第三单元小数除法第二讲近似数、循环小数、小数分类（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

第二讲：商的近似数、循环小数、小数分类 【知识梳理】 知识点一 商的近似数 利用四舍五入法求商的近似数；保留几位小数，就商到保留位数的下一位。 知识点二 循环小数 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 循环小数的简便写法：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上各记一个圆点。 知识点三 小数的分类 小数分为： 1 有限小数：小数部分的位数是有限的。 2 无限小数；小数部分的位数是无限的。 无限小数分为： 1 无限循环小数： 2 纯循环小数和混循环小数 无限不循环小数分为： 1 纯循环小数：循环节从小数部分十分位开始的循环小数。 2 混循环小数：循环节不是从小数部分十分位开始的循环小数。 【例题精讲与精练】 知识点一 商的近似数 【例题1】列竖式计算 （保留两位小数）  【例题精练】 1、列竖式计算 1.422÷3.6≈（得数保留两位小数） 32.5÷0.22≈ （得数保留两位小数） 知识点二 循环小数 【例题1】列竖式计算 23÷3.3＝（商用循环小数表示） 【例题精练】 1、（2023秋·北京西城·五年级统考期末）在0.3、0.6565、…和1.444中，（    ）是循环小数。 A．0.3 B．0.6565 C．… D．1.444 2、列竖式计算  9.8÷0.6＝（商用循环小数简记法表示） 【例题2】（2023上·浙江金华·五年级统考期末）6.85252…用简便写法写作( )，保留两位小数约是( )。 【例题精练】 1、的商用循环小数表示是( )，保留三位小数约是( )。 2、将30.485保留两位小数约是( )，6.258258…用简便方法记作( )。 【例题3】（2023上·浙江温州·五年级统考期末）11÷3的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )。 【例题精练】 1、算式的商，用循环小数的简便形式可以写作( )，把这个商精确到百分位约是( )。 【例题4】（2023上·浙江宁波·五年级统考期末）在0.3333…，，，，四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【例题精练】 1、（2023秋·北京石景山·五年级统考期末）把、、4.121和4.21按照从小到大的顺序排列是： ( )＜( )＜( )＜( )。 2、在5.90，5.9090…，5.901，5.901901…这四个数中最大的数是( )，最小的数是( )。 【例题5】（2023上·浙江嘉兴·五年级统考期末）循环小数2.788788…的简便记法是( )，保留三位小数约是( )，小数点后第2023位上的数字是( )。 【例题精练】 1、（2022·重庆大渡口·五年级期末）的商是一个循环小数，则小数点后第12位的数字是（    ）。 A．7 B．1 C．5 2、已知13÷14=0.9285714285714285714……，商的小数点后第2023位上的数字是几？商的小数部分前23位上的所有数字之和是多少？ 知识点三 小数的分类 【例题1】（2022·重庆大渡口·五年级期末）在7.77、2.0925…、3.1415、这些小数中，有限小数是( )，无限小数( )；循环小数是( )，它的循环节是( )。 【例题精练】 1、对于0.708708…，这个小数说法错误的是（    ）。 A．有限小数 B．无限小数 C．循环小数 D．纯循环小数 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲：商的近似数、循环小数、小数分类 【知识梳理】 知识点一 商的近似数 利用四舍五入法求商的近似数；保留几位小数，就商到保留位数的下一位。 知识点二 循环小数 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 循环小数的简便写法：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上各记一个圆点。 知识点三 小数的分类 小数分为： 有限小数：小数部分的位数是有限的。 无限小数；小数部分的位数是无限的。 无限小数分为： 无限循环小数：分为纯循环小数和混循环小数 无限不循环小数 纯循环小数：循环节从小数部分十分位开始的循环小数。 混循环小数：循环节不是从小数部分十分位开始的循环小数。 【例题精讲与精练】 知识点一 商的近似数 【例题1】列竖式计算 （保留两位小数）  答案： 【例题精练】 1、列竖式计算 1.422÷3.6≈（得数保留两位小数） 32.5÷0.22≈ （得数保留两位小数） 答案： 知识点二 循环小数 【例题1】列竖式计算 23÷3.3＝（商用循环小数表示） 答案： 【例题精练】 1、（2023秋·北京西城·五年级统考期末）在0.3、0.6565、…和1.444中，（    ）是循环小数。 A．0.3 B．0.6565 C．… D．1.444 答案：C 2、列竖式计算  9.8÷0.6＝（商用循环小数简记法表示） 答案: 【例题2】（2023上·浙江金华·五年级统考期末）6.85252…用简便写法写作( )，保留两位小数约是( )。 答案： 6.85 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），再利用“四舍五入法”求出近似数即可。 【详解】6.85252…用简便写法写作，保留两位小数约是6.85。 【点睛】此题主要考查了如何用简便形式表示循环小数：找出循环的数字，上面点上圆点，同时考查了近似数及其求法。 【例题精练】 1、的商用循环小数表示是( )，保留三位小数约是( )。 答案： 3.909 【分析】先利用小数除法的计算法则，求出的商，一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位（万分位），再利用“四舍五入法”求出近似数即可。 【详解】＝＝≈3.909 即的商用循环小数表示是，保留三位小数约是3.909。 【点睛】考查了如何用简便形式表示循环小数：找出循环的数字，上面点上圆点，同时考查了近似数及其求法。 2、将30.485保留两位小数约是( )，6.258258…用简便方法记作( )。 答案： 30.49 【分析】小数保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数；再根据循环小数的表示方法，在循环小数的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可。 【详解】30.485≈30.49 30.485保留两位小数约是30.49； 6.258258…用简便方法记作。 【点睛】本题考查循环小数和求近似数，明确循环小数的表示方法和求近似数的方法是解题的关键。 【例题3】（2023上·浙江温州·五年级统考期末）11÷3的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )。 答案： 3.66… 3.67 【详解】首先根据小数除法的运算方法，求出11÷3的商用循环小数表示是多少；然后应用四舍五入法：如果被舍去部分的首位数字小于5，就舍去这些数字；如果被舍去部分的首位数字是5或大于5，就要在保留部分的末尾数字上加1，求出所求的商精确到百分位是多少即可。 【解答】解：11÷3的商用循环小数表示是，精确到百分位约是3.67。 故答案为：，3.67。 【点评】此题主要考查了小数除法的运算方法，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握。 【例题精练】 1、算式的商，用循环小数的简便形式可以写作( )，把这个商精确到百分位约是( )。 答案：         16.67 【分析】首先计算出50÷3的商，发现循环的数字，找出循环节，表示出来即可；精确到百分位，只要看千分位上是几，根据“四舍五入”方法求得近似值。 【详解】50÷3＝16.666……＝ 16.666……≈16.67 【点睛】本题考查考查用简便方法表示循环小数，以及“四舍五入”法的应用。 【例题4】（2023上·浙江宁波·五年级统考期末）在0.3333…，，，，四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 答案：0.3333… 【分析】将循环小数写成一般形式，再根据小数的大小比较方法，先比较整数部分，再比较小数部分，比较出四个数中最大的数和最小的数。 【详解】＝0.30333… ＝0.303303… ＝0.30303… 所以，在0.3333…，，，，四个数中，最大的数是0.3333…，最小的数是。 【点睛】本题考查了循环小数，掌握循环小数的大小比较方法是解题关键。 【例题精练】 1、（2023秋·北京石景山·五年级统考期末）把、、4.121和4.21按照从小到大的顺序排列是： ( )＜( )＜( )＜( )。 答案：4.121 4.21 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做循环点。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大。如果百分位上相同，千分位上的数大的那个数就大。 【详解】 即4.121＜＜＜4.21 所以这4个数按照从小到大的顺序排列是：4.121＜＜＜4.21。 【点睛】关键是熟悉循环小数的记数方法，掌握小数大小比较方法。 2、在5.90，5.9090…，5.901，5.901901…这四个数中最大的数是( )，最小的数是( )。 答案：  5.9090…     5.90 【分析】比较小数大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十分位，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位相同就看百分位，以此类推。 【详解】5.90＜5.901＜5.901901…＜5.9090… 【点睛】此题主要考查的知识点是小数大小的比较。 【例题5】（2023上·浙江嘉兴·五年级统考期末）循环小数2.788788…的简便记法是( )，保留三位小数约是( )，小数点后第2023位上的数字是( )。 答案： 2.789 7 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；保留三位小数时，观察小数点后面第四位数字，满5向前一位进一，不满5直接舍去；2.788788…的循环节是788，一共三个数字，求出2023除以3商为整数时候的余数，余数是几，就按照从左往右的顺序数出循环节第几位上面的数字，据此解答。 【详解】分析可知，循环小数2.788788…的简便记法是，保留三位小数约是2.789。 2.788788…的循环节里面一共有三个数字。 2023÷3＝674……1 因为循环节的第一位数字是7，所以小数点后第2023位上的数字是7。 【点睛】掌握循环小数的简便记法和小数取近似值的方法，并求出商是整数时候的余数是解答题目的关键。 【例题精练】 1、（2022·重庆大渡口·五年级期末）的商是一个循环小数，则小数点后第12位的数字是（    ）。 A．7 B．1 C．5 答案：A 【分析】先算出结果为，商的循环节是142857，以这6个数字为一个周期，求小数点后第12位的数字，则用12除以6，商表示12里面有几个周期，如果结果没有余数，则小数点后第12个数字是一个周期的最后一个数字，如果有余数，余数是几，则小数点后第12个数字是一个周期的第几个数字。 【详解】 12÷6＝2 说明12里面有2个完整的周期， 则小数点后第12个数字是7。 故答案为：A 【点睛】本题主要循环小数的认识以及周期问题。 2、已知13÷14=0.9285714285714285714……，商的小数点后第2023位上的数字是几？商的小数部分前23位上的所有数字之和是多少？ 答案：（2023-1）÷6=337 （23-1）÷6=3……4 和：9+（2+8+5+7+1+4）×3+（2+8+5+7）=112 答：商的小数点后第2023位上的数字是4，？商的小数部分前23位上的所有数字之和是112 知识点三 小数的分类 【例题1】（2022·重庆大渡口·五年级期末）在7.77、2.0925…、3.1415、这些小数中，有限小数是( )，无限小数( )；循环小数是( )，它的循环节是( )。 答案： 7.77、3.1415     2.0925…、          618 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数叫做循环小数，循环小数也是无限小数；循环小数中小数部分依次不断重复出现的数字就是循环节。 【详解】由分析可知： 在7.77、2.0925…、3.1415、这些小数中，有限小数是7.77、3.1415，无限小数2.0925…、；循环小数是，它的循环节是618。 【点睛】本题考查有限小数、无限小数和循环小数，明确它们的定义是解题的关键。 【例题精练】 1、对于0.708708…，这个小数说法错误的是（    ）。 A．有限小数 B．无限小数 C．循环小数 D．纯循环小数 答案：A 2 学科网（北京）股份有限公司 $$