2024-2025学年苏科版数学九年级上册月考、期中专题复习05：垂径定理及三角形的外接圆

期中专题复习05：垂径定理及三角形的外接圆 1、掌握垂径定理的基本内容与应用 2、回顾垂径定理的推论及变形应用 3、理解垂径定理在最值问题中的应用 4、理解三角形的外接圆以及外心的运用 1、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 数学语言：∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB， 2、垂径定理的推论 垂径定理的应用很广泛，常见的有： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 3、垂径定理的几个基本图形： 4、垂径定理中几种常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 （1）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 5、确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 6、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （要点诠释）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 一、垂径定理中的直接应用求值 典例：如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a > 3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是( ) A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（-3，a）， ∴OC=3，PC=a， 把x=-3代入y=-x得y=3， ∴D点坐标为（-3，3）， ∴CD=3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE=AB=×4=2， 在Rt△PBE中，PB=3， ∴PE=， ∴PD=PE=， ∴a=3+． 故选B 《变式训练》 1、（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【详解】 连接OA、OC，如图， ∵AB为小圆的切线， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5， ∴AC＝＝12， ∴AB＝2AC＝24． 故选：D． 3、如图，与轴交于点，，圆心的横坐标为，则的半径为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示： ∵⊙P与y轴交于M（0，−4），N（0，−10）两点， ∴OM＝4，ON＝10， ∴MN＝6， ∵PD⊥MN， ∴DM＝DN＝MN＝3， ∴OD＝7， ∵点P的横坐标为−4，即PD＝4， ∴PM＝＝＝5， 即⊙P的半径为5， 故选：C． 4、（2024·山东临沂·模拟预测）春秋时代的名著《墨子非儒下》载：“孔子穷于陈蔡，藜羹不糁”．“糁”在文字上讲是用肉作成的汤羹，是临沂地区的风味小吃．因其香辣可口、肥而不腻、祛风除寒、开食健胃实为众人所喜爱，早晨喝糁是临沂传统食俗．糁汤做好后会盛入大碗中；如图②是从正面看到的一个盛糁汤的大碗(图①)的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（    ） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：B． 5、（2024·四川自贡·模拟预测）已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（   ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，过点最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点的最短的弦是8，故过点的弦的长度在8和10之间，所以过点的弦中长度为整数的弦的条数为4． 【详解】解：如图示， 作弦于， 则， 在中，，， ， ， 故过点的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条， 所有过点的所有弦中取整数的有8，9，10．这三个数， 又圆是轴对称图形， 过点的弦中长度为整数的弦的条数为4． 故选：D． 6、如图，是半圆的直径，弦，，弦与直径之间的距离为3，则 ． 【分析】过作于，由垂径定理得到，由，得到，因此，由勾股定理求出，即可得到． 【解答】解：过作于， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 7、若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 8、（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 9、如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 【答案】0.4米． 【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点， 则BC＝AB＝1.6（米）， 设⊙O的半径为R， 在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2， ∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62， 解得R＝2， 即该圆弧所在圆的半径为2米； （2）过O作OH⊥FE于H， 则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米， 在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米）， ∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米）， ∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米）， 即支撑杆EF的高度为0.4米． 10、（2024·陕西西安·一模）【问题提出】 （）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值； 【问题解决】 （）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 【答案】（）作图见解析（）的最大值为（）修建和两座小桥的总成本为元 【分析】（）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求； （）由知，当最小时， 最大，求出此时的，即可求解； （）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答； 本题考查了垂径定理定理，勾股定理，的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：（）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求； （）过点作交于点， ∵，是半径，不会随着点的运动而改变， ∴当有最小值时，有最大值， 即当时，最小，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （）当经过圆心时，四边形面积最大，则， 根据垂径定理可得，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴修建和两座小桥的总成本为：元． 二、垂径定理的推论及应用 典例、（2024·内蒙古呼和浩特·二模）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约 为 m（结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，由题意可知，，，点是的中点，由垂径定理可知，，且，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，点是的中点， 由垂径定理可知，，且， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 答：桥拱的半径约为． 故答案为：． 《变式训练》 1、（23-24九年级上·广东广州·期中）下列命题正确的有（    ） ①长度相等的两条弧是等弧； ②弦的垂直平分线必过圆心； ③平分弦的直径垂直于弦； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，以及圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； ②弦的垂直平分线必过圆心，故该选项正确，符合题意； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分，故该选项正确，符合题意； 故选：B． 2、（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，求出，，进而证明是等腰直角三角形，得到，由，易证是等腰直角三角形，求出，再根据，利用勾股定理即可求，再根据垂径定理即可求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接， 在直线中， 令，则，令，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，点O为圆心， ， ， 半径为4的圆被直线所截得的弦长为， 故选：C． 3、某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4、（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E． (1)当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数； (2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． (3)在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)、30° (2)存在，DE= (3)存在，∠DOE=45° 【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质及勾股定理即可解决问题； （2）利用三角形的中位线定理即可解决问题； （3）利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接OC， ∵OB=OC=BC=2， ∴△OCB 是等边三角形， ∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=1，∠BOD=∠COD=∠BOC=30°， 由勾股定理得：， ∴OD=； 即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°； （2）解：存在，DE=； 如图，连接AB； ∵∠AOB=90°，OA=OB=2， ∴， ∴AB=2； ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴BD=CD，AE=EC， ∴DE是△ABC的中位线， DE=×2=． （3）解：存在，∠DOE=45°； ∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA=OB=OC， ∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE， ∴∠DOE=∠AOB=45°， 即∠DOE=45°． 5、（22-23九年级上·江苏南通·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦； (3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论； （3）分两种情况讨论，过点O作，作，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵是的等垂弦，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的等垂弦， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； （2）证明：设交于点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴是的等垂弦； （3）解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图， ∵是的等垂弦， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∵，且， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴； 若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图， 同理，，则； ∴或． 三、垂径定理与最值结合问题 典例、（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，    ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 《变式训练》 1、如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM＝2，由A（﹣2，0），C（2，0），得出AC＝4，由切线的性质得出∠AMC＝90°，由勾股定理求出AM＝2，由等积法MH＝，进而求出CH＝1，OH＝1，得出M（1，），即可求出MN＝． 【解答】解：如图，当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM＝2， ∵A（﹣2，0），C（2，0）， ∴AC＝4， ∵AM与⊙C相切， ∴∠AMC＝90°， ∴AM＝＝＝2， ∵S△ACM＝•AM•CM＝， ∴MH＝＝＝， ∴CH＝＝＝1， ∴OH＝2﹣1＝1， ∴M（1，）， ∵N（4，3）， ∴MN＝＝， 故选：A． 2、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 过O作CO⊥AB于C，根据垂线段最短知线段OM的最小值为OC，连接OA，根据垂径定理得AC=4，再由勾股定理求出OC即可． 【详解】 解：过O作CO⊥AB于C，则线段OM的最小值为OC， 连接OA， ∵CO⊥AB，AB=6， ∴AC=AB=3， 在Rt△ACO中，AO=5，由勾股定理得： ， 即线段OM的最小值为3， 故选：B． 3、（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．连接，过点作于点，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，求出的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 故， 则， ∴线段的长度为整数的值有、、、，共个， 故答案为：． 4、（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，连接，作于点，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 【详解】解：如下图，连接，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，， 连接，当点在的延长线上时，的值最大， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最大值为， 故答案为：． 5、（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 6、（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解． 【详解】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 7、如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 【答案】(1)为中点位置；(2) 【详解】（1）解：连接 又为半径是一个定值， 越小，越大 当为垂线段时，为最小值，则取最大值 为中点位置时，的长取得最大值． （2）由（1）知 、重合 的最大值是． 四、确定圆的条件及外接圆与外心 典例、（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 《变式训练》 1、下列说法正确的是（　　） A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可． 【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意； B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意； C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意． 故选：A． 2、 当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件 为 【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（1，2），B（3，﹣3）， ∴， 解得：k＝﹣，b＝， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+， ∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时， ∴点C不在直线AB上， ∴n＝﹣×5+＝﹣8， ∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8， 故答案为：n≠﹣8． 3、（2024·河南商丘·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接并延长，交于点，连接，．求证： 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作三角形的外接圆；圆的性质，平行四边形的性质与判定；全等三角形的性质与判定； （1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆； （2）根据题意可得，，则四边形为平行四边形，得出，，进而根据证明，即可． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆； （2）证明：如图， ，， 四边形为平行四边形， ，， 在和中， ， ． 4、（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 5、（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点A顺时针旋转得到的，则点D的坐标为______； (2)请在图中作出的外接圆，并写出圆心M的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析， 【分析】本题考查了旋转作图以及作三角形的外接圆，点的坐标，熟练掌握解根据旋转的性质作图和三角形外接圆性质是解题的关键． （1）将、绕点顺时针旋转得到对应点、，顺次连接即可得到，进而得到点的坐标； （2）作出、的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以为圆心，以的长为半径作圆即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标分别为， （2）解：如图所示，即为所求，的坐标为． 6、如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论， （2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案． 【解答】解（1）连接OA并延长AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴弧AB＝弧AC， ∵AE过圆心O， ∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAE， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）设∠ABD＝x， 由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x， ∴∠BDC＝3x， △BCD是等腰三角形， ①若BD＝BC， 则∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠BCD＝3x＝67.5°， ②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x， ∴∠ABC＝∠ACB＝4x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴4x+4x+2x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠BCD＝4x＝72°， 综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°． 1、（23-24九年级上·辽宁营口·期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．半圆是最长的弧； B．平分弦的直径平分弦所对的弧； C．相等的弦所对的圆心角相等； D．相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、半圆不是最长的弧，原命题是假命题，不符合题意； B、平分非直径的弦的直径平分弦所对的弧，原命题是假命题，不符合题意； C、同圆或等圆中相等的弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、相等的弧所对的圆心角相等，原命题是真命题，符合题意； 故选D． 2、（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键． 由圆心角，弧，弦之间的关系可判断①，由三角形的外心的性质可判断②，由圆的对称轴是直线可判断③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，从而可得答案． 【详解】解：①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意； ②由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意； ③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意； ④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意． 故选：B． 3、（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直于弦的的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 4、⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 5、（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选C 6、（23-24·江苏常州·九年级期中）如图，分别是的直径和弦，于点连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=AC=4，然后利用勾股定理计算BD的长． 【详解】 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴， ∵OD⊥AC， ∴CD=AD=AC=4， 在Rt△CBD中，． 故选：C． 7、（23-24·江苏盐城·九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则圆心O 到AB的距离为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】 过点作于，连接，由垂径定理得，则，设，在和中，由勾股定理得，解得即可，再在中利用勾股定理求出． 【详解】 解：过点作于，连接，如图所示： 则， ， 设， 在和中， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即半径的长为7， 在中， ， 则圆心O到AB的距离为， 故答案是：． 8、如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当时，最小，即最小，进而可得是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直于 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∴是等腰直角三角形， 设， 则， ∵， 在中， 即 解得：（负值舍去） 故选：B． 9、（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 【答案】 【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ，，故答案为：． 10、（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】先利用垂径定理及其推论得到四点共线，四点共线，再利用三角形中位线定理等知识对线段之间的关系进行转化，即可求解． 【详解】解：连接和，与和的交点分别记为点和点， ∵弧，弧的中点分别是， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点和点分别是和的中点， ∴，， ∵分别是为直径作半圆弧的中点， ∴，， ∴四点共线，四点共线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 11、（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：设直线与轴交于点，过点作，则， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12、（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解． 【详解】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 13、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）作图见解析；（2）圆的半径为13 cm． 【解析】 【分析】 （1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 【详解】 解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 14、（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x． （1）用关于x的代数式表示BQ＝　5x　，DF＝　3x　． （2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． （3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长． 【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH＝BH＝AB，求得CD，FD； （2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M，则OM∥AB，由垂径定理得QM＝AM＝x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得x，得出结论； （3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，过点B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP． 【解答】解：（1）在Rt△ABQ中， ∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x， ∴AB＝4x， ∴BQ＝5x， ∵OD⊥m，m⊥l， ∴OD∥l， ∵OB＝OQ， ∴AH＝BH＝AB＝2x， ∴CD＝2x， ∴FD＝CD＝3x， 故答案为：5x，3x； （2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4， ∴CQ＝6x+4， 作OM⊥AQ于点M，如图1， ∴OM∥AB， ∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°， ∴点O是BQ的中点， ∴QM＝AM＝x ∴OD＝MC＝x+4， ∴OE＝BQ＝x， ∴ED＝2x+4， S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90， 解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3， ∴AP＝3x＝9； （3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，如图2， 过点B作BM⊥EG于点M， ∵GM＝x，BM＝x ∴∠GBM＝45°， ∴BM∥AQ， ∴AI＝AB＝4x， ∴IQ＝x， ∴NQ＝＝2， ∴x＝2， ∴AP＝6． 15、（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________； 【问题探究】 （2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最小值为3；（3）的长度存在最小值，最小值为米 【分析】（1）当时，的值最小，据此即可求解； （2）设，则，，要使最小，则最小，即最小．据此即可求解； （3）由题意得为的直径，设的半径为R，则，连接，作于点H，可得，求出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）当时，的值最小， 如图所示： ∵ ∴ 故答案为： （2）∵点P在以O为圆心，为半径的上， ∴设，则，， ∴要使最小，则最小，即最小． ∵点F为线段（含端点）上的一个动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为1， ∴的最小值为3． （3）∵， ∴为的直径， ∴圆心P为线段的中点． 设的半径为R，则 连接，作于点H，如图3． ∵是以点A为顶点的等腰直角三角形， ∴，米， ∴． ∵， ∴． ∵点C在上， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为米，即的最小值为， ∴R的最小值为． ∵当R最小时，取得最小值， ∴长度的最小值为． 即的长度存在最小值，最小值为米． 16、“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题复习05：垂径定理及三角形的外接圆 1、掌握垂径定理的基本内容与应用 2、回顾垂径定理的推论及变形应用 3、理解垂径定理在最值问题中的应用 4、理解三角形的外接圆以及外心的运用 1、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 数学语言：∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB， 2、垂径定理的推论 垂径定理的应用很广泛，常见的有： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 3、垂径定理的几个基本图形： 4、垂径定理中几种常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 （1）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 5、确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 6、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （要点诠释）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 一、垂径定理中的直接应用求值 典例：如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a > 3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是( ) A．4 B． C． D． 《变式训练》 1、（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 3、如图，与轴交于点，，圆心的横坐标为，则的半径为（       ） A． B． C． D． 4、（2024·山东临沂·模拟预测）春秋时代的名著《墨子非儒下》载：“孔子穷于陈蔡，藜羹不糁”．“糁”在文字上讲是用肉作成的汤羹，是临沂地区的风味小吃．因其香辣可口、肥而不腻、祛风除寒、开食健胃实为众人所喜爱，早晨喝糁是临沂传统食俗．糁汤做好后会盛入大碗中；如图②是从正面看到的一个盛糁汤的大碗(图①)的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（    ） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 5、（2024·四川自贡·模拟预测）已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（   ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 6、如图，是半圆的直径，弦，，弦与直径之间的距离为3，则 ． 7、 若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为 8、（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 9、如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 10、（2024·陕西西安·一模）【问题提出】 （）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值； 【问题解决】 （）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 二、垂径定理的推论及应用 典例、（2024·内蒙古呼和浩特·二模）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约 为 m（结果保留整数）． 《变式训练》 1、（23-24九年级上·广东广州·期中）下列命题正确的有（    ） ①长度相等的两条弧是等弧； ②弦的垂直平分线必过圆心； ③平分弦的直径垂直于弦； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 3、某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 4、（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E． (1)当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数； (2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． (3)在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由． 5、（22-23九年级上·江苏南通·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦； (3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长． 三、垂径定理与最值结合问题 典例、（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 《变式训练》 1、如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 2、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3、（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有 个． 4、（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    5、（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    6、（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 7、如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 四、确定圆的条件及外接圆与外心 典例、（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 《变式训练》 1、下列说法正确的是（　　） A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 2、当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件 为 3、（2024·河南商丘·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接并延长，交于点，连接，．求证： 4、（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 5、（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点A顺时针旋转得到的，则点D的坐标为______； (2)请在图中作出的外接圆，并写出圆心M的坐标． 6、如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 1、（23-24九年级上·辽宁营口·期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．半圆是最长的弧； B．平分弦的直径平分弦所对的弧； C．相等的弦所对的圆心角相等； D．相等的弧所对的圆心角相等 2、（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 3、（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    B． C． D． 4、⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 5、（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 6、（23-24·江苏常州·九年级期中）如图，分别是的直径和弦，于点连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7、（23-24·江苏盐城·九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则圆心O 到AB的距离为______cm． 8、如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 9、（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 10、（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ． 11、（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ． 12、（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 13、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 14、（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x． （1）用关于x的代数式表示BQ＝　5x　，DF＝　3x　． （2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． （3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长． 15、（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________； 【问题探究】 （2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 16、“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$