精品解析：四川省成都市龙泉驿区师一中学校2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷

2021－2022学年成都市龙泉师一九年级（上）入学定时练习 数学 A卷（100分） 一．选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 6. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或13 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有（ ） 甲方案：在上取，． 乙方案：作于，于． 丙方案：作，分别平分，． A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 甲、丙 D. 乙、丙 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：__________． 10. 已知，则的值为______． 11. 如图，在中，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，若长为，则长为______． 12. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为_______ 13. 如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画___________个平行四边形． 三、解答题（14、15题每小题各6分，16题6分，17题8分，16题10分，共48分） 14. （1）解方程： （2）解方程： 15. （1）解不等式组： （2）解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，，． （1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将绕点O旋转180°，画出旋转后的； （3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为______． 17. 如果，是一元二次方程的两根，那么有，，这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题． 例：，是方程的两根，求的值．解法可以这样：，，则，请你根据以上解法解答下题： 题目：已知，是方程的两根，求： （1）的值； （2）的值． 18. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图，连接，若，，，求的面积； （3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长． B卷（50分） 一、填空题（本题共5小题，共20分） 19. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于___________． 20. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________． 21. 如下图，点是边长为2的正方形的边上的一动点（不与端点重合），将沿翻折至的位置，若是等腰三角形，则___________． 22. 已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为___________． 23. 定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是___________．（填序号） 二、解答题（本题共3小题，共30分） 24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定设计一个等腰梯形的露营地（如图），露营地上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连接（虚线）处有一条横向通道，上下底之间有两条纵向通道，各通道的宽度相等，设通道的宽为米．（提示：两腰中点连接（虚线）是此等腰梯形中位线，其长是上下底之和的一半．） （1）用含的式子表示横向通道的面积； （2）当三条通道的面积是梯形露营地面积的八分之一时，求通道的宽； （3）根据设计的要求，通道的宽不能超过8米，如果修建通道的总费用万元，花坛其绿化费用为每平方米万元，那么当通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由 26. 已知为等边三角形，其边长为．点是边上一动点，连接． （1）如图，点在边上且，连接交于点． ①求证：； ②求的度数； （2）如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求与的函数关系式； （3）如图，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，在点运动过程中，当的周长为时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022学年成都市龙泉师一九年级（上）入学定时练习 数学 A卷（100分） 一．选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可得到答案． 【详解】解：A、是旋转对称图形，最小旋转角为，旋转角不可能为，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是旋转对称图形，最小旋转角为，旋转角不可能为，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是旋转对称图形，最小旋转角为，旋转角可以为，故是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解此题的关键． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的方法依次分析各项即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查提公因式法和公式法分解因式，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止． 3. 如图，已知，那么∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的外角和等于360°即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠4=120° 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和公式，熟练掌握多边形是外角和公式是解题的关键． 4. 关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a-6=0，即a=6；当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可． 【详解】解：当a-6=0，即a=6时， 方程是-8x+6=0， 解得x=； 当a-6≠0，即a≠6时， △=（-8）2-4（a-6）×6=208-24a≥0， 解得≈8.6， 取最大整数，即a=8． 故选C． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 6. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或13 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 8. 如图，中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有（ ） 甲方案：在上取，． 乙方案：作于，于． 丙方案：作，分别平分，． A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 甲、丙 D. 乙、丙 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方案甲，连接，由平行四边形的性质得，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确； 方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确； 方案丙，证，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确． 【详解】解：方案甲中，连接，如图所示： 四边形是平行四边形，O为的中点， ， ， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，四边形是平行四边形， ， ， 平分平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形，故方案丙正确； 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：__________． 【答案】4043 【解析】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解： = = =4043 故答案为：4043． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序． 10. 已知，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】将先因式分解，后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题考查因式分解的应用、求代数式的值，用整体代入求解是解题的关键． 11. 如图，在中，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，若长为，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出，再根据三角形中位线定理求出． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 同理，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 12. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，，将四边形的周长转化为的周长与、的和，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，， 的周长为，  ， ， 四边形的周长       ． 13. 如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画___________个平行四边形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 三、解答题（14、15题每小题各6分，16题6分，17题8分，16题10分，共48分） 14. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）或；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方法进行求解一元二次方程即可； （2）利用公式法进行求解一元二次方程方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， 整理得：， ， ， ， ，． 15. （1）解不等式组： （2）解方程：． 【答案】（1）x＞2；（2）无解 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x≥1， ∴原不等式组的解集为：x＞2； （2）， x-2=2（x-3）+1， 解得：x=3， 检验：当x=3时，x-3=0， ∴x=3是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，，． （1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将绕点O旋转180°，画出旋转后的； （3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为______． 【答案】（1） 如图所示：即为所求， （2） 如图所示：即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据A1的坐标可知将向右平移6个单位，再上上平移2个单位即可得到； （2）根据旋转的性质画出旋转后对应的即可； （3）先根据图形得出A1和A2的坐标，再根据对称中心的性质即可求出对称中心P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知A1的坐标(1,3)，根据图形可知A2的坐标为：(5,-1)， 则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：， 点P的坐标． 故答案是：（3，1） 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转以及求图形对称中心坐标的知识，掌握中心对称图形的性质是解答本题的关键． 17. 如果，是一元二次方程的两根，那么有，，这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题． 例：，是方程的两根，求的值．解法可以这样：，，则，请你根据以上解法解答下题： 题目：已知，是方程的两根，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）8 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，完全平方公式的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）利用根与系数的关系求出，将式子变形后代入计算即可求出值； （2）利用根与系数的关系求出，将式子变形后代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：是方程的两根， 可变形为：， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知：， ． 18. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图，连接，若，，，求的面积； （3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图，过点A作于点，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， 即， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由（1）得：，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ▱的面积为； 【小问3详解】 如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 由（1）知， 四边形是菱形， ，， 又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，， ，，， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 、是等腰直角三角形， 垂直平分， 即， 又，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， 又是等腰直角三角形， ， 故BE的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（本题共5小题，共20分） 19. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，可得，根据常数项为0，可得；即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为0， ∴且， 解得：． 故答案为：2 20. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________． 【答案】m＞-7且m≠-3 【解析】 【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：由，得：且x≠2， ∵关于的方程的解是正数， ∴且，解得：m＞-7且m≠-3， 故答案是：m＞-7且m≠-3． 【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键． 21. 如下图，点是边长为2的正方形的边上的一动点（不与端点重合），将沿翻折至的位置，若是等腰三角形，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1中，当时，在上取一点H，使得，连接．根据已知条件推出是等边三角形，得到，求得，设，则解方程即可得到结论．如图2中，当时，作于H，于M，则四边形是矩形．得到，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图1中，当时，在上取一点H，使得，连接． ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； 如图2中，当时，作于H，于M，则四边形是矩形． ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会推分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 22. 已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可． 【详解】解：， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 23. 定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是___________．（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，由方程有两个相等的实数根得到，再由，把表示出代入根的判别式中，变形后即可得到． 【详解】解：方程有两个相等实数根，且， ，， 将代入得：， ， 故答案为：②． 二、解答题（本题共3小题，共30分） 24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定设计一个等腰梯形的露营地（如图），露营地上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连接（虚线）处有一条横向通道，上下底之间有两条纵向通道，各通道的宽度相等，设通道的宽为米．（提示：两腰中点连接（虚线）是此等腰梯形中位线，其长是上下底之和的一半．） （1）用含的式子表示横向通道的面积； （2）当三条通道的面积是梯形露营地面积的八分之一时，求通道的宽； （3）根据设计的要求，通道的宽不能超过8米，如果修建通道的总费用万元，花坛其绿化费用为每平方米万元，那么当通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）横向甬道的面积为 （2）甬道的宽为 （3）所以当通道的宽度为8米时，所建花坛的总费用最少，最少费用是万元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握梯形的面积公式及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式求解； （2）根据“三条通道的面积是梯形露营地面积的八分之一”列方程求解； （3）先根据费用等于面积乘以单价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：横向甬道的面积为：； 答：横向甬道的面积为； 【小问2详解】 依题意：， 整理得：， （不符合题意，舍去）， 答：甬道的宽为； 【小问3详解】 设建设花坛的总费用为y万元， 则：， 即：， ， 随x的增大而减小， ， 当米时，总费用最少． 即最少费用为：万元， 所以当通道的宽度为8米时，所建花坛的总费用最少，最少费用是万元． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由 【答案】（1） 证明：直角中，． ，， 又在直角中，， ， ； （2）10 【解析】 【分析】（1）利用30°的直角三角形进行证明即可； （2）利用邻边相等的平行四边形是菱形进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵DF⊥BC，∠B=90° ∴∠B=∠DFC=90° ∴DF//AB ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即， 解得：， 即当时， 平行四边形是菱形； 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握30°的直角三角形的性质和菱形的判定是解题的关键． 26. 已知为等边三角形，其边长为．点是边上一动点，连接． （1）如图，点在边上且，连接交于点． ①求证：； ②求的度数； （2）如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求与的函数关系式； （3）如图，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，在点运动过程中，当的周长为时，求的长． 【答案】（1） ①证明：是等边三角形， ，， ， ≌， ； ② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据证明三角形全等即可； ②利用全等三角形的性质求解即可； （2）如图，在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，推出，可得结论； （3）如图，延长至，使，连接，证明≌，推出，，，由的周长为，推出，推出，过点作，则，，推出，根据勾股定理得，，构建方程求出，即可解决问题． 【小问1详解】 ①略． ②解：由①知，≌， ， ， ； 【小问2详解】 如图，在上截取，连接，， 同（1）①的方法知，，由旋转知，，， ， 由（1）②知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 等边的边长为， ， ， ，即； 【小问3详解】 如图，延长至，使，连接． 为等边三角形 ∴，， ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， ， ， 过点作，则，， ，根据勾股定理得，， ， 解得或， 当时，，， 过点作于点，则，， ， ． 当时，，， ，，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $