5.2.3 简单复合函数的导数（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

5.2.3 简单复合函数的导数 1.基本初等函数的导数公式 一、回顾旧知 复习引入 导数四则运算 学习目标: 1.进一步运用导数公式和导数运算法则 求函数的导数．　 2.了解复合函数的概念， 掌握复合函数的求导法则． 新知探究         新知探究   课堂探究 课堂探究 是 不是 不是 是 不是 是 是 不是 课堂探究 课堂探究 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'. yx'=yu'·ux' × × × √ 例.求下列函数的导数: 例题解析 例3：y=sin2(2x+π/3) 法一: 法二: 注 熟练地掌握了复合函数的分解 及链式法则后， 可以不写出中间变量（符号），采用逐层求导的 方式计算复合函数的导数。 [解析]　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x. [答案]　(1－2x)e1－2x 跟踪训练: D 2.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处与直线y=x+1相切,求b，c的值. 3.如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,求切点坐标与切线方程. 5.已知函数f(x)是偶函数,f(x)可导, 求证:f′(x)为奇函数. 方法1:∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)＝f(x)． 对f(-x)＝f(x)两边取x的导数， 则f′(－x)·(－x)′＝f′(x),即f′(－x)＝－f′(x). ∴f′(x)为奇函数. 小结.复合函数的导数法则: 即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数 的乘积. 复合函数 的导数与函数 和 的导数间关系为： αxα－1 cos x －sin x axln a ex eq \f(1,xln a) eq \f(1,x) 0 判断下列函数哪些是复合函数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 1.求复合函数的导数的步骤： 2.求复合函数的导数的注意点： (1)内、外层函数通常为基本初等函数. (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点. 一、导数与数列的综合应用 [典例1]　设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求f′n(2)； (2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜. 解得b＝0，a＝1或b＝0，a＝－3. 4.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3,求a，b的值； (2)若函数的导函数f′(x)在区间(－1,1)内有零点,求实数a的取值范围． 解:(1) ∵f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b， ∴f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)， 又∵函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是－3， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，)) (2)函数的导函数f′(x)在区间(－1,1)内有零点，根据零点存在定理， 可得不等式：f′(－1)f′(1)<0， 即[3－2(1－a)－a(a＋2)][3＋2(1－a)－a(a＋2)]<0， 整理，得(a＋5)(a＋1)(a－1)2<0， ①当a＝1时上式不成立. ②当a≠1时(a－1)2>0， ∴不等式可转化为(a＋5)(a＋1)<0， 解得－5<a<－1. 综上所述,实数a的取值范围是(－5，－1). $$