4.3.3 等比数列的前n项和公式（第一课时）（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2 等比数列的前n项和公式 2.通项公式： 3.等比数列的主要性质： 1.等比数列的定义： 一、回顾旧知 ① 成等比数列 ②在等比数列 中若 则 印度国际象棋发明者的故事 （西 萨） 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. l 情景导入 情景导入 ? 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下赏小 人几粒麦就 搞定. OK 第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子 … 小故事 问题： 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是： 这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!! 问题：如何求出这个和？ ① ② 由②－①得：　　　　　　　　 =18446744073709551615 ≈1.84×1019(粒) 二、探究新知 错位相减法 假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨. 问题：已知等比数列 , 公比为q , 求： 思考： 等比数列的前n项和公式的推导： 二、探究新知 即 当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？ ① ② 此时等比数列为常数列： ， ， ， ， … . ①－②得： 二、探究新知 等比数列的前n项和公式的推导： 错位相减法 错位相减法步骤:乘公比，错位写，正位减 方法二： Sn = a1 + a2 + · · · + an = a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1 = a1 + q ( a1 + a1q + · · · + a1 qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an ) ∴ ( 1 – q ) Sn = a1 – q an 公式２： 公式１： 等比数列的前n项和公式 二、探究新知 公式中涉及 五个量 “知三求二” × × × 典型例题 D 等比数列 {an}前n项和 13 典型例题 大本例一（1） 在等比数列{an}中，若a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求S5； P28 P28 由①－②得：  由①× 得： P30 证明：当时， 所以成等比数列，公比为1 二、探究新知 19 当时， 所以， 例.已知等比数列的公比前项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列得公比. 二、探究新知 20 A 等比数列 {an}前n项和 21 典型例题 A 等比数列 {an}前n项和 22 典型例题 例.已知在等比数列中，，则________. 解：设等比数列的公比为，由于，则 解得 [法一]易知，，仍成等比数列， 则 即， 典型例题 思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ➱ ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ ➱ 知识小结： 思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)的函数特征吗？ ➱ ➱ 当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. 当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. 结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. P29 P29 24 [点拨]　显然奇数项组成等差数列且公差为4，偶数项组成等比数列且公比为9. 已知量 首项、末项、公比 首项、公比、项数 a1、 an 、q a1 、q、n 选用公式 课堂小结 小结： 36 例 证明： 当公比q不确定时，应当分q=1和q≠1两种情况讨论。 2°当a≠0且a≠1时， (1)当a = 0时，Sn=a+a2+a3+…+an = 0； (2)当a = 1时，Sn=a+a2+a3+…+an= n； 数列为首项为a,公比为q = a的等比数列，前n项和 ； 综上可知：应选D. 1.数列 a，a2，a3，…，an 的前n项和为（ ）． A、 B、0 C、n D、 或0或 n 分析：1°要考虑特殊情况a = 0或a = 1： 解法1: 设等比数列{an}的公比为q . 若q=1, 则S4=4a1, S2=2a1, 即S4=2S2, 与已知矛盾, 故 q ≠1 . 若q≠1， 由(1)得： =4, ∴ =8 ∴S6 = =8×[1- ( )3]=7. 由 得：1+q2 = ，∴ q2 = 1.记Sn为等比数列{an}的前n项和 .若S2=4, S4=6, 则S6= ( 　) (2021·全国) A.7 B.8 C.9 D.10 则 S2 , S4−S2 , S6−S4也成等比数列 ∴ (S4−S2)2 = S2 ·(S6−S4) ∴ (6−4)2 =4×(S6−6) , 解得 S6=7. 解法2:由等比数列前n项和的性质知： 1.记Sn为等比数列{an}的前n项和 .若S2=4, S4=6, 则S6= ( 　) (2021·全国) A.7 B.8 C.9 D.10 等比数列前n项和的性质 1°其前2n项中 ； (1)数列{ an} (q≠-1)，或q≠-1且n 不是偶数： 则 Sn , S2n-Sn, S3n-S2n, …仍构成等比数列； (2)等比数列{ an}，则 Sn+m = Sn+qnSm； (3)若S奇, S偶分别是等比数列{ an}的奇数项与偶数项的和，则： 2°其前2n+1项中, ; 等比数列{ an}，公比为q，数列前n项和Sn ： 设A＝－，则Sn＝Aqn－A. [典例2]　已知等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 等比数列的前n项和公式 1.推导等比数列前 n项和公式的方法：错位相减法. 3. 公式中五个量a1, q, an, n, Sn, (知三求二), 已知其中三个量，可以求其余两个. 2.公式的应用中的数学思想: 方程思想 ; $$