4.2.3 等差数列的前n项和公式（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.3 等差数列的前n项和公式 1．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ . 2．在等差数列{an}中，若m＋n＝2p，则am＋an＝ . 3．数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝ ＝ ＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ap＋aq 2ap a2＋an－1 a3＋an－2 知识回顾 1+2+3+4+…+97+98+99+100= 1+100=101 101×50=5050 2+ 99=101 3+ 97=101 …… 50+ 51=101 5050 高斯 Carl Friedrich Gauss 1777年-1855年，德国著名数学家 动脑思考 探索新知 探究1：等差数列的前n项和公式 在问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，它使不同数求和问题转化为相同数（即101）的求和，从而简化运算，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？ 思考:高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？ 你能从中得出求数列的前n项和的方法吗？ 不行，当n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了 你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？ 能否设法避免分类讨论？ 解：S100=1+2+3+ … +98+99+100 （1） S100=100+99+98+ … +3+ 2+1 （2） 2S100=(1+100) ×100， （1）+（2）得 问题1 求 S100=1+ 2+3+ … +98+99+100 动脑思考 探索新知 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即 Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an 再将项的次序反过来，Sn可以写成 Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1 两式两边分别相加，得 2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1) = n (a1＋an) 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式 又因为an=a1＋(n－1)d， 所以上述公式又可以写成 如果数列{an}为等差数列，那么 an＋ am = ap＋ aq （n，m，p，q∈N+） (a1＋an)=(a2＋an－1)=(a3＋an－2)=… 倒序相加法 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定． 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二． 如何根据公式的结构特征来记忆公式呢？ 等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积     （公式一） （公式二） 等差数列的前项和n公式 已知等差数列{an }中的a1 ，n，an，可用公式（1）计算 Sn ． 已知等差数列{an }中的 a1 ，n，d，可用公式（2）计算 Sn ． 11 用文字语言表述公式一。引出另一个公式，另一种证明方法？可知sn是n的二次函数（放在教例3及探究讲）。知三求一，解释知三求二，让学生推导。 1．已知数列{an}是等差数列且an＞0，设其前n项和为Sn.若a1＋a9＝a，则S9＝(　　) A．36　　　　　　　 B．27 C．18 D．9 题型一 C 知三求二 13 请两位同学上台做。可利用“上页”、“下页”回顾公式。 知三求二 知三求二 证明： 知识探究2: 等差数列前n项和公式的性质 证明： 知识探究2: 等差数列前n项和公式的性质 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________． [解析]　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. [答案]　210 题型二 B c 证明： 知识探究3: 等差数列的奇数项与偶数项和的性质 证明： 项数为奇数2n－1 1、一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝________. 题型三 2、已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________． 大本例三 2 3.已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28， ∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，① ∵S奇＝50，S偶＝34， ∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，② 由①②得d＝－4. －4 性质四:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则 知识探究4: 两个等差数列前n项和之比与其项之间的关系 证明： 题型四 题型四 $$