5.3.1 函数的单调性（第一课时）（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.1 函数的单调性（1-2） 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 y x o a b y x o a b 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是减函数； 若 f(x) 在D上是增函数或减函数， 增函数 减函数 则 f(x) 在D上具有严格的单调性。 D 称为单调区间 D = ( a , b ) 一、复习引入: 判断函数单调性有哪些方法？ 例如：判断函数 的单调性。 x y o 函数在 上为 函数， 在 上为 函数。 图象法 定义法 减 增 如图： 3).变 形 5).结论 4). 判断正负 2). 作 差 判断函数单调性的一般步骤 ： 1). 取 值 复习引入 回顾用定义法证明单调性的步骤？ 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 思考? 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图像. h t O h(t)=-4.9t2+4.8t+11 v t O v(t)=-9.8t+4.8 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ (1)从起跳到最高点, 运动员的重心处于上升状态, 离水面的高度h随时间t的增加而增加, 即h(t)是单调递增. 相应的v(t)=h′(t)>0 . 观察图像可以发现: 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ (1)从起跳到最高点, h(t)是单调递增, v(t)=h′(t)>0. 观察图像可以发现: (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. 思考? 我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 当t∈(a, b)时， h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)上单调递减. 对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0, a)时， h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t)在(0, a)上单调递增； 这种情况是否具有一般性呢？ 观察！观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 解析：图(1)中，f′(x)=1>0，函数f(x)在R上是增函数. 图(3)中，f′(x)=3x2≥0，函数f(x)是增函数. 图(2)中，f′(x)=2x，x<0时, f′(x)<0 ，函数f(x)在区间(-∞, 0)上是减函数； x>0时, f′(x)>0, 函数f(x)在(0, +∞)是增函数. x y O y = f(x) 如图，导数f′(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率. 可以发现： 在x=x0处, f′(x0)>0, 切线是“左下右上”的上升式, 函数f(x)的图象也是上升的, 函数f(x)在x=x0附近单调递增; 在x=x1处, f′(x1)<0, 切线是“左上右下”的下降式, 函数f(x)的图象也是下降的, 函数f(x)在x=x0附近单调递减. 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a, b)上，如果f′(x)>0，那么函数y= f(x)在区间(a, b)上单调递增； 在某个区间(a, b)上，如果f′(x)<0，那么函数y= f(x)在区间(a, b)上单调递减. 思考? 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性？ 如果在区间I上恒有f′(x)=0 , 那么对于I上任意一点(x0, f(x0)), 函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率为0, 从而函数y=f(x)在区间I上是常数函数, 即f(x) =C (C为常数). f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 f′(x)<0 函数单调性与导数的关系 课堂探究 这是一个充分不必要的结论 注意单项箭头 所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增， 如图所示. 解：(1)因为f(x)=x3+3x, 所以f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0. x y O f(x)=x3+3x 所以，函数f(x)=sinx-x在(0, π)上单调递减，如图所示. (2)因为f(x)=sinx-x, x∈(0, π), 所以f ′(x)=cosx-1<0. x y O f(x)=sinx−x 1 x y O 1 练习: (1)函数f(x)=x2−4ln x在定义域上的单调性是(　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 分析: 求f'(x), 分别解不等式f'(x)>0和f'(x)<0即可得单调递增区间和单调递减区间, 从而判断函数的单调性; (2)在下列区间中,函数y=xcos x-sin x单调递增的是(　) A. B. C.(π, 2π) D.(0, π) 解: ∵y'=cos x-xsin x-cos x= -xsin x. 对于C, 当x∈(π, 2π)时, sin x<0, y′>0, 函数单调递增, 故C符合题意; 对于D, 当x∈(0, π)时, sin x>0, y′<0, 函数单调递减, 故D不符合题意. 故选C. (2)函数f(x)=ln(x+1)+e-x的单调递增区间为(　) A.(-1,+∞) B.(0,+∞) C.(e,+∞) D. 令m(x)=ex−(x+1)(x>−1), 则m'(x)=ex−1, 由m'(x)=0, 得x=0, 当x∈(−1, 0)时, m'(x)<0; 当x∈(0,+∞)时, m'(x)>0. 所以m(x)在(−1, 0)上单调递减, 在(0, +∞)上单调递增, 所以m(x)≥m(0)=e0−1=0, 即f'(x)≥0, 所以f(x)在(−1,+∞)上是增函数, 即f(x)的单调递增区间为(−1,+∞). 故选A. 函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状 y=f(x) x y O a b c 例题解析 函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状 O a b x y y=f(x) x y O a b c c 例题解析 1．在导函数图象中，x轴上方的图象所对应的区间对应原函数的单调递增区间，即“正则增”；反之，若原函数单调递增，则导函数图象在x轴上方，即“增则正”．2．在导函数图象中，x轴下方的图象所对应的区间对应原函数的单调递减区间，即“负则减”；反之，若原函数单调递减，则导函数图象在x轴下方，即“减则负”． 由导函数的图象或信息画原函数的大致图象 (2)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) D 利用单调性比较大小 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，若a<c<d<b，则f(c)____f(d). 2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，若a<c<d<b，则f(c)____f(d). <　 > B [解析]　由题意知[f(x)g(x)]′>0，即f(x)g(x)的导数在R上大于0，从而f(x)g(x)在R上是增函数．因为a>b，所以f(a)g(a)>f(b)g(b). ABC 5.3.1 函数的单调性（2） 1.巩固对“函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系”的理解 2.利用导数研究函数的单调性． 学习目标 二、探究新知 [大本例1]　求函数f(x)＝x2e－x的单调区间． 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第一步，确定函数的定义域； 第二步，求出导数f′(x)的零点； 第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 二、探究新知 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第一步，确定函数的定义域； 第二步，求出导数f′(x)的零点； 第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即为f(x) 的单调递增（或递减）区间; 1、判断函数y＝f (x)的单调性的一般步骤： 法一： 法二： (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即为f(x) 的单调递增（或递减）区间; 2、利用导数解决单调性问题需要注意的问题： 前提，容易忽视. 使 的实数 x. （1）定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. （2）如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开. 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注意：分析图象的变化与导数的绝对值的大小关系 常见的对应情况如下表所示． 1．导数的几何意义：f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 方法提升 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的 倾斜角 f′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角 f′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢. 函数图象的变化与导数的关系 1．曲线y＝f(x)在点P0(x0，f(x0))处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，反映了曲线在点P0处的瞬时变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，曲线的变化就越快；切线的斜率的绝对值越小，曲线的变化就越慢，即曲线比较平缓．由曲线在点P0处附近的变化程度，可以判断曲线在点P0处切线的斜率的绝对值的大小． 3.若f′(x)是在区间(a，b)上的增函数，则f(x)的图象是向下凸的，如例题(1)中图A. 若f′(x)在(a，b)上是减函数，则f(x)的图象是向上凸的。如例题(1)中图B. 若f′(x)是在区间(a，b)上的常函数，则f(x)图象是一条线段，如例题(1)中图C. 方法提升 2.(1)如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) D (2)若函数y＝f′(x)图象如图所示，则y＝f(x)图象可能是(　　) C (2)用导数判断函数单调性的步骤； (3)应用导数判断函数图象； (1)函数的单调性与导数的正负的关系； 在某个区间(a, b) 内，如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增； 在某个区间(a, b)内，如果f′(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减； (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间; 课堂小结 练习:(1)函数f(x)= 的单调递减区间为(　) A.(-∞, 0) B.(0,+∞), (-1, 0) C.(-∞,-1)∪(-1, 0) D.(-∞,-1), (-1, 0) 由f'(x)<0得x<0且x≠-1, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1), (-1, 0) . 故选D. 　3.(多选)对任意x∈，不等式sin x·f(x)<cos x·f′(x)恒成立，下列说法正确的是(　 　) A．f＞f B．f>2cos 1·f(1) C.f＜cos 1·f(1) D．f＜f 解：易知函数的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 f(0)＝0 单调递增 f(2)＝ 单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2). x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 f(－1)＝ 单调递减 f(2)＝－ 单调递增 所以，f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1,2)上单调递减，如图所示． (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f ′(x)的零点； (3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． f(x) 图象 f′(x) 变化规律 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 f′(x)<0且越来越小 f′(x)<0且越来越大 函数值变化 规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 $$