第9讲 垂径定理-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

垂径定理 教学目标：:在学习了反比例函数的图象和性质的基础上,结合图象及反比例函数解析式掌握”k”的几何意义;并运用”k”的特殊意义求相关面积或求出反比例函数的解析式。 教学重点：掌握”k”的几何意义;并运用”k”的特殊意义求相关面积或求出反比例函数的解析式. 教学难点：灵活运用”k”的几何意义解答题. 相关知识点内容 1.垂径定理：垂直于弦的直径__________且__________所对的弧。 如图，垂径定理的题设和结论可以用符号语言表示为 2.推论1：（1）_________________的直径_____于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的___________； （3）平分弦所对的一条弧的直径，___________弦，并且_____________。 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 例1：1．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则⊙O的半径为（　　） A．8.5 B．7.5 C．9.5 D．8 变式练习1： 1．如图，AB是圆O的直径，弦,E为垂足，若AB=9，BE=2，则CD=_____________。 2．如图，⊙O的半径是5，弦AB=6，OE⊥AB于E，则OE的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（ ） A. B.2 C. D. 例2．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（　　） A．6 B． C．8 D． 变式练习2.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则＝（ ） M N E O D C B A A、28 B、26 C、18 D、35 M N E O D C B A 例3．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米． 变式练习3： 1.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是多少？ 例4.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　） A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸 变式练习4.如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？ 例5. 如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长． 变式练习5： 1．（2011山东威海）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED= . 2．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．8 3．如图，⊙O的半径OA=4，弦BC经过OA的中点D，∠ADC=30°，则弦BC的长为（　　） A．7 B．2 C．4 D．2 例6. 如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　） A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7 变式练习6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm 例7．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长． 变式练习7.如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°． （1）求出圆洞门⊙O的半径； （2）求立柱CE的长度． 例8．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB=8cm，CD=2cm （1）求⊙O的面积； （2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长． 变式练习8.如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8． （1）求证：AC=BD； （2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形． 例9.如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长． 变式练习9.如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC=BD，求证：OC=OD． 例10．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，P是上任意一点，AH=2， CH=4． （1）求⊙O的半径r的长度； （2）求sin∠CPD． 变式练习10.如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA=6． 求：（1）⊙O的半径； （2）求弦CD的长． 　 课后作业: 一、选择题． 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）． A．CE=DE B．弧BC=弧BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD (1) (2) (3) 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．弧AD=弧BD D．PO=PD 二、填空题 1．如图4，AB为⊙O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____． (4) (5) （6） 2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______． 3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） 4、如图6所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为___________ 三、综合提高题 1．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由． 2．如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用多少次就可以找到圆形工件的圆心． 3．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数． 4、已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长． 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$