4.3.1 等比数列的概念及通项公式（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念及 通项公式 思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同特征？ 1， 2， 4， 8，…. 实例1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是 实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为 探究1：等比数列的概念 数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____ 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____ 2 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一常数（等比） 1，2，4，8，…. 你能通过运算发现数列的取值规律吗？ 探究1：等比数列的概念 1. 等比数列的概念: 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示. (q≠0) 2.等比数列定义的符号语言: (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) (q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) [或 ] 等比数列的概念 思考： (1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ (2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ (3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ (4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？ 常数列是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致； q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。 等差数列的项和公差都可以为0；等比数列的项和公比都不可以为0. (1) 1，3，9，27，… (2) 5， 5， 5， 5，… (3) 1，-1，1，-1，… (4) 1，0，1，0，… 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由． 是 是 是 a1=1, q=3 a1=5, q=1 a1=1, q= -1 不是 (5) 0，0，0，0，… (6) 1 , a, a2, a3 , … (7) x0, x, x2, x3 , … 不是 a1=x0, q=x 是 不一定 题型一 等比数列的判定 1. 等比数列的概念: (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0； (1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列． (4)常数列 a, a , a , a , … 时,既是等差数列，又是等比数列; 时,只是等差数列，而不是等比数列. 或 注意事项: 解惑提高 题型一　等比数列的判定 [例1]　(1)判断下列数列是否为等比数列． ①1,3,32,33，…，3n－1，…； ②－1,1,2,4,8，…； ③a1，a2，a3，…，an，…. 题型一　等比数列的判定 [例1]　(1)判断下列数列是否为等比数列． ①1,3,32,33，…，3n－1，…； ②－1,1,2,4,8，…； ③a1，a2，a3，…，an，…. (2)已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列． 巩固训练 能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字 探究2：等比中项的概念 思考：如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G应该满足什么条件？ 反之，若 即a,G,b成等比数列. ∴a, G, b成等比数列 则  (ab>0) (ab>0) 探究2：等比中项的概念 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b组成一个等比数列，则中间的数G叫做a与b的等比中项，且 注意：(1)若实数a、b有等比中项，则a、b符号相同； (2)若实数a、b有等比中项，则该等比中项必有两个值 若G2=ab，则a，G，b一定成等比数列吗？   思考：类比等差数列中，n>1时，2an=an-1+an+1, 等比数列中，相邻三项有什么样的关系？ 等比中项的概念 题型二 等比中项及应用 (2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [答案]　B 应用等比中项解题的两个关注点 (1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示． (2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要关注项的符号关系， 如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同． 你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗? (n-1)个 式子 … … 方法一:累乘法 … … 方法二:归纳法 1 1 - = n n q a a 1 1 - = n n q a a 探究3：等比的通项公式 3.等比数列的通项公式 解惑提高 等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为 an=a1qn-1 (1)已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项. 重点点析： (2) 已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量. (3)等比数列的奇数项符号一定相同,偶数项符号也都相同.相邻两项的符号可以不同 题型三 等比数列的基本运算 1.a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出． 2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决. 探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪 类函数建立相似的关系？ 等比数列 的第 项 是指数函数 当 x=n 时的函数值，即 ． 等比数列的序号和项对应的点是指数函数图像上一系列孤立的点。 探究4：等比数列的单调性 探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？ 指数函数 ， 时，指数函数 单调递增； ，指数函数 单调递减． ①当 ，因为 ，则 单调性与 相同，即 ，等比数列 单调递增， ，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调递减． ②当 ，因为 ，则 单调性与 单调性相反，即 ，等比数列 单调递减 ， ，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调增． 探究4：等比数列的单调性 探究新知 类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与函数的有什么关系？   等差数列 等比数列 与 函 数 的 关 系 图像   an=a1qn-1   探究新知 类比等差数列单调性判断，等比数列的单调性如何？ an=a1qn-1     等差数列 等比数列 与 函 数 的 关 系 单调性   题型四 等比数列单调性 [点拨]　本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9. [解析]　因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9. 所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9. 因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同， 所以a1，a9同号， 所以a1a9＝9. [答案]　A 　A [素养提升]　在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同， 求等比数列的某一项或者某些项时要注意项的正负问题． 这也要求我们在解题时，不仅要关注眼前，更要整体考虑，并注意挖掘隐含条件． 课堂小结 等比数列 名称 等差数列 概念 常数 通项 公式1 中项 性质 an=am+(n-m)d 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 公差(d ) d 可正、可负、可零 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 公比(q ) q可正、可负、不可零 an=amqn-m 39 39         练习巩固 解:(1) 由题意知 (2) 又 1.定义 2.公比(差) 3.等比(差) 中项 4.通项公式 q≠0 d∈R 等比中项 等差中项 等差数列 等比数列 课时小结 [解析]　①记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，… ∵＝＝3(n≥2，n∈N*)， ∴数列为等比数列，且公比为3. ②记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． ③当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 判断一个数列{an}是等比数列的基本方法是定义法： 若数列{an}满足 ＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． [解析]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)． 当n≥2时＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [跟踪训练] 1．在等比数列{an}中． (1)若a1＝3，q＝－3，求an； (2)若a2＝，a6＝8，求q； (3)若a1＝，an＝，公比q＝，求项数n； (4)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an. 解析：(1)∵a1＝3，q＝－3，{an}为等比数列， ∴an＝a1·qn－1＝3·(－3)n－1＝－(－3)n. (2)法一：∵{an}为等比数列，设公比为q， ∴ 将得q4＝16， ∴q＝±2. 法二：∵{an}为等比数列，设公比为q， 又a6＝a2·q4，∴q4＝＝16， ∴q＝±2. (4)∵ 由得q＝或q＝2. 当q＝时，a1＝－16. 当q＝2时，a1＝1， ∴an＝－16·n－1＝－25－n或an＝2n－1. (3)∵{an}为等比数列， ∴an＝a1·qn－1，即＝·n－1， 得3＝n－1，∴n＝4. 方法归纳 判定数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q是常数)或eq \f(an,an－1)＝q(q是常数，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 二、忽略等比数列中项的符号致错 [典例2]　(1)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(　　) A．9　　　　B．－9 C．±9 D．18 设公比为q，则b2＝(－1)q2， ∴b2＜0，∴b2＝－2， ∴＝＝. (2)已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是(　　) A. B．－ C.或－ D. [解析]　由于－1，a1，a2，－4成等差数列， 设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1. ∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， ∴b＝(－1)×(－4)＝4， ∴b2＝±2. 方法归纳 判定数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q是常数)或eq \f(an,an－1)＝q(q是常数，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 1．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． [证明]因为b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， 所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. (2)证明：因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1， 所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列． 2.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值． (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． 解:　(1)因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3. $$