第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材湘教版

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识负数 1.1 正数和负数 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量，如水位升高、价格上涨等规定为正的，用小学学过的大于 的数，如 ，， 等来表示它们，这样的数叫作正数；而把与它意义相反的量，如水位降低、价格下跌等规定为负的，用在正数前面添上”“（称作”负号”）的数，如 （读作”负 “），， 等来表示它们，这样的数叫作负数。 示例：气温”零上 ℃“记作 ℃（正号可省略，写作 ℃），”零下 ℃“记作 ℃。 注意：正数的前面也可添上”“（称作”正号”），如 ，，；通常情况下，正数前面的正号可省略不写。 1.2 非负数 既不是正数，也不是负数。 正数和 统称为非负数。 示例：，，， 都是非负数；， 不是非负数。 1.3 有理数 正整数、负整数、零统称为整数，正分数、负分数统称为分数。 我们把可以化成正分数形式的数，称为正有理数，把可以化成负分数形式的数，称为负有理数。正有理数、负有理数、零统称为有理数。 示例：，， 是整数；， 是分数；它们都是有理数。 注意：正有限小数和正无限循环小数都可以化为正分数，如 ，；负有限小数和负无限循环小数也可以化为负分数，如 。所以有限小数和无限循环小数也都是有理数。 1.4 有理数的分类 有理数可以按如下方式分类： 类别 具体包含 正有理数 正整数、正分数 零 负有理数 负整数、负分数 示例： 是正整数， 是负整数， 是零， 是正分数， 是负分数。 2. 数轴、相反数与绝对值 2.1 数轴 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上任取一点 ，把点 叫作原点，用原点表示数 。规定直线的正方向（标上箭头），选取适当的长度作为单位长度，则从原点向右，距原点 个单位长度的点表示数 ，距原点 个单位长度的点表示数 ，……；从原点向左，距原点 个单位长度的点表示数 ，距原点 个单位长度的点表示数 ，……。 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 示例：可以把任何有理数都用数轴上唯一的点来表示，每个有理数都对应数轴上的一个点。 注意：表示正有理数的点都在原点右侧，表示负有理数的点都在原点左侧，表示 的点就是原点。 2.2 相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 的相反数是 。 通常把数 的相反数记作”“。 示例： 的相反数是 ， 的相反数是 ，因此 与 互为相反数；。 注意：互为相反数的两个数（ 除外）在数轴上对应的两个点，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 2.3 绝对值 数学上规定： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 。 为了简便，常用”“表示一个数 的绝对值。 一般地，如果 表示一个数，则： 的取值 的值 是正数（） 是负数（） 示例：，，，。 注意：一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离，因此一个数的绝对值一定是一个非负数；互为相反数的两个数的绝对值相等。 3. 有理数大小的比较 3.1 比较法则 规定：正数大于负数， 大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 示例：因为 ，，且 ，所以 ；，。 注意：在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值。 4. 有理数的加法和减法 4.1 有理数的加法 有理数的加法法则： 情形 法则 两个负数相加 结果是负数，并把它们的绝对值相加 异号两数相加 当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加 得 一个数与 相加 仍得这个数 从上述加法法则可以得出：如果两个数的和等于 ，那么这两个数互为相反数。 示例：；；；。 有理数的加法满足两个运算律： 加法交换律 ； 加法结合律 。 示例：。 注意：三个或三个以上的有理数相加，可以写成连加式；对于连加式，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加。 4.2 有理数的减法 数学上规定：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 。 示例：；。 注意：两个有理数相减，将减号变加号，减数变成它的相反数。 4.3 有理数的加减混合运算 根据”减去一个数，等于加上这个数的相反数”，可把加减混合运算统一转化为加法运算；也可以把算式中的括号及它前面的加号省略不写，直接写成省略加号的和的形式。 示例：，也可写成 。 5. 有理数的乘法和除法 5.1 有理数的乘法 有理数的乘法法则：同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 乘任何数都得 。 示例：；；；。 注意：几个不等于 的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数。先确定积的符号，再把所有因数的绝对值相乘。 有理数的乘法满足三个运算律： 乘法交换律 ； 乘法结合律 ； 乘法对加法的分配律 ，。 示例：。 5.2 有理数的除法 有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除； 除以任何一个不等于 的数都得 。 若两个有理数的乘积等于 ，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数。 没有倒数。 除以一个不等于 的数等于乘这个数的倒数，即 （）。 示例：；；。 注意：有理数的除法运算可以转化为乘法运算。 5.3 有理数的乘除（混合运算） 在只有有理数的乘法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的顺序依次计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照乘法法则进行计算；如果有括号，就先做括号内的运算。 示例：；。 6. 有理数的乘方 6.1 认识乘方 求 个相同因数的乘积的运算，叫作乘方。在 中， 叫作底数， 叫作指数， 读作” 的 次方”或” 的 次幂”，即 表示 个 相乘。 示例： 表示 个 相乘；。 注意： 通常读作” 的平方”， 通常读作” 的立方”；一个数 可以看作 ，指数 通常省略不写。在书写负数和分数的乘方时，一定要把负数、分数用括号括起来。 由有理数的乘法法则可得：正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 的任何正整数次幂都是 。 示例：；；；。 6.2 科学记数法 把一个大于 （小于 ）的数记作 的形式，其中 大于或等于 且小于 （ 大于 且小于或等于 ）， 是正整数，这种记数法就是科学记数法。 示例：；。 注意： 就是 后面有 个 ，例如 。 7. 有理数的混合运算 7.1 混合运算的顺序 含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算的算式，称为有理数的混合运算。其运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）。 示例：。 注意：当只含有乘方和乘法运算时，先算乘方比先算乘法要简便一些。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 由绝对值判断数的符号 若 ，则 （ 是非负数）；若 ，则 （ 是非正数）。 1.2 特殊数的相反数、倒数、绝对值 相反数与它本身相等的数是 ；倒数与它本身相等的数是 和 ；绝对值与它本身相等的数是非负数；绝对值等于它的相反数的数是非正数。 1.3 数轴上两点间的距离 数轴上表示 ， 的两个点之间的距离为 。如点 表示 ，点 表示 ，则 ， 两点的距离为 。 1.4 非负数的和为 0 若 ，则 且 ；推广到多个非负数之和为 ，则每个非负数都等于 。如由 得 且 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加减混合运算的统一处理 先把减法都转化为加法（“减去一个数，等于加上这个数的相反数”），再运用加法交换律、结合律，把正数、负数分别相加凑整。如 。 2.2 有理数乘除混合运算的”先定符号” 先确定结果的符号（数负号个数：偶数个负号积为正，奇数个负号积为负），再把绝对值相乘，除法先转化为乘法。如 中共 个负号，结果为负。 2.3 比较有理数大小的步骤 先分正负：正数 负数；同为负数时比较绝对值，绝对值大的反而小；也可借助数轴，右边的点表示的数大。如比较 与 ：由 得 。 2.4 求一个数的相反数、绝对值、倒数 相反数：改变符号（）；绝对值：正数和 是本身，负数是它的相反数；倒数：分子分母颠倒位置，带分数先化成假分数， 没有倒数。如 的倒数是 。 2.5 有理数混合运算的顺序与步骤 按”先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号（先小括号，再中括号，最后大括号）“的顺序，同级运算从左到右。如 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 加法凑整 互为相反数的两数先加、同号的数先加、能凑成整数的先加 乘法凑整 先找能凑成 ， 的因数先乘 分配律逆用 提取公因数：，用于化简含分数或整十数的算式 多个数相乘定符号 数负号的个数：偶数个负号积为正，奇数个负号积为负，再乘绝对值 科学记数法写法 先让 满足 ，再看小数点移动的位数定指数 新定义运算 按题设的运算规则，把字母换成具体数逐步代入计算 ，则 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”绝对值等于本身的数”答成”正数”，漏掉 0 典例：绝对值等于它本身的数是（　）。 错解：正数。 正解：非负数（正数和 ）。因为当 是正数时 ，当 时 ，所以绝对值等于它本身的数是正数和 ，即非负数。 原因：忽略 。学生只记住”正数的绝对值是它本身”，忘了” 的绝对值是 “，而 既不是正数也不是负数。凡涉及”非负数”“非正数”的结论，都要把 单独考虑，防止遗漏。 易错点 2：比较两个负数大小时仍按正数大小判断 典例：比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 。 正解：因为 ，，且 ，两个负数绝对值大的反而小，所以 。 原因：思维迁移错误。学生把正数比较”数值越大数越大”的经验直接套用到负数上，忽视了”两个负数，绝对值大的反而小”这条相反规则。比较负数大小必须先比较绝对值，再把大小关系反过来。 易错点 3：有理数减法转化为加法时，减数没变号 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：概念理解不清。减去一个数等于加上这个数的相反数， 表示 的相反数 ；学生把”减去负数”误当成”两个负数相加”，漏掉了把减数 变成它的相反数 这一步。 易错点 4：乘方运算混淆底数， 与 不分 典例：计算 与 ，并判断它们是否相等。 错解：，（或认为两者都等于 ）。 正解：，。前者底数是 ，后者底数是 （表示 的相反数），两者结果互为相反数。 原因：底数范围判断错误。学生没有看清乘方符号里底数到底是哪个数——负号在括号内是底数的一部分，负号在括号外（或没有括号）则表示”取相反数”。书写负数的乘方必须把负数用括号括起来， 与 是两回事。 易错点 5：由绝对值反求字母时漏掉相反数 典例：若 ，求 。 错解：。 正解：绝对值等于 的有理数有 和 两个，所以 或 。 原因：漏分类讨论。绝对值的几何意义是”对应点到原点的距离”，距离为 的点在原点的两侧各有一个；学生只取正的一侧，忽略了负的一侧。凡由 （）反求 ，都要取 两个值。 易错点 6：科学记数法中 的范围或指数 确定错误 典例：用科学记数法表示 。 错解：（或 ）。 正解：。 原因：对科学记数法” 中 ， 是正整数”理解不到位。 就是把 的小数点向右移 位；学生要么把 写成 （超出 到 的范围），要么数错小数点移动的位数导致 少 。确定 时要数清从 还原到原数小数点移动的位数。 学科网（北京）股份有限公司 $