4.3.2 等比数列的性质（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

等比数列的性质及应用 复习巩固 1.等比数列 q≠0 2. 通项公式 an =a1qn-1 4.等比数列的判断 3. 等比中项 a，G，b成等比数列 =ab 或 G= =q 或=q (n2) q≠0 an=a1qn-1 ① 解：由题意，得 am=a1qm-1 ② ①的两边分别除以②的两边，得 探究1 等比数列通项公式的推广 题型一 等比数列通项公式的推广 解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求首项和公比，后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐. (2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被用到. 解惑提高 aq aq2 aq 探究2 三个数或四个数成等比数列的设法 解惑提高 当几个数成等比数列时设项方法与技巧 题型二 三个数或四个数成等比数列的设法 28 观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,…… 说出16是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律？ 观察项的角标满足什么关系？ 由此你能得到什么固定的结论吗？ 探究3 等比数列常用的性质 证明： 探究3 等比数列常用的性质 等比数列的性质 ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ap.aq=as.at 在等比数列{an}中，由 p+q=s+t 常数列 特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2 ②a1an a2 an-1 a3 an-2 …___ ai an+1-i = = = = ③推广：若m+n+t=p+r+s，则amanat=aparas 等比数列常用的性质 题型三 等比数列性质的应用 思考：已知{an}是一个无穷等比数列, (1) 将{an}中的前 k 项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗? 如果是,它的首项与公比分别是多少? (2) 取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少? (3) 在数列{an}中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 考点二：等比数列的性质 已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q (1)将{an}中的前 k 项去掉,剩余各项组成一个新数列, 这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少? 答: 考点二：等比数列的性质 已知{an}是一个无穷等比数列, 公比为q: (2) 取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗? 如果是,它的首项与公比分别是多少? 答: 考点二：等比数列的性质 已知{an}是一个无穷等比数列,公比为 q: (3) 在数列{an}中,每隔k项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗? 如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 结论: 考点二：等比数列的性质 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　 　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 巩固训练 D 例 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列{anbn}还是等比数列吗？试证明你的观点. 证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则 性质4：若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则数列{anbn}是等比数列. 考点二：等比数列的性质 大本例5 已知数列{ an }的首项a1=3. (1)若数列{ an }为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列； 证明：由已a1=3， d=2，得数列{ an }的通项公式为 an =2n+1 巩固训练 大本例5 已知数列{ an }的首项a1=3. (2)若数列{ an }为等比数列，公比q= ，证明数列{}为等差数列. 巩固训练 例.设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由. 巩固训练 √ 巩固训练 方法：待定系数法 ∴数列{an+λ}是以p为公比的等比数列 归纳总结： 反思感悟 反思感悟 巩固训练 巩固训练 考点三：等比数列的应用 所以an＝a1＋(n－1)d ＝2＋2(n－1) ＝2n. 从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)， 即k2－5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)， 因此k＝6. ＝n(1＋n)． 因为a1，ak，Sk＋2成等比数列， 等差、等比数列的综合应用 [例]　已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比． 等差、等比数列的综合应用 [例]　已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比． 课堂小结 1.等比数列的性质 (1) an =a1qn-1 (2) an =amqn-m (5)若m+n=p+q 则 am· an=ap· aq (6)若m+n=2p 则 am· an=ap2 2.等比数列的证明或判断 (1)定义法 (2)利用等比数列的性质判断 方法归纳 判定数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q是常数)或eq \f(an,an－1)＝q(q是常数，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 1．若三个数成等比数列，可设三个数为，a， 或a，aq， (q≠0)． 2．若四个数成等比数列，可设为，a， ，aq2或，，aq，aq3(q≠0)(第二种设法中，公比为q2)． 猜想：若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，则aman＝asat. 例3.在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋1＋3＝2an＋3＋3＝2(an＋3) 又∵an>0，∴an＋3>0 ∴eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 变式 设数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，其中a1＝1.求证：是等比数列． 证明：∵an＋1＝(n∈N*)， ∴＝＝＝＝2×， ∴是首项为＝＝2，公比为2的等比数列． 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，)) 解析：(1)设数列{an}的公差为d， 所以aeq \o\al(2,k)＝a1Sk＋2， ＝eq \f(n2＋2n,2) (2)由(1)可得Sn＝eq \f(na1＋an,2) 练习　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn, 若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值。 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，)) $$