4.2.1 等差数列的概念及通项公式（课件）-2024-2025学年高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2　等差数列 4.2.1.1　等差数列的概念和通项公式 1.数列的定义： 按确定的顺序排列的一列数叫做数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项. 2.数列的通项公式： 如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 3.数列的递推公式： 复习回顾 1.理解等差数列的概念； 2.探索并掌握等差数列的通项公式； 3.掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法. 学习目标 5, 3, 1, -1,-3...... 1，1，1，1，1，1...... 思考:观察下面的三个数列 ① ② ③ 这些数列有什么共同特点呢? 0, 5, 10, 15, 20...... 从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数. 考点1、等差数列的概念 1.等差数列的定义: 公差常用字母d表示. 一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列; ②这个常数叫做等差数列的 , 公差 2.等差数列定义的符号语言: （ 其中d∈R） 3.等差数列的再理解: 如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d， 注意:①等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差,不能颠倒. ②作差的结果要求是同一个常数. 可以是整数，也可以是０和负数. 已知数列{an}是等差数列，d是公差，则： 当d=0时， {an}为常数列； 当d>0时， {an}为递增数列； 当d<0时， {an}为递减数列； 是 不是 (1)1，3，5，7，… (2)9，6，3，0，-3… (3)-8x，-6x，-4x，-2x，0x，… (4)3，3，3，3，… (5)15，12，10，8，6，… 是 是 是 a1=1,d=2 a1=9,d=-3 a1=-8x,d=2x a1=3,d=0 例:判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由. 跟踪训练:判断题: (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列;( ) (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，… 是等差数列; ( ) (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3 的等差数列; ( ) (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列. (1)解：是等差数列 证明：由已知得an+1-an=[4(n+1)-3]-(4n-3)=4（常数） 所以数列{an}是等差数列 等差数列的判定方法： 1.判断下列数列是否是等差数列 (1)an=4n-3; (2)an=n2+n (2)解：不是等差数列 证明：由已知得an+1-an=[(n+1)2+(n+1)]-(n2+n)=2n+2（变量） 所以数列{an}不是等差数列 数列{an}是等差数列 拓展延伸 an+1-an=d（常数） 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ，（ ） ， 4 （2）-12，（ ） ，0 3 -6 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。 2. 等差中项 由等差数列的定义可知 考点2、等差中项 知识探究2: 巩固新知2 容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项； 反之,如果一个数列从第2项起,每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列. （广东高考）、已知三角形△ABC的三个角 A、B、C成等差数列，且b=1,求三角形△ABC 的外接圆面积 。 考点3、等差数列的通项公式 a2-a1=d …… an-an-1=d (1)式+(2)式+…+(n-1)式得： a3-a2=d a4-a3=d an-a1=(n-1)d， （1） （2） （3） （n-1） an=a1+(n-1)d ∴ an=a1+(n-1)d 又∵当n=1时，上式也成立 即 等差数列的通项公式 迭代法 等差数列的通项公式 公式运用: 1.已知等差数列的首项a1是3,公差d是2， 求它的通项公式. 2.求等差数列8，5，2，…，的第20项. 等差数列 思考: an=a1 +(n-1)d am=a1 +(m-1)d an-am =(n-m) d d=an-am /(n-m) am=? an-am =? an =am+(n-m) d a1、d、n、an中 知三求一 通项公式 推导公式:任意两项an和am之间的关系: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1.在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. 题型训练 [例3]　(1)等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为 (　　) A．an＝2n－5 B．an＝2n－3 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 [分析]　结合等差中项的定义求解． [解析]　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项， ∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0. ∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3， ∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3. [答案]　B (2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [分析]　根据已知条件可设出这三个数，结合等差中项，建立方程组求解，关键注意设法． 3.等差数列通项公式与一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线 (d≠0)上． (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 . (3)当d>0，数列{an}是 ；当d<0，数列{an}是 ．当d＝0时，数列{an}是常数列． y＝dx＋(a1－d) d 递增数列 递减数列 n o an n o an 直线上均匀排开的一群孤立的点 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 [素养提升]　等差数列的判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 特别地，在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． [答案]　D 等差数列 an=a1+(n-1)d 直线上均匀排开的一群孤立的点 1定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 公差:d=an-an-1 (n≥2，n∈N*) 2通项公式: 推导公式: an=am+(n－m)d 4图象: 四、课堂小结 3等差中项：a,A,b成等差数列 2A=a+b 课堂训练： 1.-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？ 2.已知递增等差数列{an}的前三项和为15， 前三项的积为105，求此数列的通项公式。 3.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 4.已知数列{an}是递增的等差数列，a3,a5是 方程x2-10x+21=0的两个根，求此数列的通项 公式. 思考.（2020高三一模） 已知f(x)是定义在R上的偶函数, 令F(x)=(x-b)f(x-b)+2017, 若b是a、c的等差中项，则F(a)+F(c)= 2021年11月高三衡水大联考 （2021高考） 今有金锤，长五尺。斩本一尺，重四斤。斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？(选自«九章算术») 【译文】今有一锥状金鞭，全长5尺，截根部1尺，重4斤，截顶部1尺，重2斤。由末到本一尺一尺截取，依次各重多少？ 解：由题可知，由末到本，每尺的重量成等差数列。 设首项a1=2，末项a5=4,项数n=5，设公差为d a5=a1+(5-1)d 得d=0.5 通项公式an=0.5n+1.5(n=1,2,3,4,5) 所以a2=2.5,a3=3,a4=3.5 知识点二　等差中项 1．如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．它们之间的关系式是 . 2．数列{an}为等差数列⇔an＝(n≥2)． [典例1]　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 二、对数列中的隐含条件挖掘不透致错 [典例2]　已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　) A．d>　　　　　　 B．d< C.<d< D.<d≤ 解：由题可得a1＝，且 根据等差数列的通项公式可得 从而解得<d≤. 解：法一：设这三个数为a，b，c，且a<b<c， 则由题意得 解得a＝4，b＝6，c＝8. ∴这三个数是4,6,8. $$