5.3.2 导数与极值(第一课时）（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

1.导数判断函数单调性 2.已知函数单调性与导数 检验取等 是否成立 复习导入 3.判断函数y＝f (x)单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f ′(x)的零点； (3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 5.3.2函数的极值与最大（小）值 （第一课时） 1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值.（重点） 2.利用导数信息判断函数极值的情况.（难点） 学习目标 问题1:在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 探究新知 a t h o 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 将最高点附近放大 t<a t>a 当t=a时，运动员距水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？ 单调递增 h′(t)>0 单调递减 h′(t)<0 问题2：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应的，导数的正负有什么变化规律? 单调递增 h′(t)>0 单调递减 h′(t)<0 h′(a)＝0 2.跳水运动员在最高处附近的情况： t=a t<a t>a a t h o 最高点 导数的符号有什么变化规律？ 在t=a附近，h(t)先增后减，h ′(t)先正后负，h ′(t)连续变化，于是h(a)最大时，有h ′(a)=0． 对于一般函数是否也有同样的性质呢？ 以a，b为例 问题3：对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？观察下图，函数y=f(x)在=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ 一般地，设函数f(x)在a附近有定义,如果对a附近的所有的点,都有f(x)＞f(a),f(a)是函数y=f(x)的极小值，a是极小值点. 设函数f(x)在点b附近有定义，如果对b附近的所有的点，都有f(x)＜f(b)，f(b)是函数y=f(x)的极大值，b 是极大值点. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值。 函数的极大值和极小值的概念： 在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. 注意： (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． (3)若f (x)在[a，b]内有极值，那么f (x)在[a，b]内绝不是单调函数，即极值不单调，单调无极值． 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) 增 f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0 极大值 减 f(x) <0 f(x) =0 增 减 极小值 f(x) >0 请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 结论： ①极值点可以有多个，极大值与极小值之间没有必然的大小关系； ②一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 认真观察右图： ① c是极值点吗？ ②图中有哪些极值点和极值？ ③极大值一定比极小值大吗？ ④极大值一定是函数的最大值吗？ 微思考 1．函数的极值点是点吗？ 提示：函数的极值点不是点，它是函数极值对 应的自变量的值． 2．函数的极值唯一吗？ 提示：不一定，有的函数无极值，有的函数有唯一一个极值，有的函数有多个极值． 分析：x =0是否为函数f (x)=x3的极值点? f' (x)=3x2 ，当f' (x)=0时，x =0， 而x =0不是该函数的极值点. x y o f (x) = x3 问题4: 若 f '(x0)=0，则 x0是否为极值点？ 结论：f '(x0)=0是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. 微思考 当堂巩固 例 求函数f(x)=x3-12x+12的极值. 解： =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 =0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论： 当 >0即x>2,或x<-2时; 当 <0即-2<x<2时; x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + f(x) 单调递增↗ 28 单调递减↘ -4 单调递增↗ 当x变化时， , f(x)的变化情况如下表； 因此，当x=-2时，f(x)有极大值， 并且极大值为f(-2)=28 当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4 求导函数 求满足 的 判断 两侧单调性 若 两侧单调性不同，则 为极值 课时作业（二十） 课时作业（二十） 课时作业（二十） 归纳小结 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 =0.当 =0时. ①如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值. 即“峰顶” 即“谷底” 3．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点． 求极值点的一般步骤 (1)求出导数f′(x)； (2)解方程f′(x)＝0； (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值． ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点． ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点． ③若f′(x)在x0两侧的符号“相同”，则x0不是极值点. x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 (1＋ln 2) 单调递增 所以x＝是f(x)的极小值点， 故f(x)的极小值为f()＝(1＋ln 2)，没有极大值． $$