果规定向东为正,向西为负,出租车的行车里程如下(单位:km):+15,-3,+12,-11,-13,+3,-12,-18,请问小王将最后一位乘客送到目的地时,一共行驶了多少千米? 第 1 页 解:|+15|+|-3|+|+12|+|-11|+|-13|+|+3|+|-12|+|-18| =15+3+12+11+13+3+12+18 =87(km). 答:一共行驶了87 km. 第 1 页 $$培优作业(十一)　正方体的展开与折叠问题 第 1 页 类型一：找正方体的相对面 【方法指导】 快速确定正方体的展开图中相对面的方法： 第 1 页 1．找间隔：如果正方体的展开图中有3个或4个小正方形连成“一”字形，那么间隔一个小正方形的两小正方形所在的面是正方体的相对面，如图①，A与C，B与D所在的面为相对面；如图②，A与B所在的面为相对面． 第 1 页 2．找“Z”字形：在正方体的展开图中的形如“Z”字形的几个面中，位于“Z”字端的两个面是相对面．如图③④⑤中，A与B所在的面为相对面． 第 1 页 1．(1)如图，“考”的相对面上的字是 ，“成”的相对面上的字是 ； (2)如图，在正方体的展开图上编号，请写出相对面的号码：3的相对面是 ，4的相对面是 ，5的相对面是 . 功 祝 6 1 2 第 1 页 2．给一个正方体的六个面都标上颜色，要求两个相对面上的颜色都一样，那么在下列四个图形中，不可能是这一个正方体的展开图的是( ) C 第 1 页 类型二：判断正方体的展开图 【方法指导】 正方体的展开图的4个代表图形： 以上四种类型可以编成如下口诀来辅助记忆：中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河现；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线． 第 1 页 3．(六盘水中考)如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是( ) A．① B．② C．③ D．④ A 第 1 页 4．如图，正方体的展开图为( ) C 第 1 页 $$培优作业(四)　有理数中的规律探究 第 1 页 类型一：一列数中的规律 1．(黄河期中)观察下列各数的排列规律：0，－3，8，－15，…，照这样排列，第8个数应是( ) A．55 B．－56 C．－63 D．65 C 第 1 页 2．(西藏中考)按一定规律排列的一组数据：，－，，－，，－，…，则按此规律排列的第10个数是( ) A．－ B. C．－ D. A 第 1 页 3．有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，根据这组数的规律，则第10个数是 . 55 第 1 页 类型二：有理数运算中的规律 4．观察下列图形中的数字排列规律，在第⑧个图中，b－c的值是( ) A．－382 B．－386 C．126 D．382 D 第 1 页 5．(孝感孝南区期中)观察下列等式：12＝12；13＋23＝32；13＋23＋33＝62；13＋23＋33＋43＝102.根据此规律，计算13＋23＋33＋…＋73的结果为 ． 6．计算31－1＝2；32－1＝8；33－1＝26；…；归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测32 024－1的个位数字是 . 282(或784) 0 第 1 页 7．观察以下等式： 第1个等式：＋＋×＝1； 第2个等式：＋＋×＝1； 第3个等式：＋＋×＝1； 第4个等式：＋＋×＝1； 第5个等式：＋＋×＝1； … 第 1 页 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)计算：＋＋＋＋＋. ＋＋× ＝1 解：(2)原式＝( ＋＋× )＋( ＋＋×)＝1＋1＝2. 第 1 页 类型三：数轴上的规律 8．如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴(单位长度为1)上，点A，B，C，D将圆四等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴的正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点D与数轴上表示4的点重合，点A与数轴上表示5的点重合，……，若当圆停止运动时，点B正好落到数轴上，则此时点B表示的数可能为( ) A．2 024 B．2 025 C．2 026 D．2 027 C 第 1 页 $$培优作业(六)　整式中的规律探究 第 1 页 类型一：用整式表示图形排列规律 1．(北海期末)观察下列图形给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s＝ . 4n－3 第 1 页 2．下列图形是按一定规律排列的，则2 024个图形中“ ”的个数为 . 6 073 第 1 页 3．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第①个图形中面积为1的正方形有9个，第②个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第 个图形中面积为1的正方形的个数为2 024. 404 第 1 页 类型二：用整式表示数式规律 4．已知a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，a5＝－，…，则a8＝ . 5．有一列数：a1，a2，a3，a4，…，an－1，an，若a1＝2×2－1，a2＝2×3－2，a3＝2×4－3，a4＝2×5－4，a5＝2×6－5，…，则a2 024的值是 . 2 026 第 1 页 6．观察下列一串单项式的特点： x2y，－ x2y2， x2y3，－ x2y4，…. (1)请照此规律写出第8个单项式，它是几次单项式？ (2)试猜想第n个单项式是什么？它的系数和次数分别为什么？ 第 1 页 解：(1)－ x2y8，它是10次单项式． (2)(－1)n＋1 x2yn，系数为(－1)n＋1 ，次数为(n＋2)． 第 1 页 类型三：整式求值在探究规律中的应用 7．你能很快计算出2 0152吗？为了解决这个问题，我们来考察个位为5的自然数的平方，任意一个个位为5的自然数都可以写成10n＋5的形式，于是原题即为求(10n＋5)2的值．n为自然数，分析n＝1，n＝2，n＝3，…，从中探索其规律，并归纳、猜想． 第 1 页 (1)通过计算，探索规律： 152＝100×1×(1＋1)＋25； 252＝100×2×(2＋1)＋25； 352＝100×3×(3＋1)＋25； 452＝100×4×(4＋1)＋25； 652＝ ； 100×6×(6＋1)＋25 第 1 页 (2)从(1)小题结果，归纳、猜想： (10n＋5)2＝ ； (3)根据上面的归纳、猜想，计算出2 0152的值为 . 100×n×(n＋1)＋25 4 060 225 第 1 页 $$培优作业(七)　利用一元一次方程的解求待定字母的值 第 1 页 类型一：利用一元一次方程的解的定义求待定字母的值 【方法指导】把已知方程的解代入方程，等式仍然成立，由此可求得方程中待定字母的值． 第 1 页 1．关于x的一元一次方程2(x－1)＋3a＝3的解为x＝4，则a的值是(　　) A．－1 　 　 B．1 　 　 C．－2 　 　 D.－3 A 第 1 页 2．方程 －＝1中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是x＝－1，那么墨水盖住的数字是(　　) A. B．1 C．－ D．0 B 第 1 页 3．关于x的方程 ＋1＝＋k，当k为何值时，解为x＝－1? 解：将x＝－1代入方程 ＋1＝＋k中，得＋1＝1＋k.解得 k＝－1. 第 1 页 类型二：利用两个方程解之间的关系求待定字母的值 【方法指导】此类题中待定字母可看作是已知数，用含待定字母的式子表示出方程的解，再根据两个方程的解的关系，建立关于以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值． 第 1 页 4．当m为何值时，关于x的方程4x－2m＝3x＋1的解是x＝2x－3m的解的2倍？ 解：因为x＝2x－3m的解是x＝3m， 4x－2m＝3x＋1的解是x＝2m＋1. 所以2m＋1＝2×3m， 解得m＝. 第 1 页 5．已知关于x的方程 －＝x－1与方程3(x－2)＝4x－5有相同的解，求a的值． 解：解方程3(x－2)＝4x－5，得x＝－1. 将x＝－1代入方程 －＝x－1中，得 －＝－1－1， 解得a＝－11. 第 1 页 类型三：利用方程的错解确定待定字母的值 【方法指导】先根据题意写出漏乘之后的方程，再将所得的解代入漏乘之后的方程，求解即可． 第 1 页 6．关于y的一元一次方程3(y＋a)＝2y＋4，小明在解方程去括号时，将a漏乘了3，得到方程的解是y＝3. (1)求a的值； (2)求该方程正确的解． 第 1 页 解：(1)由题意，得y＝3是方程3y＋a＝2y＋4的解，所以3×3＋a＝2×3＋4，解得a＝1. (2)由(1)得a＝1，所以原方程为 3(y＋1)＝2y＋4，解得y＝1， 故该方程正确的解是y＝1. 第 1 页 $$培优作业(八)　设元技巧在实际问题中的运用 第 1 页 类型一：直接设未知数 【方法指导】 当题目中的数量关系能用所求的未知数表示时，不妨直接设未知数，即求什么设什么，这是设未知数常用的方法． 第 1 页 1．用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵 5 h可抽完，单开乙泵2.5 h能抽完． (1)如果两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？ (2)如果甲泵先抽2 h，剩下的由乙泵来抽，乙泵用多少时间才能把水抽完？ 第 1 页 解：(1)设两台水泵同时抽水，x h能抽完， 由题意，得 ＋＝1，解得x＝ . 答：两台水泵同时抽水， h能把水抽完． 第 1 页 (2)设乙泵用y h才能抽完，由题意，得 ×2＋ y＝1，解得y＝1.5. 答：乙泵用1.5 h才能把水抽完． 第 1 页 2．两支一样长的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛每小时缩短8 cm，第二支蜡烛每小时缩短 6 cm，2 h后第二支蜡烛的长度是第一支蜡烛的1.5倍，求这两支蜡烛原来的长度． 解：设这两支蜡烛原来的长度为x cm， 根据题意，得x－6×2＝1.5(x－2×8)， 解得x＝24. 答：这两支蜡烛原来的长度为24 cm. 第 1 页 类型二：间接设未知数 【方法指导】 间接设元，即所设的不是所求的，适当选择与所求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的等量关系，从而得到方程． 第 1 页 3．(乐山中考)如果一个矩形(长方形)内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图，“优美矩形”ABCD的周长为26，求正方形d的边长． 第 1 页 解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x， 正方形c的边长为3x， 正方形d的边长为5x， 依题意，得(3x＋5x＋5x)×2＝26， 解得x＝1，所以5x＝5×1＝5， 即正方形d的边长为5. 第 1 页 4．小刘从家里骑摩托车去火车站，若每小时行驶30 km，则比火车开车时间早到15 min；若每小时行驶18 km，则比火车开车时间迟到15 min.现在小刘打算在火车开车前10 min到达火车站，求小刘此时骑摩托车的速度． 第 1 页 解：设小刘家到火车站的路程为x km，由题意，得 ＋＝－，解得x＝， 小刘从家出发时离火车开车的时间为 ＋＝1(h)，速度为 ＝27(km/h)． 答：小刘此时骑摩托车的速度为27 km/h. 第 1 页 $$培优作业(十)　用二元一次方程组解古代数学问题 第 1 页 1．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是( ) A. x＋y＝99， B. x＋y＝97， x＋3y＝97 x＋3y＝99 C. x＋y＝99， D. x＋y＝97， 3x＋ y＝97 3x＋ y＝99 C 第 1 页 2．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：马四匹、牛六头，共价四十八两(“两”为我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何．设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( ) A. 4x＋6y＝38， B. 4y＋6x＝48， 3x＋5y＝48 3y＋5x＝38 C. 4x＋6y＝48， D. 4x＋6y＝48， 5x＋3y＝38 3x＋5y＝38 D 第 1 页 3．(贵阳中考)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x＋4y＝23，则 表示的方程是 . x＋2y＝32 第 1 页 4．(通辽中考)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y 尺，则可列方程组为 . x＝y＋5, x＝y-5 第 1 页 5．“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙三分之二而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的，那么甲有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也有钱50.甲、乙各带了多少钱？ 第 1 页 解：设甲带的钱是x，乙带的钱是y，依题意，得 x＋ y＝50，解得 x＝25， x＋y＝50， y＝37.5. 答：甲带了25元，乙带了37.5元钱． 第 1 页 $$培优作业(十三)　角度计算中的思想方法 第 1 页 类型一：直接计算 1．如图，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOB的度数． 第 1 页 解：因为∠AOD＝70°， ∠COD＝20°， 所以∠AOC＝∠AOD－∠COD＝50°， 因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠AOB＝ ∠AOC＝25°. 第 1 页 2．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE，求∠COE的度数． 第 1 页 解：因为∠AOB＝90°， OC平分∠AOB， 所以∠BOC＝ ∠AOB＝45°. 因为∠BOD＝∠COD－∠BOC＝45°， ∠BOD＝3∠DOE，所以∠DOE＝15°. 所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°. 第 1 页 类型二：方程思想 【方法指导】 在求角的度数问题时，当题目中出现角度之间的和差、倍数、比的关系时，通常设未知数，利用方程求解． 第 1 页 3．如图，已知OC是∠AOB的平分线，射线OD在∠AOB的内部且∠BOD＝ ∠COD，若∠AOC＝80°，则∠AOD的度数为（ ） A．140° B．150° C．145° D．130° A 第 1 页 4．如图，已知O是直线AB上的一点，OC是从点O引出的一条射线，且∠AOC<∠BOC.若OD是∠AOC的平分线，且满足∠BOC－∠COD＝90°，求∠COD的度数． 第 1 页 解：设∠COD＝x， 因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠AOD＝∠COD＝x， 所以∠BOC＝180°－∠COD－∠AOD＝180°－2x， 因为∠BOC－∠COD＝90°， 所以∠BOC＝90°＋x， 所以90°＋x＝180°－2x， 所以x＝30°， 所以∠COD的度数为30°. 第 1 页 类型三：整体思想 【方法指导】 求解角度时，如果从局部无法解，可从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简． 第 1 页 5．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON＝50°，∠BOC＝ 10°，求∠AOD的度数． 第 1 页 解：设∠COD＝2x，∠AOB＝2y， 由题意，得∠CON＝x，∠BOM＝y. 因为∠MON＝∠NOC＋∠BOC＋∠BOM＝50°， 即x＋10°＋y＝50°，所以x＋y＝40°. 所以∠AOD＝∠COD＋∠BOC＋∠AOB ＝2x＋10°＋2y＝10°＋2(x＋y) ＝10°＋2×40° ＝90°. 第 1 页 类型四：分类讨论思想 【方法指导】 在求解没有图形的几何问题时，应根据题意画出图形，同时注意图形的多样性，以免漏解． 第 1 页 6．在同一平面内，已知∠AOB＝30°，∠BOC与∠AOB互余，且OE平分∠AOC，求∠AOE的度数． 第 1 页 解：因为∠AOB＝30°，∠BOC与∠AOB互余， 所以∠BOC＝60°. 如图①，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°， 因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝45°. 如图②，∠AOC＝∠BOC－∠AOB＝30°， 因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝15°. 综上所述，∠AOE的度数为45°或15°. 第 1 页 类型五：从特殊到一般的思想 7．已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC. (1)如图①，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝ ； (2)如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数(用含α的式子表示)； (3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么(2)中所求出的结论是否仍然成立？请说明理由． 20° 第 1 页 解：(2)因为∠AOC＝α， 所以∠BOC＝180°－α， 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝ ∠BOC＝90°－ α， 又因为∠COD＝90°， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝ α. 第 1 页 (3)结论仍然成立， 理由：因为∠AOC＝α， 所以∠BOC＝180°－α， 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝ ∠BOC＝90°－ α， 又因为∠COD＝90°， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝ α. 第 1 页 $$培优作业(十五)　线段上的动点问题(期末压轴专题) 第 1 页 【方法指导】 解决线段上的动点问题的处理方法：“点→线→式”两步，即①列线：利用两点间的距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来；②列式：根据题目中的线段之间的数量关系列出方程并解方程． 第 1 页 1．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40 cm，BC＝280 cm，点P，点Q分别从A，B两点同时出发向点C运动，点P的速度为 3 cm/s，点Q的速度为1 cm/s. 　 (1)如果D是线段AC的中点，那么线段BD的长是 cm； (2)①求点P出发多少秒后追上点Q； ②点P出发多少秒后与点Q的距离是20 cm. 120 第 1 页 解：(2)①设点P出发x s后追上点Q， 根据题意得3x－x＝40，解得x＝20， 答：点P出发20 s后追上点Q. ②设点P出发t s后与点Q的距离是20 cm，根据题意得 3t－t＝40＋20或3t－t＝40－20， 解得t＝30或t＝10， 答：点P出发30 s或10 s后与点Q的距离是20 cm. 第 1 页 2．如图，已知a，b分别对应数轴上A，B两点，并且满足|a－2|＋(6＋2b)2＝0，点P为数轴上一个动点，它对应的数是x. (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若P为线段AB上一点，并且PA＝3PB，求x的值； (3)若P点从A点出发以每秒2个单位长度的速度运动，则出发几秒钟后，PA＝4PB? 2 －3 5 第 1 页 解：(2)根据题意，得 2－x＝3[x－(－3)]， 解得x＝－ . 第 1 页 (3)因为点A在点B的右边， 所以若想PA＝4PB， 则点P从点A向左运动， 设点P运动的时间为t s， 则点P对应的数是2－2t， 根据题意得2t＝4|2－2t－(－3)|， 解得t＝2或 . 答：出发2 s或 s后，PA＝4PB. 第 1 页 $$培优作业（三） 有理数的混合运算中的简便运算 第15页 ○类型一：运用乘法交换律与结合律 1.计算： (1)(-2)×(-0.125)×9×(-8)i 解：原式=[（-2)×9]×[(-0.125)×(-8] =-18×1 =-18. 第2页 包-1月×8x-1x12 解：原式=号x2x2x9 7655 12.7、56 =(-气×5)x(后x) 12 第3页 3-1.25)×2.5÷5÷1x8. 4 551 解：原式=-2××-×4×8 425 =(-×4)xx兮x8) =-20. 第4项 类型二：正用乘法分配律 2.计算： x-360x(-言+名： 解：原式=(~36x(-)+(30×+(-30×() =16+(-30)+21 =7. 第5项 (2X }（忘 解：原式=（行}x(~6 =(-8)+9+2 =3. 第项 ⊙ 类型三：逆用乘法分配律 3.计算： 1999x118号+999x(-3)-999x183: 解：原式=99x18手18 =999×100 =99900. 第7项 19 1 (2)-8×2 44(8): 99 解：原式=-8×44×(-8) 9 =-×[-8-(-8)] =0. 第8页 (3)-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4. 解：原式=-6.28×17.6+6.28×(-23.3)-6.28×9.1 =-6.28×(17.6+23.3+9.1) =-6.28×50=-314. 第9项 类型四：分解 4.计算： (1)-105 3 5.3 解：原式=105。× 9 ,5 =105× 9 3-5 =63 1-3 第10页7培优作业(二) 有理数加减法的运算技巧 第1页 技巧一:把正数和负数分别结合相加 计算: (1)(-23)+48+(-41)+32 解:原式=(-23-41)+(48+32) =-64+80 =16. 第2页 (2)0.36+(-7.4)+0.5+(-0.6)+0.14 解:原式=(0.36+0.5+0.14)+(-7.4-0.6) =1+(-8) 第3页 技巧二:相反数结合法 2. 计算: (1)(-2.48)+(+4.33)+(-7.52)+(-4.33) 解:原式=[(+4.33)+(-4.33)1+ [(-2.48) +(-7.52)1 =0+(-10) =-10. 第4页 (2)1+(-)+5+(-1)+(- 解:原式=[+(-1)+[(-+(-+5 4 =0+(-1)+5= 第5页 技巧三:同分母结合法 3. 计算: (1)-2-3+--1-2+1. 3 5 ## 5 ) 解:原式=(--+(-32+(7+# =-1+(-1)+1 第6页 ($2)-6-4(-3-(+2) 解:原式=-6-47+3-2} #6+3)+(-64-2#) 第7页 技巧四:凑整结合法 4. 计算: (1)3.5-4.6+3.5-2.4 解:原式=(3.5+3.5)-(4.6+2.4) =7-7 =0. 第8页 (2)2^+(+)+(-0.5-() 解:原式=2-+-.5+1 #2-0.5+(+1# -3+2 第9页 解:原式=0.75-3+0.25 第10页培优作业(五)　整式化简中的逻辑推理 第 1 页 1.老师出了这样一道题：“当a＝2 024，b＝－2 025时，计算(2a3－3a2b－2ab2)－(a3－2ab2＋b3)＋(3a2b－a3＋b3)的值．”但在计算过程中，同学甲错把“a＝2 024”写成“a＝－2 024”，而同学乙错把“b＝－2 025”写成“b＝－20.25”，可他们的运算结果都是正确的，请找出其中的原因，并说明理由． 第 1 页 解：原因是该多项式的值与字母a，b的取值无关． 理由：原式＝2a3－3a2b－2ab2－a3＋2ab2－b3＋3a2b－a3＋b3＝0， 即多项式的值与a，b的取值无关， 所以即使甲、乙两同学将a，b的值抄错了，也不会改变运算结果． 第 1 页 2．小希在计算多项式A减多项式2b2－3b－5时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是b2＋3b－1. (1)求这个多项式A； (2)这两个多项式相减的正确结果为 ； (3)当b＝－1时，则(2)中结果的值为 . b2＋9b＋9 解：(1)由题知 A－2b2－3b－5＝b2＋3b－1， 所以A＝b2＋3b－1＋2b2＋3b＋5 ＝3b2＋6b＋4. 1 第 1 页 3．已知整式A＝2(x＋y)－(⊕x－y)，其中数字“⊕”被污染． (1)若将“⊕”猜测成3，请化简整式A； (2)小红说：“整式A的值只与y有关．”根据小红的说法，求出“⊕”代表的数字． 第 1 页 解：(1)由题意，得 A＝2(x＋y)－(3x－y) ＝2x＋2y－3x＋y＝－x＋3y. 第 1 页 (2)设“⊕”代表的数字为a，则 A＝2(x＋y)－(ax－y) ＝2x＋2y－ax＋y＝(2－a)x＋3y， 因为整式A的值只与y有关，所以2－a＝0， 所以a＝2，即“⊕”代表的数字为2. 第 1 页 4．已知一个两位数，它的十位上的数字是a，个位上的数字是b. (1)写出这个两位数； (2)若a≠b，把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？ 第 1 页 (2)由题意得，这两个数的和为 (10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b＝11(a＋b)， 因为a，b都是整数，所以a＋b也是整数， 所以这两个数的和能被11整除． 同理，两个数的差为9(a－b)． 因为a，b都是整数，所以a－b也是整数， 所以这两个数的差一定是9的倍数． 解：(1)这个两位数为10a＋b. 第 1 页 $$培优作业(十四)　角平分线模型(教材变式专题) 第 1 页 【母题】(教材P173复习题T9)如图，AB为直线，OC 为射线，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE 的度数． 第 1 页 解：因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， 所以∠COD＝ ∠BOC，∠COE＝ ∠AOC， 所以∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝90°. 第 1 页 【方法归纳】 条件：如图，射线OC在∠AOB内部，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC. 结论：∠MON＝ ∠AOB. 第 1 页 【变式1】如图，射线OC在∠AOB的外部，∠BOC＝α(α为锐角)，且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC. (1)若∠AOB＝90°，求∠MON的度数； 第 1 页 解：(1)当∠BOC＝α时，∠MOC＝ (90°＋α)，∠NOC＝ α， ∠MON＝∠MOC－∠NOC ＝ (90°＋α)－ α ＝45°. 第 1 页 (2)若∠AOB＝β(β为锐角)不变，∠MON的度数是否变化？说明理由． 解：(2)不变． 理由：当∠AOB＝β时，∠MOC＝ (β＋α)， ∠NOC＝ ∠BOC＝ α， ∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ β， 所以∠MON的度数也不变． 第 1 页 【方法归纳】 条件：如图，射线OC在∠AOB外部，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC. 结论：∠MON＝ ∠AOB. 第 1 页 【变式2】如图，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠EOF＝124°，则∠AOB＝ . 112° 第 1 页 【变式3】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.若∠BOF＝30°，则∠DOE＝ . 40° 第 1 页 【变式4】已知∠AOB＝160°，OC，OD为两条射线，且∠COD＝20°. (1)如图①，∠COD在∠AOD内部(∠AOD＞∠AOC)，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，则∠EOF的度数为 ； 90° 第 1 页 (2)如图②，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，则∠EOF的度数为 . 70° 第 1 页 $$培优作业(十六)　角中的动态探究问题(期末压轴专题) 第 1 页 【方法指导】 旋转型问题是角度中考查得比较多的形式，如果只出现一条射线在旋转，那么我们只需考虑其起点位置，终点位置，与单独的动点问题类似，要注意转折点；如果出现两条射线在旋转，那么我们要与两个动点相联系，考虑清楚是相遇问题还是追及问题，还是多运动组合． 第 1 页 1．【理解新知】如图①，在∠AOB内部画射线OC得到三个角，分别为∠AOC，∠AOB，∠BOC.若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB的“二倍角线”(以上所指的角都是小于或等于180°的角)． 第 1 页 (1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”(选填“是”或“不是”)； (2)若∠AOB＝60°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝ . 是 20°，30°或40° 第 1 页 【解决问题】如图②，已知∠AOB＝60°，射线OP从OA出发以20°/s的速度绕O点逆时针旋转，射线OQ从OB出发以10°/s的速度绕O点顺时针旋转，射线OP，OQ同时出发，当其中一条射线回到出发位置时，整个运动随之停止，设运动的时间为t s，当射线OP，OQ旋转到同一条直线上时，求t的值． 第 1 页 解：【解决问题】 由题意知运动时间的范围是0<t≤18. 分情况讨论如下： ①60＋20t＋10t＝180，解得t＝4； ②60＋20t＋10t＝360，解得t＝10； ③60＋20t＋10t＝360＋180，解得t＝16. 综上所述，t的值为4，10或16. 第 1 页 2．如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角板AOB的直角点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t s. 第 1 页 (1)∠COE的度数为 ； (2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由． 140° 第 1 页 解：(2)存在． ①当OB在直线DE上方时，此时OB平分∠EOC， 因为∠COE＝140°，所以∠BOC＝ ∠COE＝70°， 当OB没有旋转时，∠BOC＝50°， 所以OB旋转了70°－50°＝20°. 则旋转的时间t＝20÷10＝2(s)， 第 1 页 ②当OB在直线DE下方时，如图， 因为∠BOE＋∠BOC＋∠COE＝360°，且∠BOC＝∠BOE，即2∠BOE＋∠COE＝360°，所以∠BOE＝110°. 所以OB旋转了110°＋90°＝200°. 则旋转时间t＝200÷10＝20(s)． 综上所述，当t＝2或20时，∠BOC＝∠BOE. 第 1 页 $$培优作业(九)　利用二元一次方程(组)的解求待定字母的值 第 1 页 类型一：已知二元一次方程组的解求参数 [方法指导]将方程组的解代入方程组中，得到一个关于待求字母参数的新方程组，求解这个新方程组，得出待求字母参数的值． 第 1 页 1．已知 x＝2，是二元一次方程5x＋my＋2＝0的解，则m＝ . y＝3 2．已知 a＝2，是方程组 2a＋（m－1）b＝2，的解，则(m＋n)2 022 b＝1 na＋b＝1 的立方根为 . －4 1 第 1 页 类型二：已知二元一次方程组解的关系求参数值 [方法指导]把方程组中的参数看成已知数，然后解这个方程组，再根据方程组解的关系，建立以参数为未知数的方程(组)，解这个方程(组)即可求得参数值． 第 1 页 3．已知关于x，y的二元一次方程组 2x＋3y＝k，的解互为相反数，则k的 x＋2y＝－1 值是 . －1 第 1 页 4．已知关于x，y的二元一次方程组 x＋2y＝3m，的解也是二元一次方程 x－y＝9m 3x＋2y＝17的解，求m的值． 解：解二元一次方程组 x＋2y＝3m，得 x＝7m，将 x＝7m， x－y＝9m， y＝－2m. y＝－2m 代入二元一次方程3x＋2y＝17中， 得21m－4m＝17，解得m＝1. 第 1 页 类型三：根据两个方程组同解求参数值 [方法指导]先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个新方程组，求出该方程组的解，再将所求的解代入到另两个含参数的方程中进行求解得出参数的值． 第 1 页 5．已知方程组 2x＋5y＝－26，和方程组 3x－5y＝36，的解相同，则 mx－ny＝－4 nx＋my＝－8 (2m＋n)(m－3n)的值为 . 4 第 1 页 类型四：根据方程组的错解求参数值 [方法指导]把解代入不含此系数的方程中，分别构建新的方程求解． 第 1 页 6．解方程组 ax＋by＝－3，时，小明把c写错，得到错解 x＝－5， cx－4y＝－6 y＝－1， 而正确的解是 x＝2，求a，b，c的值． y＝1. 第 1 页 解：把 x＝－5，和 x＝2，分别代入ax＋by＝－3，得 －5a－b＝－3， y＝-1 y＝1 2a＋b＝－3， 解得 a＝2， 把 x＝2， b＝－7， y＝1 代入cx－4y＝－6，得2c－4＝－6， 解得c＝－1， 所以a＝2，b＝－7，c＝－1. 第 1 页 $$培优作业(十二)　线段计算中的思想方法 第 1 页 类型一：利用线段的和差直接计算 【方法指导】 基本方法：AB＝AC＋BC，AC＝AB－BC，BC＝AB－AC. 第 1 页 1．如图，B，C为线段AD上两点，AB＝6，BC＝4，CD＝2，则AD＝ ，BD＝ . 12 6 第 1 页 2．如图，已知线段AB＝20，C是AB上的一点，D为CB上的一点，E为DB的中点，DE＝3.若CE＝8，求AC的长． 第 1 页 解：因为E为DB的中点， 所以BE＝DE＝3， 所以BC＝CE＋BE＝11， 所以AC＝AB－BC＝9. 第 1 页 3．如图，已知线段AD＝6 cm，线段AC＝BD＝4 cm，E，F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长． 第 1 页 解：因为BC＝AC＋BD－AD，AD＝6， AC＝BD＝4，所以BC＝2， AB＝AD－BD＝2，CD＝AD－AC＝2. 因为E，F分别为AB，CD的中点， 所以BE＝ AB＝1，CF＝CD＝1， 所以EF＝BE＋BC＋CF＝4 cm. 第 1 页 类型二：方程思想 模型1：两条线段之间的关系 【方法指导】 条件：AD＝nAC，BD＝a. 方法：设AC＝x，则AD＝nx. 结论：AB＝ nx＋a. 第 1 页 4．如图，已知线段AB，CD的公共部分BD＝ AB＝ CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10 cm，求AB，CD的长． 第 1 页 解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，AC＝6x. 因为E，F分别为AB，CD的中点， 所以AE＝AB＝1.5x，CF＝CD＝2x. 所以EF＝AC－AE－CF＝2.5x， 所以2.5x＝10，解得x＝4， 所以AB＝12 cm，CD＝16 cm. 第 1 页 模型2：多条线段之间的关系 【方法指导】 条件：AC∶CD∶DB＝a∶b∶c. 方法：设AC＝ax，CD＝bx，DB＝cx. 结论：AD＝(a＋b)x，BC＝(b＋c)x， AB＝(a＋b＋c)x. 第 1 页 5．如图，线段AB上有两点P，Q，点P将AB分成两部分，AP∶PB＝2∶3，点Q将AB也分成两部分，AQ∶QB＝4∶1，且PQ＝3 cm.求AP，QB的长． 第 1 页 解：设AP＝2x， 则PB＝3x，AB＝5x. 因为AQ∶QB＝4∶1， 所以AQ＝4x，QB＝x. 所以PQ＝PB－QB＝2x. 因为PQ＝3 cm， 所以2x＝3，所以x＝1.5， 所以AP＝3 cm，QB＝1.5 cm. 第 1 页 6．如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，M为AD的中点，BM＝6 cm，求CM和AD的长． 第 1 页 解：设AB＝2x，BC＝5x，CD＝3x， 则AD＝AB＋BC＋CD＝10x. 因为M是AD的中点， 所以AM＝MD＝ AD＝5x. 所以BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x. 因为BM＝6 cm， 所以3x＝6，解得x＝2， 故CM＝MD－CD＝2x＝4(cm)， AD＝10x＝20(cm)． 第 1 页 类型三：分类讨论思想 【方法指导】 条件：点C在射线AB上． 方法：点的位置不确定，需要对点C的位置进行分类讨论： (1)如图①，当点C在线段AB上时，AC＝AB－BC； (2)如图②，当点C在线段AB的延长线上，AC＝AB＋BC. 第 1 页 7．已知A，B，C三点共线，且线段AB＝16，D是BC的中点，AD＝12.5，求BC的长． 解：①若C点在AB之间，如图， 则BD＝16－12.5＝3.5， 又因为D是BC的中点． 所以BC＝2BD＝7； 第 1 页 ②若C点在BA延长线上，如图， 则BD＝AB＋AD＝28.5， 因为D是BC中点， 所以BC＝2BD＝57. 综上所述，BC的长为7或57. 第 1 页 类型四：整体思想(双中点问题) 【方法指导】 条件：如图，如果点C在线段AB所在的直线上，M，N分别是AC，BC的中点． 结论：MN＝ AB. 第 1 页 8．如图，C为线段AB上一点，D是线段AC的中点，E为线段CB的中点． (1)若AC＝6 cm，BC＝4 cm，则DE＝ cm； (2)若AB＝a，试探求DE的长度； (3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b，D，E分别为AC，BC的中点，你能猜想DE的长度吗？直接写出结论，并说明理由． 5 第 1 页 解：(2) a. (3)DE＝ b. 理由：如答图，因为D，E分别是AC，BC的中点，AC＝AB＋BC， 所以CD＝ AC，CE＝ BC， 所以DE＝CD－CE＝ AC－ BC＝ b. 第 1 页 9．【问题情境】如图，已知点B，C在线段AD上． 第 1 页 【特例感知】 (1)如果AD＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度； 第 1 页 解：(1)因为AD＝18，BC＝12， 所以AB＋CD＝AD－BC＝6， 因为M是AB中点，N是CD中点， 所以MB＝ AB，CN＝ CD， 所以MB＋CN＝ AB＋ CD＝3. 所以MN＝MB＋BC＋CN＝15. 第 1 页 【类比发现】 (2)在(1)中，如果AD＝a，BC＝b，其他条件不变，那么MN＝ (用含a，b的式子表示)； 第 1 页 【拓展应用】 (3)若线段AD被点B，C分成了2∶4∶3三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是26 cm，求MD的长． 第 1 页 解：(3)设AB，BC，CD的长分别为2x，4x，3x， 则AD＝9x， 由(2)中结论得4x＋9x＝26×2， 解得x＝4， 所以MD＝8x＝32(cm)． 第 1 页 类型五：数形结合思想 【方法指导】 如图，数轴上A，B两点对应的数分别为a，b. 第 1 页 (1)若C为线段AB的中点，则点C对应的数为. (2)点P从点A出发，以1个单位长度/s的速度沿数轴正方向运动，点Q从点B出发，以2个单位长度/s的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为t s，则 ①点P对应的数为a＋t； ②点Q对应的数为b－2t； ③PQ＝|(b－2t)－(a＋t)|. 第 1 页 10．如图，M是线段AB上一点，且AB＝10 cm，C，D两点分别从M，B同时出发以1 cm/s，3 cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)． (1)当点C，D运动了2 s，求这时AC＋MD的值； 第 1 页 解：当点C，D运动了2 s时， CM＝2 cm，BD＝6 cm， 因为AB＝10 cm， 所以AC＋MD＝AB－CM－BD＝2(cm)． 第 1 页 (2)若点C，D运动时，总有MD＝3AC，求AM的长． 解：因为C，D两点的速度分别为1 cm/s，3 cm/s，所以BD＝3CM， 又因为MD＝3AC， 所以BD＋MD＝3CM＋3AC， 即BM＝3AM， 所以AM＝ AB＝2.5 cm. 第 1 页 11．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为12和18，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t s. (1)当点P在线段AB上时，用含t的式子填空：BP＝ ，AQ＝ ； (2)当t＝2时，求PQ的值； (3)当PQ＝ AB，求t的值． 6－t 12－2t 第 1 页 解：(2)当t＝2 时， 点P对应的有理数为12＋2＝14，点Q对应的有理数为2×2＝4， 所以PQ＝14－4＝10. 第 1 页 (3)t s时，点P对应的有理数为12＋t， 点Q对应的有理数为2t. 所以PQ＝|12＋t－2t|＝|12－t|， 所以PQ＝ AB＝ (18－12)＝ ×6＝3. 所以|12－t|＝3. 解得t＝9或15. 所以t的值为9或15. 第 1 页 $$