第10讲 圆心角与圆周角及关系-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

圆心角与圆周角及关系 教学目标：1、理解圆周角与圆心角的的概念 2、理解圆周角定理的证明 3、掌握圆周角定理与圆心角定理的运用 教学重点： 1、圆周角概念及圆周角定理、圆心角定理；2、圆周角与圆心角定理的灵活运用； 教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性 相关知识点内容 1.圆心角的度数和它所对的______的度数相等. 2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的 的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 3.圆周角定理的推论： 推论1：_____或_____所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的______所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：_____所对的圆周角是直角；圆周角是_____所对的弧是半圆，所对的弦是______。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 例题解析 例1．如图，在⊙O中，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ） A、40° B、30° C、45° D、50° 变式练习： 1．（四川成都）如图，在中，为⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是_____________度． 2．（四川内江）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径0C为2，则弦BC的长为（ ） A、1 B、 C、2 D、 3．如图所示，AB是⊙O一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上。（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长。 4、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线角于点F，求证：∠FGC=∠AGD． 5.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 例2. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为________。 变式练习： 1．（四川成都）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD＝（ ） (A)116° (B)32° (C)58° （D)64° 2．（湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ） A．45° B．85° C．90° D．95° 3．（衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（ ） A．m B. C. D. 4、（台湾）如图，有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点．若∠B＝74°，∠C＝46°，则的度数为何？( ) A．23 B．28 C．30 D．37 5、如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是　 　． 例3. 如图：中，，，，的平分线交过的顶点的圆于点。求弦的长。 变式练习: 1、已知⊙的半径为，是弦，是直线上一点，，，则的值为（ ） A、 B、 C、或 D、或 2、（黄冈）如图：MN为⊙的直径，MN=2，点A在⊙上，∠AMN=30°，B为 的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ） 、 、 、 、 3、已知，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，过点C作一弦CF交在⊙O于F，交AB于E，求证：CB2=CF·CE。 4、已知：如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙上，BE是⊙的直径，CD是△ABC的高。 （1）求证：AC·BC=BE·CD； （2）已知：CD=6，AD=3，BD=8，求⊙的直径BE的长； 例4、（金华）如图，AB是⊙O直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为 CE的长是 ． 变式练习：1．（福州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上， ∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sinP=，求⊙O的直径。 2.（肇庆）己知：如图10．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。 （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值。 3、已知：C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F； （1）求证：AD=CD； （2）若DF=，tan∠ECB= ，求PB的长； 例5．如图，AD是△ABC上的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：AB·AC=AE·AD。 变式练习 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧 AĈ的中点，BD交AC于点E，（1）求证：AD2 =DE•DB；（2）若BC=52，CD=20，求DE的长． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF． 3、如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E三点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 ． 【课堂练习】 1．如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，D是上任一点(不与A、C重合)，则∠ADC的度数是________。 2．（成都市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ） （A）40° （B）50° （C）80° （D）100° 3.（巴中）如图，已知⊙ O是△ABD的外接圆，AB是⊙ O的直径，CD是⊙O的弦， ∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ） A．116° B．32° C．58° D．64° 4、（内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ） A．cm B．cm C．cm D．4cm 5、（菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 ． 6、（山东泰安）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为 ． 7、如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于M，OE⊥CD于E，求证： 8．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离． 9．如图，△ABC是等边三角形，⊙ O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G． （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）若BA=4，CG=2，求BF的长． 【课后作业】 1.已知如图，∠BAC的补角∠BAD=100°，则∠BOC=_______度. 2．（雅安）如图，AB是⊙ O的直径，C、D是⊙ O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙ O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（　　） A． B． C． D． 3. （德阳）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=（ ） A.45° B. 60° C.90° D. 30° 4．（湘潭）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 。 5．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=75°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　　． 6．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=． （1）求EM的长； （2）求sin∠EOB的值． 7．(天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长． 8．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$