4.2.2 等差数列的性质（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的性质及其应用 学习目标： 1.理解等差数列的性质．(逻辑推理) 2．等差数列的实际应用．(数学建模) 3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(数学运算、逻辑推理) 1.等差数列的定义： 2. 通项公式： an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 3.等差中项： 这三个数满足关系式： A= 知识回顾 　 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． 4、如何判断一个数列为等差数列 思考：几何意义是什么？ 等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d 性质2 d= 性质3 an =am+(n-m)d 性质4 d= a1、d、n、an中 知三求一 推导公式:任意两项an和am之间的关系: 考点1：等差数列通项公式的变形及其推广 即：①可以由等差数列中任意一项及公差直接得到通项公式，不必求a1。 ②可以由等差数列的任意两项求公差。 等差数列中角标和的秘密 已知{an}是等差数列，用首项a1,公差d来表示下列各项 ①a1+a5 ②a2+a4 ③a3+a3 =2a1+4d =2a1+4d =2a1+4d 你有什么发现？ ①中两项角标和 等于②中两项角标和 等于③中两项角标和：1+5=2+4=3+3， 所以①=②=③ 大胆假设 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq 考点1：等差数列通项公式的变形及其推广 am=a1+(m-1)d ,an=a1+(n-1)d ap=a1+(p-1)d ,aq=a1+(q-1)d am+an=2a1+(m+n-2)d , ap+aq=2a1+(p+q-2)d 因为m+n=p+q所以am+an=ap+aq 结论：在等差数列中对任意四项， 当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq 思考： 当m+n+t=p+q+r时， am+an+at=ap+aq+ar 成立吗？ 同样成立 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq 特别地：若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap [注]等式两边作和的项数必须一样多！ 特例： 常数列 结论：在等差数列中对任意四项， 当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq 推论 等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d 性质2 d= 性质3 an =am+(n-m)d 性质4 d= 性质5 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 性质6 m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap 法二：由等差数列的性质可知： a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8， ∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74. 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 考点2：等差数列中对称设项法的应用 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差与项数分别是多少？ am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+1，公差为d，项数为n-m 考点3：等差数列的性质 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d， a1，a2，a3，……an （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？ a1，a3，a5，……是等差数列 首项为a1，公差为2d 取出的是所有偶数项呢？ a2，a4，a6，……是等差数列 首项为a2，公差为2d 思考： 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d， a1，a2，a3，……an a7，a14，a21，……是等差数列 首项为a7，公差为7d 取出的是所有k倍数的项呢？ ak，a2k，a3k，……是等差数列 首项为ak，公差为kd （3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？ 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d， a1，a2，a3，……an （4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差 数列吗？公差是多少？ a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是 等差数列吗？公差是多少？ a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列， 公差为3d。 已知两个等差数列的首项为a1，b1,公差为d1，d2 a1，a2，a3，……an ;b1,b2,b3.......bn 则数列an,bn相同项的公差为d1和d2 的最小公倍数，首项为第一个相同项。 例：an:1,2,3,4,5... bn:2,4,6,8,10... 请写出数列an,bn相同项的通项公式。 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 等差数列的性质 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为 的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为 的等差数列(p，q为常数) 2d pd＋qd′ B C C 35 考点4：等差数列的实际应用 例5：(1)《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为(　　) A．12.5尺 B．10.5尺 C．15.5尺 D．9.5尺 考点4：等差数列的实际应用 解：　设此等差数列{an}的公差为d， 则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝37.5，a1＋11d＝4.5，解得d＝－1，a1＝15.5. [答案]　C (2)已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为________． [答案]　9 1．解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项． (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式． (3)利用函数或不等式的有关方法解决． 2．解决等差数列实际应用问题的步骤 请您根据提供的信息说明，求： (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由． [点拨]　首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列，进行求解，得出结论． 解：　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. [素养提升]　利用等差数列模型求解，体现了等差数列的函数特性．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数据依次呈直线上升或下降，则可考虑用等差数列来解决．一定要分清首项、项数等关键问题． 小结 1.子数列的性质：从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。 2.等差数列通项公式的变形：an=am+（n-m)d (1)特别地，当m＋n＝2p(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ap. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 其他条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ 解： (1)法一：根据等差数列性质 a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 由a2＋a6＋a10＝1， 得3a6＝1，解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝. 法二：设数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. md λd d＋d′ pd＋qd′ 探究　已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整． ①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为 ； ②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 的等差数列； ③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为 的等差数列； ④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为 ； ⑤数列{pan＋qbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 . 2d 解：依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3＞0，a7＞0， 所以a3a7≤2＝(a5)2＝9. 当且仅当a3＝a7＝3时等号成立． 一、等差数列实际应用中的函数思想 [典例1]　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． $$