5.3.1 函数的单调性含参问题（第二课时）（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.1 函数的单调性（3） 1、判断函数y＝f (x)的单调性的一般步骤： 法一： 法二： (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即为f(x) 的单调递增（或递减）区间; 2、利用导数解决单调性问题需要注意的问题： 前提，容易忽视. 使 的实数 x. （1）定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. （2）如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开. 一、复习巩固: 题型　判断含有参数的函数的单调性 [例]　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性． [分析]　根据判断函数单调性的步骤进行，注意对参数的讨论． 解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R),把讨论对象逐级讨论，逐步解决 第一级讨论： 二次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0讨论； 第二级讨论： 方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论； 第三级讨论： 对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论. （一）含参数的一次不等式 讨论标准： 一次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论； （二）含参数的二次不等式 注：若能因式分解，则对应方程一定有根，可直接下一级 [解析]　(1)由已知得f′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立． 即a≤3x2对x∈R恒成立，∵3x2≥0，∴只需a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0. 即实数a的取值范围是{a|a≤0}． [答案]　A (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f ′(x)的零点； (3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． [解析]　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝. 设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a. 当a＝0时，f′(x)＝2x＞0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数； 当a＞0时，由g(x)＝0，得 x＝或x＝－(舍去)． 当x∈时，g(x)＜0，即f′(x)＜0； 当x∈时，g(x)＞0，即f′(x)＞0. ∴当a＞0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数． 综上，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)； 当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. ∴＝1，即a＝3， 即实数a的取值范围是. (3)由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， ∴即∴a≥3， 即实数a的取值范围是. ∴＝1，即a＝3， 即实数a的取值范围是. (3)由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， ∴即∴a≥3， 即实数a的取值范围是. [解析]　由f′(x)>0⇒函数f(x)为增函数，但函数f(x)为增函数 f′(x)>0，知“f′(x)>0”是“函数y＝f(x)为增函数”的充分不必要条件． $$