2023--2024学年人教版八年级数学下册期末试卷

八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＞2且x≠0 2．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A． B．4，5，6 C． D．，3，5 3．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 4．已知，，则代数式的值为（　　） A． B． C．3 D． 5．如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（　　） A． B．k≥﹣3 C．k≤﹣3或 D． 6．对于一组数据1，1，2，4，下列结论不正确的是（　　） A．平均数是2 B．众数是1 C．中位数是1.5 D．方差是3 7．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（　　） A．互相平分 B．互相垂直 C．相等 D．任何一条对角线平分一组对角 8．如图，直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（﹣2，5），则关于x的不等式﹣2x+1＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣1 9．在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF、DE交于点P，连接BP、CP．则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BP；③∠BPE＝∠CDE；④，所有正确的结论是（只需填写序号） 　 　． 二．填空题（每小题3分。共18分） 11．＝　 　． 12．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则BF＝　 　． 13．如图，菱形ABCD的周长为20，E是AC的中点，F是AB的中点，连接EF，则EF＝　 　． 14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣5x﹣6的图象经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1　 　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 15．已知两条线段的长分别为3和4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是 　 　． 16．如图，在▱ABCD中，点E是边CD上一点，且CE＝CB，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，给出下面四个结论： ①CF平分∠DCB； ②BF＝BE； ③∠PFC＝∠PCF； ④当时，S△BFC＝S▱ABCD． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 三．解答题 17.（5分）计算：． 18.（6分）如图是一块形状为四边形试验田，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝13，BC＝8，CD＝4，AD＝5，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积． 19（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且DE∥AC，DF∥BC．求证：CD＝EF． 20（8分）.如如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE． 请你选择一位同学的说法，并进行证明． 21.（9分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表， 请根据统计图表信息，解答下列问题： （1）学生成绩统计表中 a＝　 　，b＝　 　； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由． 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 22．（8分）如图，直线OA的解析式为y＝3x，点A的横坐标是﹣1，OB＝，OB与x轴所夹锐角是45°． （1）求B点坐标； （2）求直线AB的函数表达式； （3）若直线AB与y轴的交点为点D，求△AOD的面积； （4）在直线AB上存在异于点A的另一点P，使得△ODP与△ODA的面积相等，请直接写出点P的坐标． 23.（10分）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，四边形ACED为平行四边形，DE，BC相交于F，连接DC，BE． （1）试确定四边形BDCE的形状，并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCE为正方形？请给予证明． 八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题 1．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＞2且x≠0 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得，x﹣2＞0， 解得，x＞2， 故选：C． 2．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A． B．4，5，6 C． D．，3，5 【分析】根据勾股定理的逆定理，直接计算进行判断即可． 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、42+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、22+（）2≠（）2，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、32+52＝（）2，能组成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 4．已知，，则代数式的值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】先根据已知条件，求出x+y和xy的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可 【解答】解：∵，， ∴，， ∴ ＝， 故选：B． 5．如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（　　） A． B．k≥﹣3 C．k≤﹣3或 D． 【分析】分别求出直线OA和直线OB的比例系数k，即可求解． 【解答】解：将A（﹣2，6）代入y＝kx中得：6＝﹣2k， 解得k＝﹣3， 当直线刚好过点B时，将B（﹣4，2）代入y＝kx中得：2＝﹣4k， 解得， ∴当直线y＝kx与线段AB有交点时，k的取值范围为：， 故选：D． 6．对于一组数据1，1，2，4，下列结论不正确的是（　　） A．平均数是2 B．众数是1 C．中位数是1.5 D．方差是3 【分析】根据平均数、众数、中位数及方差的计算公式求解即可． 【解答】解：A、，说法正确，故此选项不符合题意； B、数据1，1，2，4，1出现次数最多的是1，所以众数是1，说法正确，故此选项不符合题意； C、数据1，1，2，4的中位数＝，说法正确，故此选项不符合题意； D、数据1，1，2，4的方差，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 7．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（　　） A．互相平分 B．互相垂直 C．相等 D．任何一条对角线平分一组对角 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A． 故选：A． 8．如图，直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（﹣2，5），则关于x的不等式﹣2x+1＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣1 【分析】根据图象即可求解． 【解答】解：观察图象，不等式﹣2x+1＜kx+b的解集为x＞﹣2， 故选：C． 9．在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳定的班级． 【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，且10＜15＜20＜25， ∴甲班体育考试成绩最整齐． 故选：A． 10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF、DE交于点P，连接BP、CP．则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BP；③∠BPE＝∠CDE；④，所有正确的结论是（只需填写序号） 　①②③④　． 【分析】根据正方形性质得出AD＝DC＝BC；，证明△ADF≌△DCE，推出∠AFD＝∠DEC，求出∠DPF＝90°即可判断①；取AD的中点G，AP的中点M，连接MG，BM，BG，证明BG是AP的垂直平分线，推出△ABP是等腰三角形，即可判断②；由②知：BP＝AB得到∠BAP＝∠BPA，又根据△ADF≌△DCE，得到∠CDE＝∠DAF，又根据∠BAP+∠DAF＝∠APB+∠BPE＝90°，得到∠DAF＝∠BPE，就可以得到③正确；延长DE至N，使得EN＝PF，证△CEN≌△CFP，推出CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，求出△NCP是等腰直角三角形，即可判断④． 【解答】解：如图1， ∵正方形ABCD，E，F均为中点， ∴AD＝DC＝BC；， ∵在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠AFD＝∠DEC， ∵∠DEC+∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DPF， ∴AF⊥DE， ∴①正确； 如图2， 取AD的中点G，AP的中点M，连接MG，BM，BG， 则：MG∥DP，， ∴MG⊥AP， ∵AD∥BC， ∴DG∥BE， ∴四边形BGDE为平行四边形， ∴BG∥DP， ∴B，M，G三点共线， ∴BM⊥AP， ∵AM＝MP， ∴BG是AP的垂直平分线， ∴△ABP是等腰三角形， ∴BP＝AB＝AD， ∴②正确； 由②知：BP＝AB， ∴∠BAP＝∠BPA， 又∵△ADF≌△DCE， ∴∠CDE＝∠DAF， 又∵∠BAP+∠DAF＝∠APB+∠BPE＝90°， ∴∠DAF＝∠BPE， 又∠DAF＝∠CDE， ∴∠B P E＝∠C D E；故③正确； 如图3，延长DE至N，使得EN＝PF，连接CN， ∵∠AFD＝∠DEC， ∴∠CEN＝∠CFP， 又∵E，F分别是BC，DC的中点， ∴CE＝CF， ∵在△CEN和△CFP中， ， ∴△CEN≌△CFP（SAS）， ∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF， ∵∠PCF+∠BCP＝90°， ∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°， ∴△NCP是等腰直角三角形， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 二．填空题 11．计算：＝　18　． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝（2）2﹣（）2 ＝28﹣10 ＝18． 故答案为：18． 12．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则BF＝　3　． 【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，得出方程组，求出BF即可． 【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AF2+BF2＝AB2＝25，（AF﹣BF）2＝1， 解得BF＝3或BF＝﹣4（舍去）， ∴BF＝3， 故答案为：3． 13．如图，菱形ABCD的周长为20，E是AC的中点，F是AB的中点，连接EF，则EF＝　　． 【分析】由菱形的性质得出BC＝5，再证EF是△ABC的中位线，即可得出答案． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴BC＝20÷4＝5， ∵E是AC的中点，F是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC＝×5＝， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣5x﹣6的图象经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＜x2，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵一次函数y＝﹣5x﹣6的图象经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，且x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 15．已知两条线段的长分别为3和4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是 　5或　． 【分析】由于“两条线段的长分别为3和4，要使这个三角形是直角三角形”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形． 【解答】解：当第三条线段为直角边时，4为斜边，根据勾股定理得第三边长为＝； 当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得第三边长为＝5， 故答案为：5或． 16．如图，在▱ABCD中，点E是边CD上一点，且CE＝CB，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，给出下面四个结论： ①CF平分∠DCB； ②BF＝BE； ③∠PFC＝∠PCF； ④当时，S△BFC＝S▱ABCD． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　①④　． 【分析】由▱ABCD，可知AD＝BC，CD∥AB，则∠ABE＝∠CEB，由CE＝CB，可知△BCE是等腰三角形，由CF⊥BE，可知∠CEB＝∠CBE，CF是BE的垂直平分线，CF平分∠DCB，可判断 ①的正误；由∠ABE＝∠CBE，可得BF＝BC＝AD，如图，作CG⊥AB的延长线于G，则 ，可得 ，可判断④的正误；由题意知，无法判断BF、BE的大小，可判断②的正 误；由题意知，无法判断∠PEC、∠PCE的大小；可 判断③的正误． 【解答】解：∵▱ABCD， ∴AD＝BC，CD∥AB， ∴∠BFC＝∠ECF， ∵CE＝CB， ∴△BCE是等腰三角形， 又∵CF⊥BE， ∴∠CEB＝∠CBE，CF是BE的垂直平分线，CF平分∠DCB，①正确，故符合要求； ∴∠BCF＝∠ECF，∠BFC＝∠BCF， ∴BF＝BC＝AD； 如图，作CG⊥AB的延长线于G， ∵， ∴， ∴ ，④正确，故符合要求； 由题意知，无法判断BF、BE的大小，②错误，故不符合要求； 由题意知，无法判断∠PEC、∠PCE的大小；③错误，故不符合要求； 故答案为：①④． 三．解答题 17.计算：． 【分析】先算算术平方根和乘除，再算二次根式减法即可． 【解答】解：原式＝×3﹣ ＝2﹣ ＝． 18.如图是一块形状为四边形试验田，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝13，BC＝8，CD＝4，AD＝5，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积． 【分析】由勾股定理求出BD＝12，再由勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理得：， 在△ABD中，AD2+BD2＝52+122＝25+144＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝＝＝， 答：这块实验田的面积为． 19如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且DE∥AC，DF∥BC．求证：CD＝EF． 【分析】根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”求出四边形CEDF是平行四边形，根据“有一个角是90°的平行四边形是矩形”推出平行四边形CEDF是矩形，根据“矩形的对角线相等”即可得证． 【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形CEDF是平行四边形， 又∵∠ACB＝90°， ∴平行四边形CEDF是矩形， ∴CD＝EF． 20.如如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE． 请你选择一位同学的说法，并进行证明． 【分析】选择小星的说法，先证四边形AEDB是平行四边形，推出AE＝BD，再证明四边形AEBC是矩形，即可得出BE⊥CD；选择小红的说法，根据四边形AEBC是矩形，可得CE＝AB，根据四边形AEDB是平行四边形，可得DE＝AB，即可证明CE＝DE， 【解答】证明：①选择小星的说法，证明如下： 如图，连接BE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE＝BD， ∵BD＝CB， ∴AE＝CB， 又∵AE∥BD，点D在CB的延长线上， ∴AE∥CB， ∴四边形AEBC是平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴BE⊥CD； ②选择小红的说法，证明如下： 如图，连接CE，BE， 由①可知四边形AEBC是矩形， ∴CE＝AB， ∵四边形AEDB是平行四边形， ∴DE＝AB， ∴CE＝DE． 21.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表， 请根据统计图表信息，解答下列问题： （1）学生成绩统计表中 a＝　8　，b＝　7.5　； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由． 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据加权平均数的计算公式计算即可； （3）比较两个年级的平均数、众数和中位数可得答案． 【解答】解：（1）由统计图可知，七年级中8分出现的次数最多，故众数a＝8； 把八年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为7，8，故中位数b＝＝7.5． 故答案为：8，7.5； （2）七年级学生成绩的平均数 m＝5×20%+6×10%+7×10%+8×30%+9×15%+10×15%＝7.55； （3）七年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好． 22．如图，直线OA的解析式为y＝3x，点A的横坐标是﹣1，OB＝，OB与x轴所夹锐角是45°． （1）求B点坐标； （2）求直线AB的函数表达式； （3）若直线AB与y轴的交点为点D，求△AOD的面积； （4）在直线AB上存在异于点A的另一点P，使得△ODP与△ODA的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于点E，则△BOE为等腰直角三角形，由此得出OE＝BE、OB＝OE，结合OB＝即可得出OE＝BE＝1，再根据点B所在的象限即可得出点B的坐标； （2）由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式； （3）将x＝0代入直线AB的函数表达式中即可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出△AOD的面积； （4）由△ODP与△ODA的面积相等可得知xP＝﹣xA，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示． ∵∠BOE＝45°，BE⊥OE， ∴△BOE为等腰直角三角形， ∴OE＝BE，OB＝OE． ∵OB＝， ∴OE＝BE＝1， ∴点B的坐标为（1，﹣1）． （2）当x＝﹣1时，y＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣1，﹣3）． 设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣2． （3）当x＝0时，y＝﹣2， ∴点D的坐标为（0，﹣2）， ∴S△AOD＝OD•|xA|＝×2×1＝1． （4）∵△ODP与△ODA的面积相等， ∴xP＝﹣xA＝1， 当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1， ∴点P的坐标为（1，﹣1）． 23.如图所示，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，四边形ACED为平行四边形，DE，BC相交于F，连接DC，BE． （1）试确定四边形BDCE的形状，并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCE为正方形？请给予证明． 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得AD＝BD，CD⊥AB，从而∠BDC＝90°，再根据四边形的性质得AD∥CE，AD＝CE，从而证明BD∥CE，BD＝CE，四边形BDCE是平行四边形，根据∠BDC＝90°得▱BDCE是矩形； （2）当∠ACB＝90°时，根据平行线的性质证明∠BFD＝90°即可得矩形BDCE为正方形． 【解答】解：（1）四边形BDCE是矩形 理由如下， ∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴AD＝BD，CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵四边形ADEC为平行四边形， ．∴AD∥CE，AD＝CE， BD∥CE，BD＝CE， ∴四边形BDCE是平行四边形， 又∵∠BDC＝90°， ∴▱BDCE是矩形； （2）当∠ACB＝90°时，四边形BDCE为正方形， 证明：∵四边形ADEC为平行四边形， ∴DE∥AC， ∴∠BFD＝∠ACB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BFD＝90°， BC⊥DE， ∴矩形BDCE为正方形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$