2.2基本不等式教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

2.2基 本 不 等 式 一、内容和内容解析 1.内容 基本不等式的定义、用“分析法”证明基本不等式、基本不等式的几何意义、基本不等式的应用. 2.内容解析 在尝试解决不等式相关问题时，我们发现我们缺乏类似乘法公式的代数工具（不等式）来构建不等式问题中“加法”和“乘法”之间的桥梁. 而且在上一节中通过“赵爽弦图”我们已经学习了重要不等式：；并掌握了不等式的相关性质.那么我们能否通过重要不等式来获取我们想要的代数工具呢？为此本节我们就来学习基本不等式.基本不等式是高中数学学习的预备内容，主要是让学生理解基本不等式，并会求解一些简单的不等式最值问题，是为了下一节“一元二次方程”的学习铺垫. 同时在初中我们在解决几何问题的证明时常常会使用“逆向推导”.而本节就“逆向推导”给出新的说明：“分析法”——“执果索因”.重要不等式在上节中我们学习了其几何意义:“在赵爽弦图中四个三角形的面积和不大于大正方形的面积”.我们知道基本不等式是由重要不等式推导而来，那么，基本不等式会有几何意义吗?通过数形结合，本节我们也将学习基本不等式的几何意义“圆中直径不小于任意一条弦”.在此之后，我们将学习用基本不等式解题，即基本不等式的应用. 基于上述分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、证明方法、几何意义和实际应用. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解基本不等式的定义： ； （2）会用“分析法”证明基本不等式. （3）理解基本不等式的几何意义：“圆中直径不小于任意一条弦”. （4）会用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）掌握基本不等式的定义. （2）能够用“分析法”证明基本不等式.——“执果索因” （3）掌握基本不等式的几何意义，并理解“和定积最大，积定和最小”. （4）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正，二定，三相等”；能用基本不等式求解最大值或最小值； 三、教学问题诊断分析 1、基本不等式是学生前面学习了不等式一般性质之后接触的第一个较为抽象的（不等式）模型，对于证明的方法，不够理解和熟练，学生心中稍会产生畏惧心理； 2、对于基本不等式几何意义的探究中，学生对于基本不等式中的“”会感到棘手.学生没办法在短时间内想到通过，得到，进而得到；从而用CD代替. 3、在运用基本不等式求最值问题时，学生容易疏忽其使用的前提条件（“一正二定三相等”） 因此基本不等式的证明，和其几何意义的探究，加上利用基本不等式求解最值问题也是本节课的难点. 四、教学重点、难点 教学重点：基本不等式的定义、证明方法、几何意义和实际应用. 教学难点：基本不等式的证明、基本不等式的几何意义及其应用. 五、数学学科素养   数学抽象：在重要不等式的基础上通过替换字母得到基本不等式； 逻辑推理：通过分析法与综合法证明基本不等式； 数学运算：准确使用基本不等式进行解题； 直观想象，数形结合：通过观察图形探究基本不等式的几何意义； 六、教学过程： （一）复习回顾 创设情境 教师：在上一节学习过程中，我们通过“赵爽弦图”学到了什么？ 不等式的性质有哪些? 学生1：，当且仅当时，等号成立. 学生2：如果，那么；如果，那么. 如果，，那么. 如果，那么. 学生3：如果，，那么； 如果，，那么. 如果，，那么. 如果，，那么. 如果，那么. 【设计意图】通过对上一节知识点的回顾，强化学生对重要不等式的掌握.为后续通过对重要不等式取特殊值从而推导出基本不等式铺垫.同时，进一步加深学生对不等式性质的掌握，为用“分析法”证明基本不等式铺垫. （二）情境导入 探索新知 1.基本不等式的定义 教师：在重要不等式中，对于a，b我们可以取到任意实数.我们将其大 致分成四组(此处仅想体现同号与异号差异，且尚未想好如何分组因此并 不严谨.)即:①；②；③； ④；在简单观察后发现，对于③④而言，重要不等式毫无意 义.为此，对于重要不等式我们仅研究a，b同号，即①②.而对于①② 而言，我们仅需要研究①；如何改变或者转换才能使a，b满 足①呢？这里我们可以用，分别代替a，b.现在，请 同学们计算替换后会得到怎样的式子. 学生： 教师：引导学生对结果进行补充，修改.最终总结：对于，得 到①；当且仅当时，等号成立.，通常我们称不等式①为 基本不等式.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做a，b的几 何平均数.通过探究推理基本不等式，请同学们探究两正数的算术平均数 与几何平均数二者有怎样的关系？ 学生：基本不等式表明了两正数的算术平均数不小于他们的几何平均数. 【设计意图】通过分析重要不等式，层层递进引出基本不等式.促进学生理解基本不等式的由来，以及强化学生对基本不等式中的理解.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数意义.加深学生对基本不等式的理解. 2.基本不等式的证明 教师：我们刚刚通过替换a，b（取特殊值）获得了基本不等式，那我们能 否直接利用不等式的性质来证明基本不等式呢?请同学们尝试一下. 学生：我们可以通过作差法证明上式.用减去并判断其结果正负. 教师：肯定学生看法，并带领学生在黑板完成证明； 解： ……① 原式=………② 原式= ………③ 由于；所以③≥；因此①≥；（当且仅当时，等号 成立）；所以基本不等式得证. 教师：我们现在回头来看一下我们的证明，在证明基本不等式时，同学们 为什么会第一个想到了作差法？ 学生：因为如果①≥，那么我们就能判断基本不等式成立. 教师：没错，也就是我们可以把①≥看成是基本不等式成立的必要条 件！（实际上应该是充要条件，这里主要是为了推出必要性） 即：要证基本不等式， 只要证 …………⑥ 通过复习我们知道⑥是基本不等式运用不等式的性质 “如果，那么.”而来.那我们能否再通过不等式的性 质找到⑥成立的必要条件呢？ 学生1：⑥成立的必要条件是……⑦ 运用了不等式的性质“如果，，那么” 教师：很好！还可以继续吗？ 学生2：⑦成立的必要条件是：…………⑧ 教师：很好，对与⑧式，其成立是显而易见的.因此我们就能说明基本不 等式是成立的.同学们，这种“执果索因”式的证明，我们叫做“分析 法”. 【设计意图】通过作差法先带领学生证明基本不等式，加强学生对基本不等式的理解，在从作差法中提炼作差法的核心：“通过作差结果正负判断不等式是否成立.”引出“分析法”，并给学生做好一步示范，接下来让学生模仿，加强学生对“分析法”的理解. 3.基本不等式的几何意义 探究：在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上的一 点，过点C作垂直于AB的弦DE，连 接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何 意义吗？ 教师：在探究基本不等式的几何意义之前，我们能从题 目中初步知道那些信息？ 学生：我们知道圆O的半径为；直径为. 教师：很好，现在请同学们尝试计算一下CD的长度 （用a，b表示CD）. 学生：通过，得到，进而得到； 教师：很好，进一步我们发现基本不等式中的，我们可以用半径OD表 示；而基本不等式中的，我们可以用CD表示.结合图1与基本不等 式，同学们，你们发现了什么？（提示一下C是动点） 学生：我们发现CD的长度永远不会大于半径. 教师：很好，恭喜你们，你们已经找到了基本不等式的 几何意义.即“圆中直径不小于任意一条弦”.那什么时 候CD（）会取最大值呢？ 学生：当CD和OD重合时. 教师：很好，就是图2.通过确定a，b改变CD.我们可 以得到这样一句话：“和定积最大”.那如果我们固定 CD的长度改变a，b.我们又能得到什么呢？请同学课后思考. 【设计意图】让学生自己寻找基本不等式的几何意义是非常困难的，因此通过给出图形，并一步步引导学生完成对基本不等式几何意义的探究是必要的.通过分析题目，并解决教师布置的题目，从而一步步引导将和与图中的几何元素建立联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从和获得基本不等式的几何意义.并且通过“和定积最大”将几何意义与解决问题之间构建桥梁，并为“积定和最小”埋下伏笔. （三）例题讲解 学以致用 例1.已知 教师：“”的含义是什么？ 学生：找到一个，且. 教师：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？能否用基本不等式来 求解其最小值呢? 学生：我发现和互为倒数，两个乘积是1. 故，把看作a， 把看作b满足，可以利用基本不等式. 教师：在课本第45页解答过程中，是否要说明“当且仅当， 即时，等号成立”？学生思考后，分析：这个是为了说明 “2”是的一个取值.总结：代数式是否能转换为两个正数和或积的 形式，他的和或者积是否是一个定值，不等式中等号是否能取到，都是需 要我们认真考虑.通俗的话来说，就是“一正二定三相等” 【设计意图】引导学生根据所求代数式的形式，初步判断能否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值. 例2.已知x，y都是正数，求证： （1） 如果积xy等于定值P，那么当时，和有最小值； （2） 如果和是定值S，那么当时，积xy有最大值； 教师：学生尝试解决，并思考用基本不等式能够解决什么样的问题. 总结：“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求他们和的最小值”“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求他们积的最大值”能够用基本不等式解决. 【设计意图】在例1 的基础上，再利用一道例题强化学生对基本不等式的了解和应用.同时解题干指出基本不等式能解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题奠定基础. （四）归纳概括 整合新知 本节课我们学习了： 基本不等式的定义：对于，得到；当且仅当 时，等号成立. 用分析法证明基本不等式. 基本不等式的几何意义“圆中直径不小于任意一条弦”. 基本不等式在应用过程中要注意“一正二定三相等”. 【设计意图】通过课堂小结，强化学生对基本不等式的整体把握，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，增强学生的数学抽象和数学运算素养. （五）课后练习 必做题：课本第46页 练习1、2、3. 选做题：课本第46页 练习4、5. （七）板书设计 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$