第1章 有理数训练 课件 2024-2025学年湘教版（2024）数学七年级上册

1．2　数轴、相反数与绝对值 1．2.1　数　轴 第 1 页 1．规定了 、 和单位长度的直线叫作数轴. 原点 正方向 第 1 页 2．数轴的三要素： (1)原点：在直线上任取一个点表示数 ，这个点叫作原点； (2)正方向：通常把直线上从原点向 的方向规定为正方向，从原点向 的方向规定为负方向； (3)单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点 ，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点 ，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…. 0 右 左 向右 向左 第 1 页 下列表示数轴的是(　　) 第 1 页 【思路分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向，选项A没有单位长度，选项B没有正方向，选项D单位长度有缺漏，没有原点． 【自主解答】 【名师支招】1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可；2.单位长度可长可短，但同一数轴上的单位长度必须一致；3.数轴的两端不能画点，否则就是线段而不是数轴了；4.原点位置的选定，数字的标注都是根据实际而定的． C 第 1 页 知识点一：数轴的概念 1．在下列四个同学所画的数轴中，正确的是( ) A 第 1 页 2．关于数轴，下列说法中最准确的是( ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向、单位长度的直线 D 第 1 页 知识点二：有理数与数轴上的点的关系 3．在数轴上，原点及原点左边的点表示的数是( ) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 C 第 1 页 4．如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是( ) A．－1.3 B．1.3 C．3.1 D．2.3 D 第 1 页 5．下列说法中正确的是( ) A．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 B．数轴上表示－2的点有两个 C．数轴上的点表示的数不是正数就是负数 D．数轴上原点两边的点可以表示同一个数 A 第 1 页 6．如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点是 . 点A，D 第 1 页 7．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： －5，2.5，3，－，0，－3，3. 解：如图. 第 1 页 8.点A，B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是 ，点B表示的数是1； - 4 第 1 页 (2)在原图中分别标出表示＋3的点C，表示－1.5的点D； (3)在上述条件下，B，C两点间的距离是 ，A，C两点间的距离是 . 2 7 解：(2)如图所示． 第 1 页 9．数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．a，b，c是负数 B．a，b是负数，c是正数 C．a，b，c是正数 D．a是负数，b，c是正数 D 第 1 页 10．如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是( ) A．6 B．6或－6 C．11或－6 D．11或－1 D 第 1 页 11．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位长 度至点B，则点B对应的数是 . － 第 1 页 【变式】变式点：一次平移→两次平移→不明方向平移 (1)点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ； (2)数轴上点A表示的数是－3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 . －3 4或－10 第 1 页 12．如图，一辆货车从超市出发，向东走了4 km到达小华家，继续走了 1.5 km到达小颖家，然后向西走了8.5 km到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置； (2)货车一共行驶了多少千米？ 第 1 页 解：(1)如图所示． (2)4＋1.5＋8.5＋3＝17(km)． 答：货车一共行驶了17 km. 第 1 页 13．已知在纸面上有一数轴(如图)． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－3的点与表示 的点重合； 3 第 1 页 (2)折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上，A，B两点之间的距离为11(A在B的左侧)，且A，B两点经折叠后重合，求A，B两点表示的数． -3 解：(2)②由题意可得A，B两点距离折痕为 11÷2＝5.5个单位长度． 因为折痕与数轴的交点是表示1的点， 所以A，B两点表示的数分别是－4.5，6.5. 第 1 页 $$1.2.2　相反数 第 1 页 1．如果两个数只有 不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数． 2．互为相反数的两个数(0除外)在数轴上对应的两个点，分别位于 0 的两侧，并且到原点的距离 ． 3． 表示a的相反数． 4．正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，0的相反数是 . 符号 原点 相等 －a 负数 正数 0 第 1 页 (苍溪县模拟)如果a的相反数是2 024，那么a的值为 A．2 024 B．±2 024 C．－12 024 D．－2 024 【思路分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【自主解答】 D 第 1 页 【名师支招】 1．相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面添加“－”． 2．表示“和、差”形式的式子的相反数时，要先用括号括上，再在括号前面添上一个“－”． 第 1 页 【易错原因】多重符号化简时符号出错 化简： (1)－(＋6)；　　　(2)－(－1.8)； (3)－＋－3； (4)－－－2. 第 1 页 【自主解答】 (1)－(＋6)＝－6. (2)－(－1.8)＝1.8. (3)－＋－3＝3. (4)－－－2＝－2. 第 1 页 知识点一：相反数 1．(青秀区月考)2的相反数是( ) A．－ B．2 C．－2 D. C 第 1 页 2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的是 ( 　) A．点A和点B　　 B．点A和点D　　　　　　 C．点B和点C D．点C和点D B 第 1 页 3．下列说法：①－4是相反数；②4和－4都是相反数；③－4是4的相反数；④－4与4互为相反数．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 第 1 页 4．相反数等于本身的数是 . 0 第 1 页 5．画出数轴，把下列各数及它们的相反数表示在数轴上： 2，0，－，－3. 第 1 页 解：2的相反数是－2，0的相反数是0，－ 的相反数是 ，－3的相反数是3，表示在数轴上如图所示． 第 1 页 知识点二：多重符号的化简 6．在－3，＋(－3)，－(－4)，－(＋2)中，负数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C 第 1 页 7．化简下列各数： (1)－(－100); (2)－＋534； 解：原式＝100. 解：原式＝－5 . 第 1 页 (3)＋(－2.8); (4)－[－(－2.1)]． 解：原式＝－2.8. 解：原式＝－2.1. 第 1 页 8．一个数在数轴上所对应的点向左移2 024个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是( ) A．2 024 B．－2 024 C．1 012 D．－1 012 C 第 1 页 9．下列说法：①正数与负数互为相反数；②任何有理数都有相反数；③一个数的相反数一定是负数，其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 第 1 页 10. 和它的相反数之间的整数有 个． 11．若b＝－3，则－[＋(－b)]的值为 . 1 -3 第 1 页 12．小花在做题时，画了一条数轴，数轴上原有一点A，其表示的数是－2，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在－2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点怎样移动？ 解：要想把数轴画正确，原点向右移动4个单位长度． 第 1 页 13．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C，D表示的数分别是多少？ 第 1 页 解：(1)点C表示的数是－1. (2)点C表示的数是0.5，点D表示的数是－4.5. 第 1 页 14．在数轴上点A表示7，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为2，求点B，C对应的数是什么． 解：因为数轴上点A表示7， 且点C到A点的距离为2， 所以点C有两种可能：5或9. 因为B，C两点所表示的数互为相反数， 所以B点也有两种可能：－5或－9. 故B：－5，C：5或B：－9，C：9. 第 1 页 15．化简下列各式，并回答问题： ①－(－2)；　　 　　②＋－； ③－[－(－4)]； ④－[－(＋3.5)]； ⑤－－[－(－5)]； ⑥－－[－(＋5)] . (1)当＋5前面有2 024个负号，化简结果是多少？ (2)当－5前面有2 025个负号，化简结果是多少？你能总结出什么规律？ 第 1 页 解：①原式＝2.　　②原式＝－15. ③原式＝－4.　 　 ④原式＝3.5. ⑤原式＝5.　 　　 ⑥原式＝－5. 第 1 页 (1)当＋5前面有2 024个负号，化简后结果是＋5. (2)当－5前面有2 025个负号，化简结果是＋5.规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是其本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 第 1 页 $$1.2.3　绝对值 第 1 页 1．在数轴上，表示一个数的点与 之间的距离，叫作这个数的绝对值，数a 的绝对值记作 . 2．正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 . 互为相反数的两个数的绝对值 ． 3．一般地，如果 a表示一个数，则 原点 |a| 它本身 它的相反数 0 相等 第 1 页 －2 024的绝对值是(　　) A．2 024　　　　 B．－2 024 C.－ D. 【思路分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－2 024的绝对值是2 024. 【自主解答】 A 第 1 页 【名师支招】求一个数a的绝对值的步骤： (1)判断数a是正数，负数还是0. (2)根据正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求出数a的绝对值． 第 1 页 【易错原因】忽视绝对值等于一个正数的数有两个 如果|x|＝2 025，那么x＝________. 【思路分析】绝对值等于一个正数的数有两个． 【自主解答】 2 025或－2 025 第 1 页 知识点一：绝对值的意义 1．－110的绝对值是(　　) A.　　　　 B．10　　　　 C．－　　　　 D．－10 A 第 1 页 2．如图，点A，B，C，D所表示的数中，绝对值相等的两个点是 . 点B与点C 第 1 页 3．(1)－8到原点的距离是 ，所以|－8|＝ ； (2)0到原点的距离是 ，所以|0|＝ ； (3)－|10|是数轴上表示 的点到原点的距离． 8 8 0 0 －10 第 1 页 知识点二：绝对值的性质 4．(德化县期末)下列说法正确的是( ) A．有理数的绝对值一定是正数 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身 D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 C 第 1 页 5．(1)绝对值是4的数有 个，分别是 ； (2)绝对值是0的数有 个，是 . (3) (选填“存在”或“不存在”)绝对值是－5的数？理由： 0 ． 两 4和－4 一 0 不存在 一个数 的绝对值为非负数 第 1 页 知识点三：绝对值的计算及应用 6．(盐都区期末)小布同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是( ) D 第 1 页 7．化简： (1)－|－3|＝ ；　　 (2)－|－（7.5）|＝ ； (3)＋|－（－7）|＝ ; (4)|－2|＋| |＝ . －3 －7.5 7 第 1 页 8．(娄底中考)已知M，N，P，Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是(　　) A．M B．N C．P D．Q D 第 1 页 9．绝对值小于2的整数有(　　) A．2，1，0 B．－2，－1，0，1，2 C．－1，0，1 D．0，－1，－2 C 第 1 页 10．下列各组数中，互为相反数的是( ) C 第 1 页 11．已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负数的是( ) A．a B．－a C．|－a| D．－|－a| C 第 1 页 12．计算： (1)|－25|＋|23|－|－40|＝ ； (2)－| 3 |×|－ |÷|－0.75|＝ . 8 第 1 页 13．分别写出下列各数的绝对值：－1 ，－(＋4.3)，＋(－2)，0，3，并把各绝对值结果在数轴上表示出来． 第 1 页 解：｜－1 ｜＝1 ，|－(＋4.3)|＝4.3，|＋(－2)|＝2，|0|＝0，｜3 ｜ ＝3 . 绝对值在数轴上表示如图所示． 第 1 页 14．【阅读理解问题】阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝ |x－0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 第 1 页 【例1】　已知|x|＝2，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数有－2和2，即x的值为－2或2. 【例2】　已知|x－1|＝2，求x的值． 解：在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数有3和－1，即x的值为3或－1. 仿照阅读材料中的解法，求下列各式中x的值． 第 1 页 (1)|x|＝3；(2)|x－2|＝4. 解：(1)在数轴上与原点距离为3的点对应的数有－3和3，即x的值为－3或3. (2)在数轴上与表示数2的点的距离为4的点对应的数有6和－2，即x的值为6或－2. 第 1 页 微专题1：巧用绝对值的非负性 第 1 页 【方法指导】利用绝对值的非负性，可以得出每个绝对值符号中含有字母的式子为0，进而求出各字母的值，再代入所求式子求值即可． 第 1 页 【针对训练】 1．若|x|＝－x，则x的取值范围是 . 2．根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当x＝ 时，|x－2 024|有最小值，这个最小值是 ； (2)当x＝ 时，2 024－|x－1|有最大值，这个最大值是 . x≤0 2 024 0 1 2 024 第 1 页 3．若|x－2|＋|y＋3|＝0. (1)求x，y的值； (2)求|x|＋|y|的值． 解：(1)x＝2，y＝－3. (2)|x|＋|y|＝|2|＋|－3|＝2＋3＝5. 第 1 页 $$1.5.3　有理数的乘除 第 1 页 有理数的乘除混合运算，可以按 的顺序依次计算，也可以先将除法转化为 ；有括号的应先算 里面的． 从左到右 乘法 括号 第 1 页 计算： (1)(－24)÷(－2)×(－ )； (2)(－28)÷3× ； (3)－27÷2 × ÷(－24)． 【思路分析】根据有理数的乘除法法则分别进行计算即可． 第 1 页 【自主解答】 (1)(－24)÷(－2)×(－ ＝12×(－＝－10. (2)(－28)÷3× ＝(－28)× × ＝－. 第 1 页 (3)－27÷2 × ÷(－24) ＝－27× × ×(－ )＝. 第 1 页 【名师支招】 1．对于乘除混合运算，应先统一成乘法，再确定符号进行绝对值运算． 2．运算律可以简化运算，学会“逆用”运算律可以得到意想不到的效果． 第 1 页 【易错原因】混合运算易把运算顺序弄错 计算(－3)× ÷(－×3的结果是(　　) A．－9　　B．9　　C．1　　D．－1 【自主解答】 B 第 1 页 知识点：有理数的乘除 1．将式子(－1)×(－1 )÷ 的除法转化为乘法运算，正确的是( ) A．(－1)×(－ )× B．(－1)×(－ )× C．(－1)×(－ )× D．(－1)×(－ )× B 第 1 页 2．下列各式的计算结果是负数的是( ) A．－2×3×(－2)×5 B．3÷(－3)×2.6÷(－1.5) C．|－3|×4×(－2)÷(－ ) D．(－2－5)×(－3＋55)÷|－10| D 第 1 页 3．按下面的程序计算：输入x＝2，则输出的答案是 . 第 1 页 4．计算： (1)5÷(－ )×(－6)＝ ； (2)0÷0.25×4＝ . 180 0 第 1 页 5．计算： (1)(－6)÷[(－3)×2]; 解：原式＝（－6）÷（－6） ＝1. 第 1 页 (2)(－5)÷(－7)÷(－15)； 解：原式＝－5 × × ＝－. 第 1 页 (3)(－0.4)÷0.02×(－5); 解：原式＝－20×（－5） ＝100. 第 1 页 (4)(－ )÷ (－ )× (－ ). 解：原式＝－ × × ＝－. 第 1 页 6．计算5÷(－5)×(－ )的结果为( ) A．5 B．－5 C. D．1 C 第 1 页 7．若a的相反数是5 ，b的倒数是－，则a与b的商的5倍是( ) A．10 B．－10 C．7 D．－7 A 第 1 页 8．计算： (1)(－24)÷ ÷(－12)× ； 解：原式＝(－24) × × (－ )× ＝[（－24）×(－ )]×( × ) ＝2. 第 1 页 (2)2÷(－ )× ÷ (－2 )； 解：原式＝2×(－ )× ×(－ ＝2× ×[(－ )×(－ )] ＝2× ×1 ＝. 第 1 页 (3)(－6.5)×(－2)÷ [(－ )×（－5）]； 解：原式＝(－ )×(－2)× ＝ . 第 1 页 (4)(－2 )×[(－ ÷(－ )]÷(－5)． 解：原式＝ × × ＝. 第 1 页 9．已知a 是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如[4.3]＝4，[－1.6]＝－2，[5]＝5，试计算：[－9.3]÷[6.9]÷－[9 ]×[－4.2]． 解：由题意得[－9.3]＝－10，[6.9]＝6，[－9 ]＝－10，[－4.2]＝－5. 所以原式＝－10÷6÷(－10)×(－5)＝－. 第 1 页 10．观察图形，解答问题： 第 1 页 (1)按下表已填写的形式填写表中的空格： 三个角上三个数的积 三个角上三个数的和 积与和的商 图① 1×(－1)×2＝－2 1＋(－1)＋2＝2 (－2)÷2＝－1 图② (－3)×(－4)× (－5)＝－60 (－3)＋(－4)＋ (－5)＝－12 图③ (－60)÷(－12) ＝5 (－2)×(－5)× 17＝170 (－2)＋(－5)＋ 17＝10 170÷10＝17 第 1 页 (2)请用发现的规律求出图④中的数x. 解：x＝[5×(－8)×(－9)]÷[5＋(－8)＋(－9)] ＝5×8×9× (－ ) ＝－30. 第 1 页 $$1.3　有理数大小的比较 第 1 页 1．正数 0，0 负数，正数 负数；两个负数，绝对值大的 ． 2．在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 ． 大于 大于 大于 反而小 大 第 1 页 比较下列各组数的大小． (1)－0.02与1； (2)－3.14与0； (3)－(－ )与－[＋(－0.75)]. 【思路分析】(1)根据正数大于一切负数，可求得；(2)根据两个负数，绝对值大的其值反而小，可求得；(3)先化简再比较大小． 第 1 页 【自主解答】 (1)－0.02＜1. (2)－3.14<0. (3)因为－(－ )＝＝0.75， －[＋(－0.75)]＝0.75， 所以－(－ )＝－[＋(－0.75)]. 第 1 页 【名师支招】 第 1 页 知识点一：利用有理数大小比较法则比较大小 1．(枣庄中考)下列各数中比1大的数是( ) A．0 B．2 C．－1 D．－3 B 第 1 页 2．在－1，0，－2，5这四个数中，最大的数是( ) A．－1 B．0 C．－2 D．5 D 第 1 页 3．(金华中考)某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是－20 ℃，－10 ℃，0 ℃，2 ℃，其中最低气温是( ) A．－20 ℃ B．－10 ℃ C．0 ℃ D．2 ℃ A 第 1 页 4．下列各数中，大小比较错误的是( ) A．－(－)>－ B．－3>－3.5 C．－(－5)<|－5| D．－1.1<0 C 第 1 页 5．将－5，＋2.3，0，＋3，－2.5，－1这六个数按从大到小排列，排在第四位数的是 . －1 第 1 页 6．比较下列各组数的大小： (用“>”或“<”填空) (1)－ －； (2)－9.1 －9.099； (3)－(＋0.333) －|＋ |； (4)－(－) －|－0.4|. > < > > 第 1 页 知识点二：利用数轴比较有理数的大小 7．如图，a与b的大小关系是( ) A．a<b B．a>b C．a＝b D．b＝2a A 第 1 页 8．在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． －2.5，＋(－3)，0，－(－2 )，－| 3 |. 第 1 页 解：在数轴上表示各数如图所示， 用“<”号把它们连接起来如下： ＋(－3)<－2.5<0<－(－2 )<－| 3 |. 第 1 页 9．(长沙期末)下列四个数中，最大的数是( ) A．－(－2 021) B．|－2 022| C．－|－2 023| D．－(＋2 024) B 第 1 页 10．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足－a<b<a，则b的值不可能是( ) A．2 B．0 C．－1 D．－3 D 第 1 页 11．在－0.632 8中用数字4替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是( ) A．6 B．3 C．2 D．8 B 第 1 页 12．比较下列各组数的大小： (1)－(－)与|－ |； 解：－(－)< |－ |. 第 1 页 (2)－（），＋（－）与｜－ ｜. 解：＋（－）<－ <｜－ ｜. 第 1 页 13．已知|a|＝2，|b|＝1，且b>a，求a，b的值． 解：因为|a| ＝2，|b|＝1， 所以a＝±2，b＝±1， 又因为b>a， 所以a＝－2，b＝－1或a＝－2，b＝1. 第 1 页 14．有一位同学在比较两个数的大小时，不慎把右边的一个有理数小数点后面的一位数字弄上了墨水，－1 >－1.□，请你帮这位同学想一想“□”中这个数字可能是多少？ 第 1 页 解：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，未知有理数一定在－1 的左边(数轴上的位置)， 所以只能是－1.6，－1.7，－1.8或－1.9， 所以“□”中这个数字可能是6，7，8或9. 第 1 页 15．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5. (1)a＝ ，b＝ ； (2)写出大于b的所有负整数； (3)在数轴上标出表示－，0，－2，b的点，并用“＜”连接起来． 2 －3.5 第 1 页 解：(2)大于b的所有负整数为－3，－2，－1. (3)数轴上表示如图所示． b<－2<－<0. 第 1 页 16．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示． (1)在空白处填入“>”或“<”： a 0；b 0；c 0； ｜a｜ ｜c｜；｜a｜ ｜b｜；｜－b｜ ｜c｜； (2)试在数轴上找出表示－a，－b，－c的点； (3)试用“<”号将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来． < > < < < < 第 1 页 解：(2)表示－a，－b，－c的点如图所示． (3)根据数轴上从左到右的顺序即从小到大的顺序可得c<－b<a<0<－a<b<－c. 第 1 页 $$复习提升(一)　有理数 第 1 页 【重难点突破】 重难点一：有理数的概念与分类 1．(雨花区期末)史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．如果向南走3 m，记作＋3 m，那么向北走6 m，记作( ) A．＋9 m B．16 m C．－6 m D．－3 m C 第 1 页 2．(桂林期末)将有理数－2.5，0，2 ，2 024，－35%，0.6分别填在相应的大括号里． 整数：{ …}； 负数：{ …}； 正分数：{ …}． 0，2 024 －2.5，－35% 2 ，0.6 第 1 页 重难点二：数轴、相反数、绝对值及倒数 3．下列各组数中，互为相反数的是( ) A．2和－ B．2和－2 C．2和 D．－2和－ B 第 1 页 4. 的相反数的倒数是( ) A. B．－3 C．3 D．－ B 第 1 页 5．(柳州期末)若|a－2|＋|b＋3|＝0，则(a＋b)2 024＝ . 1 第 1 页 6．(浦北县月考)昨天，小明把老师布置的作业题忘记了，只记得式子是4a＋(b＋c)－|3d|.小军告诉小明，已知a是最大的负整数，b，c互为相反数，负数d的绝对值是2，请帮小明解答问题．求4a＋(b＋c)－|3d|的值． 解：因为a是最大的负整数，b，c互为相反数，负数d的绝对值是2， 所以a＝－1，b＋c＝0，d＝－2， 所以4a＋(b＋c)－|3d|＝4×(－1)＋0－6＝－10. 第 1 页 重难点三：有理数的大小比较 7．(梧州模拟)下列数据中，是大于－1且小于0的数是( ) A．－3 B．3 C. D．－ D 第 1 页 8．(衡阳期末)已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式错误的是( ) A．a＜b＜c B．－a＜－b C．a＋b＜0 D．c－a＞0 B 第 1 页 9．比较下列两个数的大小： (1)－( - )与－( - )； 解：－( - )＜－( - ). 第 1 页 (2)－| - |与－| - |. 解：－| - |＜－| - |. 第 1 页 重难点四：科学记数法 10．龙年春晚以“龙行龘龘(da)，欣欣家国”为主题，以“龘”字为题眼，用“龘龘”之姿生动描摹1 400 000 000中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．其中数字1 400 000 000用科学记数法表示为( ) A．1.4×108 B．14×108 C．1.4×109 D．0.14×1010 C 第 1 页 11．(平南县模拟)用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来的整数位数是 ( ) A．10 B．12 C．13 D．14 B 第 1 页 重难点五：有理数的运算 12．(玉州区期末)下列计算中正确的是( ) A．－2＋3＝－5 B．2÷ ＝1 C．(－2)3＝－6 D．(－3)×(－3)＝9 D 第 1 页 13．(娄星区校级期中)用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab＋b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则－4※2的值为( ) A．－4 B．8 C．4 D．－8 A 第 1 页 14．(钦南区期中)阅读计算过程： 3 －22÷[( )2 -(-3＋0.75)]×5 解：原式＝3 －22÷[ -3＋ ]×5① ＝3 ＋4÷|－2|×5 ② ＝3 － ③ ＝2 . 第 1 页 回答下列问题： (1)步骤①错在 ； (2)步骤①到步骤②错在 ； (3)步骤②到步骤③错在 ； (4)此题的正确结果是 . 去小括号时没变符号 符号错误 除法计算有误 －4 第 1 页 15．(玉州区期中)计算： －23 ÷ ×( - )2. 解：原式＝－8÷ × ＝－18× ＝－8. 第 1 页 16．(宜州区期末)根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，中学生每天使用电子产品的时间不应超过2 h．某校想了解该校学生每天玩手机的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天玩手机的时间情况(标准使用时间为每天2 h，超过记为正、不超过记为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 ＋3 －1 －2 －0.5 －1.5 ＋5 ＋8 第 1 页 (1)根据上表的数据可知该生星期三玩手机的时间是 h； (2)玩手机时间最多的一天比时间最少的一天多 h； (3)该生这一周玩手机共用了多少小时？ 0 10 第 1 页 解：(3)由题意得，＋3＋(－1)＋(－2)＋(－0.5)＋(－1.5)＋(＋5)＋(＋8)＝ 11(h)， 2×7＋11＝14＋11＝25(h)， 答：该生这一周玩手机共用了25 h. 第 1 页 【综合与实践】 17．教材呈现：七年级上册数学的一道题目： 求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离： (1)3与－2；(2)5与2；(3)－4与－4.5；(4)－3 与 2 . 你能发现所得的距离与这两数差的绝对值有什么数量关系吗？ 第 1 页 归纳概括： (1)请写出每对数在数轴上对应点之间的距离与这两数差的绝对值的数量关系： ； (2)数轴上表示数3与－2的两点之间的距离是 ； (3)|x＋4|的含义是数轴上表示数x与 两点之间的距离； 数轴上两点之间的距离等于这两个数的差的绝对值 5 －4 第 1 页 解决问题： (4)请在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在－4与3之间移动时，可以发现|x＋4|＋|x－3|的值总是一个固定的值，这个值是 . 7 第 1 页 $$1.7　有理数的混合运算 第 1 页 1．含有有理数的 、 、 、 、 多种运算，称为有理数的混合运算． 2．有理数的混合运算顺序是：先算 ，再算 ，最后算 ；如果有 ，就先进行 里面的运算(先 括号，再 括号，最后 括号)．同级运算，按从 到 的顺序计算． 加 减 乘 除 乘方 乘方 乘除 加减 括号 括号 小 中 大 左 右 第 1 页 计算： (1)3×( - )－2÷( - )； (2)－9÷3＋( － )×12； (3)－32×( - )－(－4)÷23； (4)－14＋ ×[2×(- 6) - ( - 4)2 ]. 【思路分析】进行有理数的混合运算时，要确定运算顺序． 第 1 页 【自主解答】 (1)原式＝－2＋4＝2. (2)原式＝－3＋( - )×12＝－5. (3)原式＝－9＋( - )－(－4)÷8＝＋＝2. (4)原式＝－1＋ ×(－28)＝－8. 第 1 页 【名师支招】 1．有理数的混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算按从左至右的顺序运算；如果有括号，按照小括号、中括号、大括号的顺序先进行括号里的运算． 2．计算时还要依据各类运算法则和运算律简化运算． 第 1 页 知识点一：有理数的混合运算 1．(1)计算2－[10－(1－5)×2]时，应该先算 里面的，再算 里面的，最后算 ．正确的结果为 ； (2)计算－32＋5－8×(－2)时，应该先算 ，再算 ，最后算 0 ．正确的结果为 . 小括号 中括号 加减 －16 乘方 乘法 加减 12 第 1 页 2．如图是一个计算程序，若输入的值为－1，则输出的结果应为 . 7 第 1 页 3．计算： (1)(－2)×5＋3÷(－4)×8； 解：原式＝－10＋24÷(－4) ＝－10－6 ＝－16. 第 1 页 (2)－×[- 52＋3÷(- )2]－1.52. 解：原式＝－ ×(－25＋3×9)－2.25 ＝－ ×2－2.25 ＝－2.65. 第 1 页 知识点二：灵活运用运算律进行混合运算 4．计算： (1)( - - )÷(- )－(－1)3； 解：原式＝7. 第 1 页 (2)(－6)2×( - )－23. 解：原式＝－2. 第 1 页 5．(礼泉县期末)小林在计算“40÷□×(－2)”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则40÷□×(－2)的值为( ) A．10 B．16 C．－12 D．－18 B 第 1 页 6．(安顺期末)定义一种新运算：A☆B＝A3－B2，如2☆3＝23－32＝－1，则4☆(－5)的计算结果是( ) A．－9 B．39 C．41 D．89 B 第 1 页 7．计算－42×[(-1)2 024+( - )3]的结果是 . －14 第 1 页 8．(教材P59复习题T15变式)《庄子·天下篇》中记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．这句话的意思是：“一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完”．根据这句话计算：1＋＋＋＋…＋＋＝ . 2 - 第 1 页 9．计算： (1)(－2)3×8－8×( )3＋8÷ ； 解：原式＝－1. 第 1 页 (2)－1－[2 - (1- × 0.5)]×[32 - (-2)2]. 解：原式＝－1－[2 - (1- ) ]×(9－4) ＝－. 第 1 页 10．(教材P53习题T4变式)有一个“二十四点”的趣味题，将四个数(四个数都用且只能用一次)进行“＋”“－”“×”“÷”运算，可加括号使其结果等于24. 例如：对1，2，3，4可作运算(1＋2＋3)×4＝24，也可写成4×(1＋2＋3)＝24，但视作相同方法的运算． (1)现有四个有理数3，4，－6，10，请用两种不同的算法计算出24，并分别写出算式； (2)若给四个有理数3，－5，7，－13，还能凑出24吗？请写出一个算式． 第 1 页 解：(1)根据题意，得3×(4－6＋10)＝24， 10－4－3×(－6)＝24(答案不唯一)． (2)能，[(-5)×(-13)＋7]÷3＝24. 第 1 页 微专题3：教材P59复习题T17的变式 第 1 页 【针对训练】 观察下列各式：－1×＝－1＋，－×＝－＋，－×＝－＋. (1)猜想：－×＝ ；(写成和的形式) (2)你发现的规律是： ；(n为正整数) - ＋ - ×- 第 1 页 (3)用规律计算：(-1× )＋(- × )＋(- × )＋…＋(- ×)＋ (- ×). 第 1 页 解：(3)原式＝－1＋－＋－＋＋…－＋－＋ ＝－1＋＝－. 第 1 页 $$第2课时　有理数加法的运算律 第 1 页 1．加法交换律： a＋b＝ .即两个有理数相加，交换加数的位置，和 ； 2．加法结合律： a＋b＋c＝ ＝ ． 即三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 ． b＋a 不变 (a＋b)＋c a＋(b＋c) 不变 第 1 页 计算： (1)－0.5＋（ －3 ）＋(－2.75)＋（＋7 ）； (2) ＋（－ ）＋（－ ）＋（－ ）＋（－ ）. 【思路分析】合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化． 第 1 页 【自主解答】 (1)原式＝(－0.5)＋（＋7 ）＋[（－3 ）＋（－2.75）] ＝7＋(－6)＝1. (2)原式＝[＋（- ）]＋[（－ ）＋（－）＋（－）] ＝0＋(－1 )＝-1 . 第 1 页 【名师支招】①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，可以先行相加；③有多个正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把两个结果相加． 第 1 页 知识点一：有理数加法的运算律 1．下列说法中正确的是( ) A．根据加法交换律有6＋(－5)＋1＝(－5)＋(－6)＋1 B．根据加法交换律有6＋(－5)＋1＝(－6)＋(－1)＋5 C．根据加法结合律有20＋(－5)＋(－4)＝20＋[5＋(－4)] D．根据加法结合律有20＋(－5)＋(－4)＝20＋[(－5)＋(－4)] D 第 1 页 2．在算式每一步后面填上这一步所依据的运算律． (＋7)＋(－22)＋(－7) ＝(－22)＋(＋7)＋(－7) 0 ＝(－22)＋[(＋7)＋(－7)] 0 ＝(－22)＋0 ＝－22. 加法交换律 加法结合律 第 1 页 3．计算： (1)(－3.75)＋2＋(－1 )； 解：原式＝[（－3.75）＋(－1 )]＋2 ＝－5＋2 ＝－3. 第 1 页 (2)(－ )＋(－ )＋＋(－ ). 解：原式=(－ ＋ )－( ) ＝1－1 ＝0. 第 1 页 知识点二：有理数加法运算律的应用 4．阅览室某一书架上原有图书20本，规定每天归还图书为正，借出图书为负，经过两天借阅情况如下：(－3，＋1)，(－1，＋2)，则该书架上现有图书 本． 19 第 1 页 5．一个勘察队，第一天沿江向下游走3 km，第二天又向下游走5 km，第三天向上游走7 km，第四天向上游走4 km，这时勘察队在出发点的上游 km. 2 第 1 页 6．张大伯共有7块麦田，今年的收成与去年相比(增产为正，减产为负)情况如下(单位：kg)：＋320，－170，－320，＋130，＋150，＋40，－150.则今年小麦的总产量与去年相比( ) A．增产20 kg B．减产20 kg C．增产120 kg D．持平 D 第 1 页 7．设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a，b，c三个数的和为( ) A．－1 B．0 C．1 D．不存在 A 第 1 页 8．如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分含有的整数之和为 . 2 第 1 页 9．已知a＋c＝－2 023，b＋(－d)＝2 024，则a＋b＋c＋(－d)＝ . 1 第 1 页 10．计算： (1)19＋(－6.9)＋(－3.1)＋(－8.35)； 解：原式＝19＋[（－6.9）＋（－3.1）]－8.35 ＝19－10－8.35 ＝9－8.35 ＝0.65. 第 1 页 (2)(－3 )＋(＋15.5)＋(－16 )＋(－5 )； 解：原式＝(－3 －16 )＋(15.5－5.5) ＝－20＋10 ＝－10. 第 1 页 (3)(－ )＋3.25＋2 ＋(－5.875)＋1.15. 解：原式＝[(－ )＋(－5.875)]＋(3.25＋1.15＋2.6) ＝－6＋7 ＝1. 第 1 页 11．阅读下面文字： 计算：(－5 ＋(－9 )＋17 ＋(－3 ). 原式＝[（－5）＋(－)]＋[（－9）＋(－)] ＋(17＋ )＋[（－3）＋(－] ＝[（－5）＋（－9）＋17＋（－3）]＋[(－ )＋(－ )＋＋(－] ＝0＋(－1 )＝－1 . 第 1 页 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请计算： (－2 024 )＋(－2 023 )＋(－1 )＋4 047. 第 1 页 解：原式＝[（－2 024）＋（－ ）]＋[（－2 023）＋ （－ ）]＋[（－1）＋（－ )]＋4 047 ＝[（－2 024）＋（－2 023）＋（－1）＋4 047]＋ [(－ )＋(－ )＋(－ )] ＝－1＋(－2) ＝－3. 第 1 页 $$1.4.2　有理数的减法 第 1 页 有理数减法法则：减去一个数，等于 ，即 . 加上这个数的相反数 a－b＝a＋(－b) 第 1 页 计算： (1)(－28)－(－12)；　(2)3－(－5)； (3)4－7; (4)0－(－16)． 【思路分析】进行有理数减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法法则进行计算．要特别注意减数的符号． 第 1 页 【自主解答】 (1)(－28)－(－12)＝－28＋12＝－16. (2)3－(－5)＝3＋5＝8. (3)4－7＝4＋(－7)＝－3. (4)0－(－16)＝0＋16＝16. 第 1 页 【名师支招】 1．对有理数进行减法运算时要注意两变：(1)改变运算符号，减号变加号；(2)改变减数的符号，正数变负数，负数变正数．两不变：(1)在运算过程中，被减数与减数的位置不能改变；(2)被减数的符号不变． 2．利用有理数减法法则，可以将有理数减法统一成加法运算．计算有理数减法的一般步骤：(1)将减号变为加号，同时将减数变为它的相反数；(2)利用有理数的加法法则计算． 第 1 页 【易错原因】在运算中易漏掉减号后面的括号 计算：5.6－(－4.8)． 【自主解答】 5．6－(－4.8)＝5.6＋4.8＝10.4. 第 1 页 知识点一：有理数的减法法则 1．如图，数轴上点A表示的数减去点B表示的数，结果是(　　) A．8 B．－8 C．2 D．－2 B 第 1 页 2．下列运算中正确的是( ) A．－5－(－3)＝－8 B．＋6－(－5)＝1 C．－7－|－7|＝0 D．＋5－(＋6)＝－1 D 第 1 页 3．比0小4的数是 ，比3小4的数是 ，比－5小－2的数是 . －4 －1 －3 第 1 页 4．计算： (1)0－1.1; (2)(－ )－； 解：原式＝－1.1. 解：原式＝－ 第 1 页 (3)7.6－(－2.8); (4)(－4 )－5 . 解：原式＝10.4. 解：原式＝－10 . 第 1 页 知识点二：有理数减法法则的应用 5．(杭州中考)如图，圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6 ℃，最高气温为2 ℃，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为( ) A．－8 ℃ B．－4 ℃ C．4 ℃ D．8 ℃ D 第 1 页 6．世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8 848.86 m，而吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155 m，两处高度大约相差 m. 9 003.86 第 1 页 7．下列说法中正确的是( ) A．两数相减，被减数一定大于减数 B．0减去一个数仍得这个数 C．互为相反数的两数差为0 D．减去一个正数，差一定小于被减数 D 第 1 页 8．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是( ) A．－2－a＜0 B．－2－b＞0 C．a－b＞0 D．|b|－|a|＜0 D 第 1 页 9．已知被减数是－2 ，差是 ，则减数是 . 10．小华在计算14－a时，误把“－”看成“＋”，求得结果为－5，则14－a＝ . －3 33 第 1 页 11．计算： (1) －(－ )； 解：原式＝ + ＝1 第 1 页 (2)－|－2.4 |－|－ |. 解：原式＝－2.4－ ＝－2.8. 第 1 页 12．某矿井的示意图如图所示，以地面为准，A点的高度是4 m，B，C两点的高度分别是－15 m与－30 m．A点比B点高多少？比C点呢？ 第 1 页 解：4－(－15)＝19(m)， 4－(－30)＝34(m)． 答：A点比B点高19 m，比C点高34 m. 第 1 页 13．已知|x|＝3，|y|＝7.若|x＋y|＝x＋y，求x－y的值． 解：因为|x|＝3，|y|＝7，|x＋y|＝x＋y， 所以x＝3，y＝7或x＝－3，y＝7， 所以x－y＝－4或x－y＝－10. 第 1 页 14．我们知道：一个数在数轴上所对应的点与原点之间的距离就是这个数的绝对值．那么任意两个数与它们在数轴上所对应的点之间的距离又有什么关系呢？ (1)如图所示，－3，－1，2，4在数轴上分别对应点A，B，C，D. 第 1 页 ①点A与原点之间的距离为 ； ②A，B两点之间的距离为 ； ③B，C两点之间的距离为 ； ④C，D两点之间的距离为 . 你的结论：如果两个数m，n在数轴上分别对应点M，N，那么M与N两点之间的距离表示为 (用含m，n的式子表示)； 3 2 3 2 |m－n| 第 1 页 (2)利用(1)的结论解决问题： 已知数轴上点P对应x，点Q对应3，且点P与点Q之间的距离是8，求x的值． 解：(2)由题意，得|x－3|＝8， 所以x－3＝±8， 所以x＝11或x＝－5. 第 1 页 $$答题评分标准示例 第 1 页 【示例1】(7分)解下列方程： ＝1＋. 第 1 页 解：原方程整理，得 ＝1＋. 去分母，得5(1－20x)＝15＋100x.2分 去括号，得5－100x＝15＋100x.3分 移项，得－100x－100x＝15－5.4分 合并同类项，得－200x＝10.5分 系数化为1，得x＝－0.05.7分 第 1 页 评分说明： 1．去分母正确得2分，去括号正确得1分，移项正确得1分，合并同类项正确得1分，系数化为1正确得 2分． 2．易错不得分点： ①去分母，去括号漏乘某一项 ②去括号，合并，移项时变号错误 第 1 页 【示例2】(9分)如图，线段AB被点C，D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长． 第 1 页 解：设AB的长为x cm. 因为线段AB被点C，D分成了3∶4∶5三部分， 所以AC＝ x，CD＝ x，DB＝ x， 又因为M是AC的中点，N是DB的中点， 所以MC＝ x，DN＝x1分 所以 x＋ x＋ x＝40.5分 解得x＝60.8分 所以AB的长为60 cm.9分 第 1 页 评分说明： 1．将线段MC，CD，DN用含有同一个字母的代数式表示得1分，根据题意正确地列出方程得4分，求出字母的值得3分，写出答案得1分． 2．易错不得分点： ①不能将图中的各线段用含同一个字母的代数式表示 ②不能根据MN＝40列出方程 ③解方程出错，漏答 第 1 页 第1章 有理数 1．1　认识负数 第 1 页 1．为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，把其中一种意义的量规定为正的，用大于 的数来表示，这样的数叫作 ；而把与它意义相反的量规定为负的，用在 前面添上“－”的数来表示，这样的数叫作 ． 0 正数 正数 负数 第 1 页 2．大于0的 和 都是正数；在正数前面加上“－”就是负数． 既不是正数，也不是负数．正数和0统称为 ． 3．正整数、 和 统称为整数； 和 统称为分数； 和 统称为有理数． 自然数 分数 0 非负数 负整数 零 正分数 负分数 整数 分数 第 1 页 (衡阳中考)中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作＋500元，则支出237元记作 A．＋237元　　　B．－237元 C．0元 D．－474元 【思路分析】在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个用负表示． 【自主解答】 B 第 1 页 【名师支招】 1．具有相反意义的量必须是成对出现的． 2．具有相反意义的量必须是同类量． 第 1 页 【易错原因】未能根据定义分类 下列各数：－2.5，＋3.1，0，－1，－0.7，110，2.12%，其中负分数有(　　) A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【自主解答】 B 第 1 页 知识点一：具有相反意义的量 1．(祁阳县期中)下列选项中具有相反意义的量是( ) A．胜1局和亏损2万元 B．向东行驶5 km与向北行驶10 km C．运进6 kg苹果与卖完5 kg苹果 D．水位上升0.6 m与水位下降1 m D 第 1 页 2．(广西中考)若零下2摄氏度记为－2 ℃，则零上2摄氏度记为( ) A．－2 ℃　　　 B．0 ℃　　　 C．＋2 ℃　　　 D．＋4 ℃ C 第 1 页 3．(覃塘区期中)如果以北为正方向，向北走10 km记做＋10 km，那么 －8 km表示( ) A．向东走了8 km B．向南走了8 km C．向西走了8 km D．向北走了8 km B 第 1 页 知识点二：0、正数和负数 4．下列数中，属于负数的是( ) A．2 024 B．－2 024 C. D．0 B 第 1 页 5．在数－15，5 ，－0.23，0.7，6，2，－，314%中，非负数有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 B 第 1 页 6．下列各数中哪些数是正数，哪些数是负数？ －6.1，＋20，，0，－5，－，20%. 正数有 ，负数有 . ＋20，，20% －6.1，－5，－ 第 1 页 知识点三：有理数的分类 7．下列说法正确的是( ) A．整数和分数统称有理数 B．0和负分数统称分数 C．正整数和负整数统称整数 D．0和正整数叫作非负数 A 第 1 页 8．在有理数中，不存在这样的数( ) A．既是整数，又是负数 B．既不是正数，也不是负数 C．既是正数，又是负数 D．既是分数，又是负数 C 第 1 页 9.下列数：－，，－4，6，－0.135，0.66，0.其中整数有 个；负分数有 ；非负整数有 . 3 －，－0.135 6，0 第 1 页 10．(启东期末)小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，＋10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是( ) A．－6.3表示收入6.3元 B．－6.3表示支出－6.3元 C．－6.3表示支出6.3元 D．收支总和为16.8元 C 第 1 页 11．下列说法中正确的个数为(　　) ① 0是整数；　　　　② －0.2是负分数； ③ 3.2不是正数；　　 ④ 自然数一定是正数． A．1 B．2 C． 3 D．4 B 第 1 页 12．(婺城区期末)一次数学测试，如果80分为优秀，以80分为基准简记，例如90分记为＋10分，那么70分应记为 分． 13．请按要求填出相应的两个有理数： (1)既是正数也是分数： ； (2)既不是负数也不是分数： ． －10 2 ， (答案不唯一) 2，0 (答案不唯一) 第 1 页 14．把下列各数填在相应的大括号内： －35，0.1，－，0，－3，1，4.010 010 00…，22，－0.3. 正数集合： …； 整数集合： 　　　　　 …； 负分数集合： 　　…； 非负整数集合：　　　　 　　…. 0.1，1，4.010 010 00…，22， －35，0，1，22， －，－3，－0.3， 0，1，22， 第 1 页 15．(1)某店出售粮食6袋，每袋质量(单位：kg)如下： 25，25.5，24.5，24.8，25.4，25.7.若每袋以25 kg为标准，超过或不足的分别用正数、负数表示，请将每袋粮食的质量用正数或负数表示出来； (2)有关部门抽查某商店销售的某种粮食，共抽查10袋，每袋以50 kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下(单位： kg)：－2，＋1.5，＋2，－1，－1.5，＋1，＋2.5，＋3，－1.8，＋1.6. 请说出这10袋粮食的实际质量． 第 1 页 解：(1)0，＋0.5，－0.5，－0.2，＋0.4，＋0.7. (2)48 kg，51.5 kg，52 kg，49 kg，48.5 kg，51 kg，52.5 kg，53 kg， 48.2 kg，51.6 kg. 第 1 页 16．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题． (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 第 1 页 解：(1)在A处的数是正数． (2)负数排在B和D的位置． (3)因为2 024÷4＝506， 所以第2 024个数排在A对应的位置，是正数． 第 1 页 $$第2课时　有理数乘法的运算律 第 1 页 1．几个不等于0的数相乘，当有偶数个负数时，积为 ，当有奇数个负数时，积为 ． 2．几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于 . 3．乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置， ． 正数 负数 0 积不变 第 1 页 4．乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘， ． 5．乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积 ． 积不变 相加 第 1 页 计算： ( － ＋ ) ×(－36)． 【思路分析】运用分配律计算． 第 1 页 【自主解答】 ( －＋ )×(－36) ＝－8＋9－2 ＝－1. 第 1 页 【名师支招】 1．在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． 2．乘法运算律可推广如下： (1)三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b； (2)一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad. 第 1 页 知识点一：有理数乘法的运算律 1．计算( － )× ＋( － )× 时，最简便的方法是( ) A．利用分配律 B．利用乘法交换律 C．利用乘法结合律 D．利用加法交换律与结合律 A 第 1 页 2．在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： [（8×6）×1.25－]×40 ＝[（6×8）×1.25－ ]×40 0 ＝[6×（8×1.25）－ ]×40 0 ＝60×40－×40. 0 乘法交换律 乘法结合律 分配律 第 1 页 3．计算： (1)(－8 )×(－ )× ＝ ； (2)( －＋ )×(－63)＝ . －35 第 1 页 知识点二：多个有理数相乘 4．判断下列各式乘积的符号：①(－3)×(－4)×(＋5.5)；②4×(－2)×(－3.1)×(－7)；③(－2 024)×0×7×(－2)；④(－ 3.7)×(－6)×10×(－5.3)×(－1)，其中积为正数的有 (选填序号)；积为负数的有 (选填序号)；③的计算结果为 . ①④ ② 0 第 1 页 5．计算： (1)(－2)×3×(－ )； (2)(－5)×(－5)×(－2)； 解：原式＝2×3× ＝1. 解：原式＝－5×5×2＝－50. 第 1 页 (3)4×(－0.25)×(－6)； 解：原式＝4×0.25×6＝6. 第 1 页 (4)(－）×（－ )×(－）. 解：原式＝－ × × ＝－. 第 1 页 6．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，现从中选取一个点作为原点，使其余三个点表示的数的积为正，则选取的这一点可以是( ) A．点A或点B B．点A或点C C．点B或点C D．点C或点D B 第 1 页 7．已知abc<0，ac<0，a>c，则下列结论正确的是( ) A．a<0，b<0，c>0 B．a>0，b>0，c<0 C．a<0，b<0，c<0 D．a>0，b>0，c>0 B 第 1 页 8．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*(－4)＝3×2×(－4)＝－24.则 *(－2*5)＝ . －15 第 1 页 9．计算： (1)(－ )× × ×(－ )； 解：原式＝ × × × ＝. 第 1 页 (2)1.2×(－1 )×(－2.5)×(－ ). 解：原式＝－ × × × ＝－. 第 1 页 10．简便方法计算： (1)(－6)×(－3 )＋(－9)×(－3.4)＋15×(－3 )； 解：原式＝(－3.4)×(－6－9＋15) ＝(－3.4)×0 ＝0. 第 1 页 (2)(－ )×(－15)×(－ )× . 解：原式＝－( × )×( 15× ) ＝－1×3 ＝－3. 第 1 页 11．(中原区期末)学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：19 ×(－9)，下面是两位同学的解法： 小方：原式＝－×9＝－＝－179 ； 小杨：原式＝(19＋×(－9) ＝－19×9－×9 ＝－179 . 第 1 页 (1)两位同学的解法中，谁的解法较好？ (2)请写出另一种更好的解法． 第 1 页 (2)原式＝(20－)×(－9) ＝20×(－9)－×(－9) ＝－180＋ ＝－179 . 解：(1)小杨的解法较好． 第 1 页 $$1.5.2　有理数的除法) 第 1 页 1．若两个有理数的乘积等于 ，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为 ． 没有倒数． 2．同号两数相除得 ，异号两数相除得 ，并把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于0的数都得 . 3．除以一个不等于0的数等于乘这个数的 ． 1 倒数 0 正数 负数 0 倒数 第 1 页 计算： (1)(－24)÷6的结果为(　　) A．－4　　B．4　　C．－　　D. (2)(- )÷(- 2 )＝______． 【思路分析】根据有理数除法的运算法则计算． 【自主解答】 　　 (1) A (2) 第 1 页 【名师支招】 1．对于除法的两个法则，当不能整除，特别是当除数是分数时，往往先把除法转化为乘法再计算． 2．被除数或除数中的小数一般需化成分数；带分数一定要化成假分数． 第 1 页 【易错原因】求倒数易忘记颠倒分子与分母 写出下列各数的倒数： ，－1 ，. 【自主解答】 倒数分别为3，－ ，. 第 1 页 知识点一：倒数 1．(深圳中考)下列各组数中互为倒数的是(　　) A．2 和－ B．3 和 C．3和－ D．－2和2 B 第 1 页 2．(包头中考)若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a＋3b－4c的值为( ) A．－8 B．－5 C．－1 D．16 C 第 1 页 3．倒数是它本身的数是( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0 C 第 1 页 4．写出下列各数的倒数：－1，1，－3，2.5，－，－3 ，－3.2. 解：它们的倒数分别是－1，1，－，，－，－，－. 第 1 页 知识点二：有理数的除法法则 5．下列计算中正确的是(　　) A．0÷(－3)＝－3 B．(－91)÷13＝7 C．(－6)÷(－1.5)＝4 D．0.75÷(－0.25)＝3 C 第 1 页 6．若□×( - )＝1，则“□”内应填的数是(　　) A. B. C．－ D．－ D 第 1 页 7．若ab>0，则 的值是(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 A 第 1 页 8．计算： (1)(－6.5)÷(－0.5)；　 　(2)0÷(－1 000)； 解：原式＝13. 解：原式＝0. 第 1 页 (3)(－2.5)÷ ； (4)2 ÷(－8)． 解：原式＝－4. 解：原式＝－ . 第 1 页 9．若两个数的商为正数，则这两个数( ) A．都为正 B．都为负 C．同号 D．异号 C 第 1 页 10．若a，b互为倒数，则(ab＋2)×(－ab－3)的值为( ) A．12 B．－12 C．6 D．－6 B 第 1 页 11．已知 |x|＝4，|y|＝，且x<y，则 的值为(　　) A．8 B．±8 C．－8 D．－ B 第 1 页 12．在－1，2，－3，0，5这五个数中，任取两个数相除，其中最小的商是 . －5 第 1 页 13．计算： (1)( - )÷0.125； 解：原式＝－ ×8 ＝－. 第 1 页 (2)(- )÷(- )； 解：原式＝ × ＝. 第 1 页 (3)(- 2 )÷(-1 ). 解：原式＝ × ＝2. 第 1 页 14．用简便方法计算： (1)(－24 )÷(－6)； 14．解：原式＝24 × ＝( 24＋ )× ＝4＋＝4 . 第 1 页 (2)999 ÷(－1 ). 解：原式＝ (1 000－ )×(－ ＝1 000× (－ )－× (－ ＝－900＋ ＝－899 . 第 1 页 15．规定：a△b＝(－ )÷ ，例如：2△3＝(－ ) ÷ ＝－，试求(2△7)△4的值． 解：因为2△7＝(－ )÷＝－， 所以(2△7)△4＝－△4 ＝－÷＝. 第 1 页 $$1.6.2　科学记数法 第 1 页 1．把一个绝对值大于10的数记作a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于 10，n是正整数)，这种记数法就是科学记数法． 2．在科学记数法a×10n中，n为正整数，n＝原数整数位数－ . 1 第 1 页 知识点一：用科学记数法表示数 1．(广西模拟)“沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为34 000 000 t，34 000 000用科学记数法表示为( ) A．340×105 B．34×106 C．3.4×107 D．0.34×108 C 第 1 页 2．(海阳期末)《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则3亿可用科学记数法表示为( ) A．3×108 B．3×109 C．3×1012 D．3×1016 A 第 1 页 3．整数68100…0用科学记数法表示为6.81×109，则原数中“0”的个数为 (　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．10个 B 第 1 页 4．将1 240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值是 . 5．(武汉中考)新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是 . 1.24 9 第 1 页 6．用科学记数法表示下列各数． (1)426 300 000; (2)－72 000. 解：原式＝4.263×108. 解：原式＝－7.2×104. 第 1 页 知识点二：将用科学记数法表示的数还原 7．(荆门中考)“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.012×108元资金．数据1.012×108可表示为( ) A．10.12亿 B．1.012亿 C．101.2亿 D．1 012亿 B 第 1 页 8．将下面用科学记数法表示的数还原． (1)6.32×103；　　 (2)－1.12×108. 解：原式＝6 320. 解：原式＝－112 000 000. 第 1 页 9．(福州中考)计算3.8×107－3.7×107，结果用科学记数法表示为(　　) A．0.1×107 B．0.1×106 C．1×107 D．1×106 D 第 1 页 10．若a＝1.9×105，b＝9.1×104，则a b(选填“<”或“>”)． > 第 1 页 11．某银行去年新增居民存款3千万元人民币．经测量，100张面值为100元的崭新人民币大约厚0.9 cm，如果将面值为100元的3千万元崭新人民币摞起来，大约有多高？ 解：3千万人民币有 ＝3×103(个)100张100元人民币． 故厚度为0.9×3×103＝2.7×103(cm)＝27(m)． 第 1 页 $$1.4.3　有理数的加减混合运算 第 1 页 加减法统一成加法∶ 1．利用减法法则可以把加减混合运算统一成 运算，再把同号的数结合在一起运算； 2．省略括号的和的形式的写法∶ 如(－2)＋(－3)－(－6)－(＋7)写成省略括号的和的形式为 . 加法 －2－3＋6－7 第 1 页 计算： (1)1－4＋3－0.5； (2)－2.4＋3.5－4.6＋3.5； (3)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)． 【思路分析】利用有理数加减法法则即可，注意使用运算律简化运算． 第 1 页 【自主解答】 (1)原式＝－3＋3－0.5 ＝－0.5. (2)原式＝－2.4－4.6＋3.5＋3.5 ＝－7＋7 ＝0. 第 1 页 (3)原式＝－7－5－4＋10 ＝－16＋10 ＝－6. 第 1 页 【名师支招】有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤： (1)将减法转化成加法运算； (2)省略加号和括号； (3)运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； (4)按有理数加法法则计算． 第 1 页 知识点一：加减混合运算的省略形式 1．在式子3－10－7中，把省略的“＋”添加上，应得到( ) A．3＋10＋7　　　　　　 B．－3＋(－10)＋(－7) C．3＋(－10)＋(－7) D．3－(＋10)＋(＋7) C 第 1 页 2．下列计算中正确的是( ) A．－6＋(－3)＋(－2)＝－1 B．7－0.5＋2－3＝5.5 C．－3－3＝0 D．(－1)－(－ )＋(－4)＝3 B 第 1 页 3．把(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)写成省略括号和加号的和的形式，并说出它们的两种读法． 解：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝－12－8－6＋5， 读作：－12减8减6加5或－12，－8，－6与5的和． 第 1 页 知识点二：有理数的加减混合运算 4．计算： (1)(－ )－(－ )＋(－ )＝ ； (2)(－5)－(－10)＋(－32)－(－7)＝ ； (3)－8.4＋10－4.2＋5.7＝ ； (4)(－4.5)－＋(－ )－(－2.5)＝ . － －20 3.1 －2 第 1 页 知识点三：有理数的加减混合运算的应用 5．某地某天早晨的气温是－2 ℃，到中午升高了6 ℃，晚上又降低了7 ℃.那么晚上的温度是 ℃. －3 第 1 页 6．输入－2，按如图所示的程序运算，则输出的结果是 . 0 第 1 页 7．(教材P26例9变式)七(3)班同学小亮在一次班级运动会上参加三级跳远比赛，共跳了5次，他第一次跳了6 m，第二次比第一次多跳0.1 m，第三次比第二次少跳0.3 m，第四次比第三次多跳0.5 m，第五次比第四次少跳了0.4 m．小亮第五次跳了多远？与第一次相比如何？ 解：6＋0.1－0.3＋0.5－0.4＝5.9(m)． 答：小亮第五次跳了5.9 m，比第一次少跳了0.1 m. 第 1 页 8．－1减去－与 的和的差为(　　) A. B. C．－ D．－ C 第 1 页 9．如果规定符号“※”的意义是a※b＝a＋b－2，如1※2＝1＋2－2＝1，则(－2※3)※(－1)的值是( ) A．－1 B．－2 C．1 D．－4 D 第 1 页 10．(临泽县期末)已知有理数a，b，c在数轴上对应点分别为A，B，C，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，若|b|＝4，点a，c的距离为2，则a＋b－c＝ . －6 第 1 页 11．计算： (1)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)； 解：原式＝[－5.13＋－8.47 ]＋[4.62－－2.3 ] ＝－13.6＋6.92 ＝－6.68. 第 1 页 (2) －＋－( －(－－1； 解：原式＝－＋[(－－(－)]－1 ＝－＋－1 ＝－. 第 1 页 (3)－|－－(－) |＋| －(－ )|. 解：原式＝－|－＋ |＋| ＋ | ＝－＋ ＝. 第 1 页 12．某路公交车从起点经过A，B，C，D站到达终点，一路上下乘客如表所示，(用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数) (1)到终点下车前车上还有多少人？ (2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？最多多少人？ 起点 A B C D 终点 上车的人数 18 15 12 8 5 0 下车的人数 0 －3 －5 －10 －11 第 1 页 解：(1)根据题意可得 18＋15－3＋12－5＋8－10＋5－11＝29(人)， 即到终点下车前车上还有29人． (2)根据图表，易知B站和C站之间人数最多， 18＋15－3＋12－5＝37(人)． 答：从B站到C站乘客最多，最多为37人． 第 1 页 13．请根据图示的对话，解答下列问题． (1)求a，b，c的值； (2)求－4＋a－b＋c－6的值． 第 1 页 解：(1)根据小颖和小亮的对话可知， a＝|－11|＋5＝16， 因为c的相反数是－9，所以c＝9， 因为b＋c＝8，即b＋9＝8， 所以b＝8－9＝－1， 综上可得a＝16，b＝－1，c＝9. 第 1 页 (2)－4＋a－b＋c－6＝－4＋16－(－1)＋9－6 ＝－4＋16＋1＋9－6 ＝16. 第 1 页 $$1．5　有理数的乘法和除法 1．5.1　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法 第 1 页 1．有理数的乘法法则： (1)同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； (2)0乘任何数，都得 . 2．一个数与－1相乘，积是 ，一个数与1相乘，积是 ． 0 原数的相反数 原数 第 1 页 计算－4×(－2)的结果为(　　) A．12　　B．－12　　C．8　　D．－8 【思路分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【自主解答】 【名师支招】两数相乘，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘，遇到含带分数乘法运算时，要化成假分数． C 第 1 页 【易错原因】一个数与带分数相乘时，只把带分数的分数部分进行计算，而带分数的整数部分没有参与运算 第 1 页 计算：(－1 )×(－4 ). 【自主解答】 　(－1 )×(－4 ) ＝(－ )×(－ ) ＝× ＝6. 第 1 页 知识点一：有理数的乘法法则 1．(山西中考)计算(－1)×(－3)的结果为( ) A．3　　　　　 B. 　　　　　 C．－3　　　　　D．－4 A 第 1 页 2．下列计算中，积为负数的是(　　) A．(－2 024)×(－3) B．(－2 024)×(＋3) C．(＋2 024)×0 D．(＋2 024)×(＋3) B 第 1 页 3．若a•b＝0，则(　　) A．a＝0 B．b＝0 C．a＝0且b＝0 D．a，b中至少有一个是0 D 第 1 页 4．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断中正确的是 ( ) A．a>0 B．b<0 C．ab<0 D．a－b>0 C 第 1 页 5．填空： (1)(－6)×(－9)＝ (6×9)＝ ； (2)4×(－8)＝ (4×8)＝ ； (3)(－3)×5＝ (3×5)＝ . ＋ 54 － －32 － －15 第 1 页 6．计算： (1)4×(－5); (2)0×(－0.7)； 解：原式＝－20. 解：原式＝0. 第 1 页 (3)(－0.8)×(－)； (4) ×(－ ). 解：原式＝ . 解：原式＝－ . 第 1 页 知识点二：有理数的乘法法则的应用 7．用正数或负数填空： (1)若某商店平均每天可盈利120元，则一个月(按30天计算)的利润是 0 元； (2)若某商店平均每天亏损20元，则一周(7天)的利润是 元． 3 600 －140 第 1 页 8．下列算式中，与有理数－2 相等的是( ) A．(－2)× B．－( 2× ) C．－2＋ D．－2－ D 第 1 页 9．(博兴县期末)如果两个有理数的积小于0，和也小于0，那么这两个有理数( ) A．符号相同，绝对值不等 B．符号相反，绝对值相等 C．符号相反，且负数的绝对值较大 D．符号相反，且正数的绝对值较大 C 第 1 页 10．已知－3，0，2，－4四个数，取其中的任意两个数求积，积最小是 . －8 第 1 页 11．按下面程序计算，如果输入的数是－6，那么输出的数是 . 162 第 1 页 12．计算： (1)(－0.39)×(－0.2)； 解：原式＝0.39×0.2 ＝0.078. 第 1 页 (2)1 ×(－1 )； 解：原式＝－ × ＝－2. 第 1 页 (3)(－3.25)×(－ )； 解：原式＝－×(－ ＝. 第 1 页 (4)|－|×(－1.6)． 解：原式＝×(－) ＝－. 第 1 页 13．若|x|＝3，|y|＝4，且|x－y|＝y－x，求xy的值． 解：因为|x|＝3，|y|＝4，且|x－y|＝y－x， 所以x＝－3，y＝4 或x＝3，y＝4. 所以xy＝－12或12. 第 1 页 14．在化学实验室中，常采用水冷却、真空冷却等方式将物体温度降下来，现采用真空冷却的方法将某种标本的温度稳定下降，每1 min下降 3 ℃.假设现在标本的温度是5 ℃，求4 min后这种标本温度的变化量和它的温度． 第 1 页 解：由题意得 4×3＝12 ℃，5－12＝－7 ℃. 答：4 min后这种标本温度的变化量为12 ℃，它的温度为－7 ℃. 第 1 页 $$1．6　有理数的乘方 1．6.1　认识乘方 第 1 页 求n个相同 的乘积的运算，叫作乘方，在an中，a叫作 ，n叫作 ． 因数 底数 指数 第 1 页 下列各组数中，相等的一组是(　　) A．－(－1)与－|－1| B．－32与(－3)2 C．(－4)3与－43 D.与( )2 第 1 页 【思路分析】根据有理数的乘方的定义、绝对值的性质，对各选项分别计算，然后利用排除法求解．A.－(－1)＝1，－|－1|＝－1，故本选项错误；B.－32＝－9，(－3)2＝9，故本选项错误；C.(－4)3＝－64，－43＝－64，故本选项正确；D.＝，( )2＝，故本选项错误． 【自主解答】 C 第 1 页 【名师支招】 掌握有理数的乘方运算法则，要注意－43与(－4)3的区别． 第 1 页 【易错原因】对底数的概念理解不透彻 计算：(－1)2 023＝______； (－1)2 024＝______；－12 024＝______． 【自主解答】 －1　1　－1 第 1 页 知识点一：有理数乘方的意义和运算 1．75表示(　　) A．5个7连乘 B．7个5连乘 C．7与5的乘积 D．5个7连加的和 A 第 1 页 2．(高碑店期末)对乘积(－3)×(－3)×(－3)×(－3)记法正确的是( ) A．－34 B．(－3)4 C．－(＋3)4 D．－(－3)4 B 第 1 页 3．计算－(－2)3的结果为(　　) A．－6 B．6 C．8 D．－8 C 第 1 页 4．填表： 乘方 62 (－5)4 (- )3 －22 底数 指数 6 －5 - 2 5 4 3 2 第 1 页 5.计算： (1)－0.13＝ ； 　　(2) ＝ ； (3)(- )4＝ ； 　　(4) ＝ . - 0.001 第 1 页 知识点二：有理数的乘方、乘法混合运算 6．直接判断下列各式计算结果的符号． (1)( - )2×( - )2； (2)(- )4×(－4)3； 解：结果为正. 解：结果为负． 第 1 页 (3)24×(－2)2; (4)(－3)3×( )2. 解：结果为正. 解：结果为负． 第 1 页 7．在有理数－12，|－1|，，(－1)2 025，－(－1)中，等于1的相反数的数有( ) A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 A 第 1 页 8．(卢龙县期末)一根1 m长的绳子，第一次剪去绳子的 ，第二次剪去剩下绳子的 ，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是( ) A. ( )99 m B. ( )99 m C. ( )100m D. ( ) 100m C 第 1 页 9．(1)已知4.52＝20.25，则452＝ ； (2)已知243＝13 824，则2.43＝ . 2 025 13.824 第 1 页 10．(1)平方等于本身的数是 ，立方等于本身的数是 ； (2)平方等于64的数是 ，立方等于－64的数是 ； (3)(牡丹江中考)定义一种新的运算：a&b＝ab，如2&3＝23＝8，那么(3&2)&2＝ . 0或1 0或±1 ±8 －4 81 第 1 页 11．(郴州中考)观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想32 024的个位数字是 . 1 第 1 页 12．直接判断下列各式计算结果的符号： (1)－( )2×(－4)2； 解：结果为负． 第 1 页 (2)(－32)×(- 1 )÷(－42)． 解：结果为负． 第 1 页 13．计算： (1)－；　　　　　 　(2)(- 1 )3. 解：原式＝－ 解：原式＝－ 第 1 页 14．阅读下列材料并完成填空： 你能比较两个数2 0212 022和2 0222 021的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1和(n＋1)n的大小(n≥1，n是整数)，然后从分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． 第 1 页 (1)通过计算，比较下列①－⑥各组的两个数的大小：(选填“＞”“＝”或“＜”) ①12 21；②23 32； ③34 43；④45 54； ⑤56 65；⑥67 76；…； (2)根据上面推理得到2 0232 024 2 0242 023.(选填“＞”“＝”或“＜”) ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ 第 1 页 微专题2：巧用非负数的和为0求待定字母的值 第 1 页 【方法指导】绝对值|a|和偶次幂a2n(a≠0，n为正整数)是比较常见的两种非负数形式，当几个非负数之和等于0时，可利用“每个非负数都等于0”构建方程，进而求出字母或式子的值． 【针对训练】 1．若(a＋1)2＋|b－3|＝0，|c－1|＝0，则c－(a2－b)的值为 . 2．已知有理数a，b满足( a＋ )2＋(2b－4)2＝0，则a3·b3＝ . 3 －1 第 1 页 $$1．4　有理数的加法和减法 1．4.1　有理数的加法 第1课时　有理数的加法 第 1 页 有理数的加法法则： 1．两个负数相加，结果是 ，并把它们的绝对值 ； 2．异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得 ，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得 ，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 3．互为相反数的两个数相加得 ； 4．一个数与0相加，仍得这个数． 负数 相加 正数 负数 0 第 1 页 计算： (1)(－3)＋(－12)； (2)(－1.25)＋1.75； (3)（－）＋. 【思路分析】直接利用有理数的加减运算法则求解即可求得答案，注意先确定符号，再运算． 第 1 页 【自主解答】 (1)(－3)＋(－12)＝－15. (2)(－1.25)＋1.75＝0.5. (3)（－ ＋ ＝－ ＋ ＝－ . 第 1 页 【名师支招】有理数的运算涉及两个方面：(1)符号的确定；(2)绝对值的计算，因此运用有理数加法法则进行计算时要按照“一观察，二确定，三求和”的步骤进行，即第一步观察两加数的符号是同号还是异号；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果． 第 1 页 知识点一：有理数的加法法则 1．(青海中考)计算2＋(－3)的结果是( ) A．－5 B．5 C．－1 D．1 C 第 1 页 2．(温州中考)如图，比数轴上点A表示的数大3的数是( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 D 第 1 页 3．下列说法中，正确的是( ) A．两个有理数相加，符号不变，绝对值相加 B．两个有理数的和一定大于任意一个加数 C．计算－7＋(－5)＝－(7－5)＝－2 D．两个负数相加，和取负号，并把它们的绝对值相加 D 第 1 页 4．(教材P20练习T1变式)在下列各题后面的横线上填写和的符号及结果． (1)(－2)＋(－5)＝ (2＋5)＝ ； (2)(－16)＋6＝ (16－6)＝ ； (3)(－6)＋8＝ (8－6)＝ ； (4)(－2 024)＋0＝ ； (5)(－2 025)＋2 025＝ . － －7 － －10 ＋ 2 －2 024 0 第 1 页 5．计算： (1)(－26)＋20; (2)－4.7＋(－2.5)； 解：原式＝－6. 解：原式＝－7.2. 第 1 页 (3)(－2.4)＋2.4; (4) ＋(－. 解：原式＝0. 解：原式＝1. 第 1 页 知识点二：有理数加法法则的应用 6．(兴宾区期中)甲地的平均海拔为－15 m，乙地平均海拔比甲地高55 m，则乙地的平均海拔为( ) A．－70 m B．70 m C．－40 m D．40 m D 第 1 页 7.(合浦县期末)小慧家的冰箱冷冻室的温度为－3 ℃，调高了2 ℃后的温度是 ℃. －1 第 1 页 8．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最小值是( ) A．1 B．0 C．－1 D．－3 D 第 1 页 9．(西乡塘区月考)两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是 ( ) A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负 D 第 1 页 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是( ) A．a＋b<0 B．a＋c<0 C．b＋c<0 D．－b＋c>0 B 第 1 页 11．已知：|x|＝2，|y|＝3，且x＞y，则x＋y的值是 . －1或－5 第 1 页 12．计算： (1)(－7 ＋(－4.5)； 解：原式＝－12. 第 1 页 (2)(－3 )＋(＋4 ). 解：原式=4 - . 第 1 页 13．列式计算： (1)比－10的相反数大－20的数； 解：－(－10)＋(－20)＝－10. 第 1 页 (2)25的相反数与－5的绝对值的和． 解：－25＋｜－5｜＝－20. 第 1 页 14．下面列出了国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京早的小时数)：巴黎：－7；东京：＋1；芝加哥：－14. (1)如果现在的北京时间是9月9日17点，那么现在的芝加哥时间是多少？东京时间是多少？ (2)9月9日17点想给远在巴黎的朋友打电话，你认为他打电话的时间合适吗？ (7：00～20：00打电话均为合适时间) 第 1 页 解：(1)因为芝加哥和北京的时差为－14，所以芝加哥的时间是17＋(－14)＝3，即3：00. 因为东京与北京的时差为＋1，所以东京的时间是17＋1＝18，即18：00. (2)根据巴黎和北京的时差为－7，可得巴黎的时间是17＋(－7)＝10，即 10：00.所以合适． 第 1 页 15．我国是最早进行负数运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图①表示的是(－13)＋(＋23)＝10的计算过程，则图②表示的计算过程是（ ） A．(＋31)＋(－43)＝－12 B．(－31)＋(＋43)＝12 C．(＋13)＋(＋34)＝47 D．(－13)＋(＋34)＝－21 A 第 1 页 $$