第11讲 确定圆的条件-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

确定圆的条件 教学目标：通过本节学习，能够灵活掌握本节知识。 教学重点：确定圆的条件 教学难点：圆的外接圆相关题型 考点一、点与圆的位置关系 当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；  当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；  当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．  例1：在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 变式练习（1）已知圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是（　　） A．点P在圆O外 B．点P在圆O内 C．点P在圆O上 D．无法确定 （2）平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（　　） A．2 B．4 C．2 或4 D．8 例2．如图，已知△ABC中，AB=2，BC=3，∠B=90°，以点B为圆心作半径为r的⊙B，要使点A、C在⊙B外，则r的取值范围是（　　） A．0＜r＜2 B．0＜r＜3 C．2＜r＜3 D．r＞3 变式练习2．已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（　　） A．r＞6 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．6＜r＜8或8＜r＜10 例3．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 变式练习3（1）．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（　　） A．1.4 B． C． D．2.6 （2）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 例4．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标； （2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线． 变式练习4．已知AB是⊙O的直径，AB=2，点C，点D在⊙O上，CD=1，直线AD，BC交于点E． （Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数． （Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数． 考点二、确定圆的条件：①_______，②_______。______确定圆的位置，_______确定圆的大小。 （1）过已知一点可作______个圆；因为圆心、半径都不确定。 （2）过已知两点也可作______个圆；圆心在两点线段的中垂线上。 （3）过不在同一直线上的_______，可以确定一个圆，圆心是三点中任意两点连线段的___________的交点，半径为圆心到三点中任意一点的距离。 可简称为：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 例5．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 变式练习5（1）．给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　） A．三点确定一个圆 B．同圆中直径是最长的弦 C．圆周角是圆心角的一半 D．长度相等的弧是等弧 （2）．下列说法中正确的是（　　） A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 （3）．下列说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 例6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）点M的坐标为　 　； （3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系． 变式练习6（1）．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1） （1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标　 　；⊙P的半径为　 　（结果保留根号）； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系　 　． 变式练习（2）．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 变式练习（3）．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段　 　． （2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． （3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长． 考点三、三角形外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。 锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。 例7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（　　） A．10 B．5 C．4 D．3 变式练习．如图，已知⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为（　　） A．3 B． C． D．4 例8．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　） A．2+2 B．2﹣2 C．6 D．+2 变式练习8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=BC，点E，F分别是边AC，BC的中点，点P是线段EF上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP的周长的最小值为（　　） A．5 B．5+5 C．10 D．15 例9、如图，△ABC为⊙O的内接三角形．点D为劣弧上一点，连接AD、CD、CO、BO，延长CO交AB于点F，CD=BC． （1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO； （2）点E在OC上，连接EB，若∠DAB=∠OBA+∠EBA，求证：EF=EB． 变式练习9（1）．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小． （2）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D． （1）求PE的长； （2）求△BOP的面积． 　 作业 1．下列语句中，正确的是（　　） A．同一平面上三点确定一个圆 B．能够重合的弧是等弧 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OE⊥AB，垂足为点F，连结弦AE，已知OE=1，则下面的结论：①AE2+BC2=4 ②sin∠ACB=③cos∠B=，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．② 3．如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）， 写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（　 　，　 　） 4．如图，∠BAC的平分线交AABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE=DB： （2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径； （3）若BD=6，DF=4，求AD的长 5．如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC、OC交于E、F两点，点C为弧AD的中点， （1）求证：OF∥BD； （2）若，且⊙O的半径R=4，求中阴影部分（弓形）的面积． 6．如图，△ABD内接于⊙O，点E是BD上一点，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，DF；过点B作AD的平行线BC交AF于点C，连接DC并延长交⊙O于点G． （1）若AE=EC，求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AE=1，EC=2，BE=3，=，求GD的长． ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$