精品解析：浙江省华东师范大学附属杭州学校2022-2023学年八年级上学期期中学力评估测试数学试题

华东师范大学附属杭州学校2022学年第一学期 八年级数学期中学习力评估 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若c是任意有理数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的四根木棒，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 B. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D. 等腰三角形的中线与高重合 6. 如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 14 D. 16 8. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D是等腰的边上的一点，过点B作于点E，连接，若，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题4分，共24分） 11. 列不等式“x与y的和不大于6”________． 12. 等腰三角形中有一个内角为，则其底角的度数是____________． 13. 如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则________，________． 14. 关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是__． 15. 如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为________． 16. 如图，在中，，，点E，N，M分别是线段的中点，则________，________． 三、解答题：（共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． （1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形； （2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边长为的直角三角形． 19. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明. 题设：___________；结论：_______.（均填写序号） 证明： 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形． （2）若AF＝BF＝，BE＝2，求线段DE的长． 21. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 22. 如图，在中，，，，D，E分别是和边的中点，在的延长线上取一点F，使． （1）求的长； （2）求证：是等边三角形． 23. 在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．点D在直线AM上，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE． （1）当点D在线段AM上时， ①请在图1中补全图形； ②∠CAM的度数为 　 　； ③求证：△ADC≌△BEC； （2）当点D在直线AM上时，直线BE与直线AM的交点为O（点D与点M不重合，点E与点O不重合），直接写出线段OE，OM，DM与BE的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属杭州学校2022学年第一学期 八年级数学期中学习力评估 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： A为轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 已知，若c是任意有理数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴当时，，故不正确； D．∵，∴，正确； 故选D． 3. 下列长度的四根木棒，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系解答． 【详解】解：∵三角形的两边为3cm，7cm， ∴第三边长的取值范围为7-3＜x＜7+3， 即4＜x＜10， 只有D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边． 4. 如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∴点是线段中垂线与的交点， 故选B 【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键. 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 B. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D. 等腰三角形的中线与高重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断真假命题、三角形外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 根据三角形外角性质对A进行判断；根据等边三角形的判定方法对B进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理对C进行判断；根据等腰三角形的性质对D进行判断，综上即可得答案． 【详解】解：A、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以A选项为真命题，不符合题意， B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以B选项为真命题，不符合题意， C、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以C选项为真命题，不符合题意， D、等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，所以D选项为假命题，符合题意． 故选：D． 6. 如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 7. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据，，即可得到的值． 【详解】解：∵，，，，分别表示三个正方形的面积， ∴，， ∵∠ACB=90°， ∴， ∴=11-3=8， ∴=8， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是发现，，． 8. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围． 【详解】∵0＜x+y＜1， 观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4， 两边都除以4得，x+y=， 所以＞0， 解得k＞-4； ＜1， 解得k＜0． 所以-4＜k＜0． 故选B． 【点睛】当给出两个未知数的和的取值范围时，应仔细观察找到题中所给式子与它们和的关系，进而求值． 9. 如图，点D是等腰的边上的一点，过点B作于点E，连接，若，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形吗，三角形的面积，过作于，由是等腰直角三角形， 得到， 由余角的性质推出， 由推出， 得到，即可求出面积 【详解】解：过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故选：B． 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 二、填空题：（每题4分，共24分） 11. 列不等式“x与y的和不大于6”________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，首先读懂题意，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【详解】解：“x与y的和不大于6”列不等式为， 故答案为：． 12. 等腰三角形中有一个内角为，则其底角的度数是____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数=； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键． 13. 如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则________，________． 【答案】 ①. ##40度 ②. ##10度 【解析】 【分析】本题考查了三角形高线和角平分线的定义，三角形内角和，直角三角形的特征，三角形外角性质；由三角形内角和定理得，由三角形高线的定义及直角三角形的特征得 ，由角的和差可求，由三角形外角性质得 ，再由直角三角形的特征即可求解；理解定义，掌握三角形外角性质和直角三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：，， ， 是高线， ， ， ， 是角平分线， ， ， ； 故答案：，． 14. 关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是__． 【答案】2． 【解析】 【分析】由不等式﹣2x+a≥4可得x≤，然后由数轴可得x≤﹣1，进而问题可求解． 【详解】解：∵﹣2x+a≥4， ∴x≤， ∵x≤﹣1， ∴， ∴a＝2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查含参数的不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 15. 如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 16. 如图，在中，，，点E，N，M分别是线段的中点，则________，________． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质，先得到，，再证明是等边三角形，则由三线合一定理得到，，则；再证明是等边三角形，得到；利用勾股定理得到，据此可得． 【详解】解：∵在中，，，点E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点M是的中点， ∴，即， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、解答题：（共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解决问题的关键．根据不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 所以这个不等式的解集为， 在数轴上表示为： 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． （1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形； （2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边长为的直角三角形． 【答案】 （1）如图1中，△ABC即为所求． （2）如图2中，△ABC即为所求． 【解析】 【分析】利用数形结合思想构造底为4，高为2的等腰三角形. 利用数形结合思想构造直角边为，2的直角三角形即可. 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形性质，勾股定理等知识，关键在于用已经学过的知识在实际当中的应用. 19. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明. 题设：___________；结论：_______.（均填写序号） 证明： 【答案】①②③，④ 【解析】 【详解】根据全等三角形的判定方法进行组合、证明，答案不唯一. 解；答案不唯一.如： 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C. 证明：∵∠1=∠2， ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）； 故答案为①②③，④. ∵∠1=∠2， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）. 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形． （2）若AF＝BF＝，BE＝2，求线段DE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠D＝∠DFA， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）9 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论； （2）根据题意过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，根据勾股定理求出EF，即可求出DE． 【详解】解：（1）略 （2）过A作AH⊥DE于H， ∵DE⊥BC， ∴∠AHF＝∠BEF＝90°， 由（1）知，AD＝AF， ∴DH＝FH， 在△AFH和△BFE中， ， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF， 在Rt△BEF中， ∵BF＝，BE＝2， ∴EF＝＝3， ∴DE＝3EF＝9． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定和勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH=FH=EF是解决问题的关键． 21. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；（2）6种方案． 【解析】 【分析】（1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：x=20，则1.5x=30， 经检验得出：x=20是原方程的根． 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本， 根据题意得：， 解得：20≤a≤25， ∴a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15， ∴共有6种方案． 【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 22. 如图，在中，，，，D，E分别是和边的中点，在的延长线上取一点F，使． （1）求的长； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵D，E分别是和边的中点， ，，， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 又∵，， ， ，， ， ， 即， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线，等边三角形的判定和性质： （1）根据30度的直角三角形的性质以及勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可； （2）连接，证明是等边三角形，推出，得到，，进而推出，即可得证． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， ∵E是边的中点， ， ； 【小问2详解】 略 23. 在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．点D在直线AM上，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE． （1）当点D在线段AM上时， ①请在图1中补全图形； ②∠CAM的度数为 　 　； ③求证：△ADC≌△BEC； （2）当点D在直线AM上时，直线BE与直线AM的交点为O（点D与点M不重合，点E与点O不重合），直接写出线段OE，OM，DM与BE的数量关系． 【答案】 （1）①如图所示： ②30； ③∵△ABC与△DEC都是等边三角形 ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60° ∴∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据等边三角形的性质可以直接得出结论； ③根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以得出∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC； （2）分①当点D在BC的上方；②点D在BC的下方BE的上方；③当D在BE的下方三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）①略 ②∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°． ∵线段AM为BC边上的中线 ∴∠CAM＝∠BAC， ∴∠CAM＝30°． ③略 （2）①当点D在BC的上方时，如图1， 由（1）知，△ACD≌△BCE， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴在中， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ②当点D在BC的下方BE的上方时，如图2， 同理可证：△ACD≌△BCE， ∴ ∵AO⊥BC ∴ ∵ ∴； ③当D在BE的下方时，如图3， 同理可证：△ACD≌△BCE， ∴ ∵AO⊥BC ∴ ∵ ∴； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $