第12讲 直线与圆的关系-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

直线和圆的关系 教学目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，并会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 教学重点：探索并理解直线与圆的三种位置关系 教学难点：直线与圆的三种位置关系性质和判定的正确运用 考点一：直线与圆的位置关系 相关知识点内容 1.直线和圆的位置关系： （1）相交：直线和圆有_______公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆______，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆_______。 （4）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： 直线l与⊙O相交 ＜====＞ ________； 直线l与⊙O_____＜====＞ d=r； 直线l与⊙O相离 ＜====＞ ________； 例1、（2011成都）已知⊙O的面积为9π，若点0到直线的距离为π，则直线与⊙O的位置关系是（ ） A．相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 变式练习： 1、在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）． （1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系； （2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系． 2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以D为圆心的圆，与线段AB有公共点，则圆的半径r的取值范围是　 　． 3、在平面直角坐标系中，以点A（﹣2，3）为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为　 　． 4．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线L的距离OP为7cm，如图所示． （1）怎样平移直线L，才能使L与⊙O相切？ （2）要使直线L与⊙O相交，应把直线L向上平移多少cm？ 考点二：切线的性质 相关知识点内容： 切线的基本性质：圆的切线________过切点的半径． 例2、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线与点E，则∠E等于（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D.70° 变式练习： 1．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为 。 2、如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2014年绵阳）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（　　） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 例3．如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径． 变式练习： 1．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D。 （1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径。 2、如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC，求证：（1）△ABC∽△POM； （2）2OA2=OP•BC 3、（2014年北京） 如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．（1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长． 4、(2018·柳州)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D。 (1)求证：△DAC∽△DBA；(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝AD； (3)若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长． 考点三：切线的判定 相关知识点内容 圆的切线的判定方法： （1）定义：和圆只有一个公共点的直线式圆的切线； （2）数量关系：到圆心得距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过直径的端点，并且垂直于这条直径的直线式圆的切线。 说明： （1）判定切线的三种方法中，常用的是后两种方法，用后两种方法判定切线时，往往需要添加辅助线。 （2）添加辅助线的规律：①如果已知直线经过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可（判定定理）。简记为：连半径，证垂直。②如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度等于半径即可（数量关系）。简记为：作垂直，证半径。 例4．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°. （1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？ （2）连接CD，若CD=5，求AB的长. 变式练习： 1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径． 2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB 于点F，FB恰为⊙O的直径． （1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，时，求⊙O的半径． 3．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 （1）求证：直线AC是圆O的切线； （2）如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。 4、 如图，AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点． （1）若⊙O的半径为5，AB=8，求tan∠BAC； （2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 5、如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点． （1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，sinF=时，求BD的长． 考点四：切线的性质与判定 相关知识点内容 补充：与圆有关的辅助线 （1）如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线； （2）如圆中有直径的条件，可作出直径上的圆周角； （3）如一个圆有切线的条件，连结圆心和切点是最常用的辅助线。 例5． 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1） 求证：直线PB与⊙O相切； （2） PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长． 变式练习：1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若，求大圆与小圆围成的圆环的 面积．（结果保留π） 2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 3．如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB； （3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径． 4．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 6、如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。 （1）求证：BF=EF； （2）求证：PA是⊙O的切线； （3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3，求BD和FG的长度 7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O 的切线，交AB的延长线于点P，联结PD． （1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明； （2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=，求EG的长． 8、如图，⊙的半径，四边形内接圆⊙，于点，为延长线上的一点，且. （1）试判断与⊙的位置关系，并说明理由： （2）若，，求的长； 课后作业 1．（无锡）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 2．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　 　． 3、如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？ （2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？ 4.如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=4cm，AB=4cm，若以O为圆心，�再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？ 5.（2014年绵阳）如图，已知△ ABC内接于⊙ O，AB是⊙O的直径，点F在⊙ O上，且满足＝，过点C作⊙ O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点． （1）求证：AE⊥ DE； （2）若tan∠CBA＝，AE＝3，求AF的长． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径是cm，ED=2cm，求AB的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$