5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第三课时)（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2函数的极值与最大（小）值 （第三课时） f (x)<0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 x2 注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点 (2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性. 结论：极值点处，f(x) =0 1、导数与极值的关系 若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值； 若 f ’(x０)左右同号，则f(x０)无极值 复习回顾 2.求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f,(x) （3）求方程f,(x)=0的根 （4）用方程f,(x)=0的根，顺次将函数的定义 域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f,(x)在方程f,(x)=0的根左右的符号， 来判断f(x)在这个根处取极值的情况 复习回顾 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？ 新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 探究问题1：开区间上的最值问题 o x y a b y=f(x) y=f(x) o x y a b o x y a b y=f(x) o x y a b y=f(x) 结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 探究新知 x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 你能找出函数在[a,b]上的极大值、极小值吗?那最大值和最小值呢？ 结论： 一般地，如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 探究问题2：闭区间上的最值问题 思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位 置取最值？ 答：在极值位置处。 （2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点， 那么这个极值点是否是最值点？ 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。 例如函数y=f(x)图像如下： x o y b a y=f(x) o y x y=f(x) a b x1 x2 x4 如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。 所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值 探究一（闭区间上的最值问题） x3 x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 求函数y=f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: ①求函数y=f (x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f (x)的各极值与端点处的函数值f (a), f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 注意 1) 函数的最值概念是全局性的 2) 函数的最大值(最小值)唯一 3) 函数的最大值大于等于最小值 4) 函数的最值可在端点处取得 追问1：函数最值与极值有什么关系？ 联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。 区别： 1、函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的。 2、函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个。 3、极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值。 追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值（最值有可能在区间端点处取得）。   微辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)闭区间上的函数一定有最值．( 　) (2)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得．(　　) (3)若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值．(　) × √ √ [练习]　求下列函数的最值． (1)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]的最值； 1.求出所有导数为0的点； 2.计算端点值； 3.比较确定最值 探究新知 [例题] [大本例3]　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． [解析]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． ①当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： 探究新知 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. ②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值， ∴f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 探究新知 探究新知 探究新知 练习已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3， ∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． 练习．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)． 于是有22＋a＝20，解得a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2 ∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增． 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值． ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7. 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 题型三　求含参数的函数的最值 [例]　已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解析　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)； 单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，由(1)知函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增． 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，由(1)知函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k； 当1＜k＜2时，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1； 当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e. 题型三　求含参数的函数的最值 [例]　已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． [解析]　由题意知f(x)在(0,1)内有极值点． 因为f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，令f′(x)＝0，可得a＝x2. 又因为x∈(0,1)，所以0＜a＜1. [答案]　B 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 注意 1) 函数的最值是整体性的概念； 2) 函数的最大值（最小值）唯一； 3) 函数的最大值大于等于最小值； 4) 函数的最值可在端点取得. 总结 $$