精品解析：重庆市江北区江北巴川量子学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

2022-2023学年重庆市江北区某校 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（ ） A. 1cm B. 2cm C. 5cm D. 6cm 5. 代数式有意义的条件是（　　） A. B. C. 且 D. 6. 下列说法不正确的是（　　） A. 四边形的内角和为360° B. 等边三角形是特殊的等腰三角形 C. 等腰三角形是轴对称图形 D. 三角形的一个外角一定大于任何一个内角 7. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 8. 估计的运算结果应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 9. 如图1，将边长为 的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分延虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图 2 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 11. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A. B. C. 0 D. 1 12. 关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（　　） ①当的结果为关于的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 计算：___________． 14. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为___________ 15. 已知，在中，，于点D，于点E，若，则_______． 16. 已知，，则的值是_______． 17. 如图，在Rt△ABC中，AC=6，AB=，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是_____． 18. “泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是______万元． 三、解答题：（本大题6个小题，每小题8分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 如图，中，，的平分线交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 22. 如图，有一张图纸被破坏，上面两个标志点、清晰，而主要建筑标志点被破损． （1）请在图中标出点的位置； （2）连接、、，作关于轴对称的图形； （3）求的面积． 23. 已知实数，，请利用数与代数相关知识解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 24. 在全民健身运动中，跑步运动颇受市民青睐，甲、乙两跑步爱好者约定从A地沿相同路线跑步去距A地8千米的B地，已知甲跑步的速度是乙的1.2倍． （1）若乙先跑步1千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲跑步的速度； （2）若乙先跑步10分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲跑步的速度． 四、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 26. 一个四位自然数M，若各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数M为“三三数”．例如： M＝1843，∵8+4＝3×（1+3），∴1843是“三三数”； M＝6312，∵3+1≠3×（6+2），∴6312．不是“三三数”． （1）判断2693和3261是否为“三三数”？并说明理由． （2）如果一个“三三数”M的各数位上的数字之和为16，并且规定：将这个“三三数”M的十位与百位交换得到M'记；记M的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为Q（M）．若为正整数，求出所有符合条件的M的值． 27. 如图，等边中，点是延长线上一点，点在上，连接，． （1）如图1，连接，求证：平分； （2）如图2，点为线段上一点，连接交于点，若点为的中点，求证：； （3）如图3，点为线段上一动点，作关于的对称点，连接，，交于点，点在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点，当取得最大值时，此时，，求整个运动过程中的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年重庆市江北区某校 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式的定义对各选项进行分析即可得到答案．熟记分式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是整式，不符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：C． 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式法则解答． 【详解】解：=， 故选：A． 【点睛】此题考查了单项式除以单项式法则：同底数幂相除，再把商相乘． 4. 在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（ ） A. 1cm B. 2cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，对各选项进行判断即可． 【详解】解：设第三边长为 则由题意得 解得 故选B． 【点睛】本题考查了组成三角形三边关系的应用．解题的关键在于熟练掌握三角形的三边关系． 5. 代数式有意义的条件是（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0直接求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 即且． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0． 6. 下列说法不正确的是（　　） A. 四边形的内角和为360° B. 等边三角形是特殊的等腰三角形 C. 等腰三角形是轴对称图形 D. 三角形的一个外角一定大于任何一个内角 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质依次判断即可. 【详解】A. 四边形的内角和为360°，正确，故A不符合题意. B. 等边三角形是特殊的等腰三角形，正确，故B不符合题意. C. 等腰三角形是轴对称图形，正确，故C不符合题意. D. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D不正确，符合题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.熟练掌握以上性质是解题的关键. 7. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 8. 估计的运算结果应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】先对算式进行计算，再通过化简进行估算． 【详解】解： ， 且， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法． 9. 如图1，将边长为 的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分延虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图 2 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的图形表示，涉及平方差公式，根据图形，用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图1的面积为；图2的面积为， ， 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质得到EA=ED，利用含30度角的直角三角形的性质求得BE=10，据此即可求解． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E， ∵CA=CD， ∴EA=ED， 在Rt△BEC中，∠ABC=60°，BC=20， ∴∠BCE=90°-60°=30°， ∴BE=BC=10， ∵BD=8， ∴EA=ED=BE-BD=2， ∴AD=2ED=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组，根据关于的不等式组有解，得出，解出分式方程的解，根据解为非负数，，列出不等式组，求公共的解，进而确定的值，从而得出满足条件的整数的值之和． 【详解】解：， 解不等式②，得， 关于的不等式组有解， ， ， 整理关于的分式方程， ， 解得， 解为非负数，， ， 且， 为或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式、解一元一次不等式组，掌握分式方程的解、解一元一次不等式、解一元一次不等式组的步骤是解题关键． 12. 关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（　　） ①当的结果为关于的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④先求，再列方程求解． 【详解】解：①， ，均为非零常数， ， ， 故①正确； ②， ，， ， 故②是正确的； ③， ， ， 故③是错误的； ④ ， ， 解得：， ， 故④是错误的； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式，整式的加减，方程思想是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 计算：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 14. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为___________ 【答案】8.23×10-7 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000823=8.23×10-7． 故答案为∶ 8.23×10-7． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 15. 已知，在中，，于点D，于点E，若，则_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 16. 已知，，则的值是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘法逆用，首先根据，求出的值是多少，然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出的值是多少即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：20． 17. 如图，在Rt△ABC中，AC=6，AB=，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，连接EG，由AD是角平分线可得∠BAD=∠CAD，利用ASA可证明△AQG≌△AQF，可得AF=AG，利用SAS可证明△AEF≌△AEG，可得EG=EF，即可求得BE+EF=BG，根据BG最短为BH，即可得答案. 【详解】作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，连接EG， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△AQG和△AQF中，， ∴△AQG≌△AQF（ASA）， ∴AF=AG， 在△AEF和△AEG中，， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴EG=EF， ∴BE+EF=BE+EG=BG， ∵BG最短为BH， ∴BE+EF最短为BH， ∵AB=，∠BAC=30°， ∴BH=AB=， 故答案为 【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题、全等三角形的判定与性质及含30°角的直角三角形的性质，根据轴对称性质得出BH为BE+EF的最小值是解题关键. 18. “泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是______万元． 【答案】 【解析】 【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，分别表示出两种盲盒的成本和售价，设当天销售“森林精灵”， “潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，根据这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，列得方程即可求出答案． 【详解】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元， 根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：元，“潘神神话”盲盒的成本为元， ∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍， ∴， ∴， ∴， ∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%， ∴每个“潘神神话”盲盒的售价为（元）， ∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%， ∴每个“森林精灵”盲盒的售价为元， 设当天销售“森林精灵”， “潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个， ∴总销售额为①， ∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%， ∴总成本为（元）， ∴②， 联立①②可得， ∴“森林精灵”盲盒的总利润为（万元）， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关系是设出相关未知数，列出方程． 三、解答题：（本大题6个小题，每小题8分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法则及单项式乘多项式，熟知以上知识是解题的关键． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21. 如图，中，，的平分线交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 【答案】（1） 图形如图所示：直线即为所求， （2），，，． 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据基本作图—作已知线段的垂直平分线作出图形即可； （2）根据证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：证明：垂直平分， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 22. 如图，有一张图纸被破坏，上面两个标志点、清晰，而主要建筑标志点被破损． （1）请在图中标出点的位置； （2）连接、、，作关于轴对称的图形； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，C点即为所求 （2）如图，即为所求. （3）5 【解析】 【分析】（1）先根据A点、B点的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，然后找出C点的位置即可. （2）根据轴对称变换的性质做出三点关于y轴的对称点，再依次连接即可得到关于轴对称的图形. （3）根据割补法求的面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 【点睛】本题主要考查了确定平面直角坐标系中的点，作轴对称图形，计算网格中图形的面积。熟练掌握轴对称的性质即利用割补法计算网格中图形的面积时解题的关键. 23. 已知实数，，请利用数与代数相关知识解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）33 （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据等式的性质把原式化为，再根据完全平方公式计算； （3）根据非负数的性质分别求出、，根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，， 则． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值、非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键． 24. 在全民健身运动中，跑步运动颇受市民青睐，甲、乙两跑步爱好者约定从A地沿相同路线跑步去距A地8千米的B地，已知甲跑步的速度是乙的1.2倍． （1）若乙先跑步1千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲跑步的速度； （2）若乙先跑步10分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲跑步的速度． 【答案】（1）甲跑步的速度为12千米时； （2）甲跑步的速度为9.6千米时． 【解析】 【分析】（1）设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时，利用路程速度时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出乙跑步的速度，再将其代入中即可求出甲跑步的速度； （2）设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时，利用时间路程速度，结合乙比甲多用10分钟，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出乙跑步的速度，再将其代入中即可求出甲跑步的速度． 【小问1详解】 设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时， 依题意得：， 解得：， ． 答：甲跑步的速度为12千米时． 【小问2详解】 设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲跑步的速度为9.6千米时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 四、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 证明：在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证； （2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 一个四位自然数M，若各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数M为“三三数”．例如： M＝1843，∵8+4＝3×（1+3），∴1843是“三三数”； M＝6312，∵3+1≠3×（6+2），∴6312．不是“三三数”． （1）判断2693和3261是否为“三三数”？并说明理由． （2）如果一个“三三数”M的各数位上的数字之和为16，并且规定：将这个“三三数”M的十位与百位交换得到M'记；记M的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为Q（M）．若为正整数，求出所有符合条件的M的值． 【答案】（1）2693是“三三数”， 3261不是“三三数” （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据题意可得①②，得到，根据为正整数，取舍的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵6+9=3×（2+3），∴2693是“三三数”； ∵2+6≠3×（3+1），∴3261不是“三三数” 【小问2详解】 设M，则①， 各数位上的数字之和为16， ②， 由①代入②得， ， ， ， ， ， 为正整数， ， 即， 是6的倍数， ， 是6的倍数，， ， 为． 【点睛】本题考查了新定义运算，二元一次方程组的应用，理解新定义是解题的关键． 27. 如图，等边中，点是延长线上一点，点在上，连接，． （1）如图1，连接，求证：平分； （2）如图2，点为线段上一点，连接交于点，若点为的中点，求证：； （3）如图3，点为线段上一动点，作关于的对称点，连接，，交于点，点在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点，当取得最大值时，此时，，求整个运动过程中的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使，证明，则，可得是等边三角形，求出，即可得平分； （2）在上取一点，使，过点作交于，证明，可得，由（1）知，，，可得，根据线段的和差以及三角形外交的性质得，再证，即可得出结论； （3）在上取一点，使，过点作交于，证明，则，当时，最小，则最小，过点作于，在中，，根据，可得，即可得出整个运动过程中的最小值为6． 【小问1详解】 证明：在上取一点，使， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：过点作交于， ， ，， 点为中点， ， ， ， 由（1）知，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，点为线段上一动点，作关于的对称点，， 当最大时，有最大值， 是等边三角形， ， ， 时，有最大值， 在上取一点，使，过点作交于， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ，， ， ， 当时，最小，则最小， 过点作于， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ，， ， ，即整个运动过程中的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $