第8讲 圆的认识及对称性-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

圆的认识及对称性 教学目标：了解圆的相关概念，记法等 教学重点：圆及圆的相关概念，圆的对称性 教学难点：圆的对称性的理解 专题一：圆及圆的相关概念 相关知识点内容 1．（1）圆的定义：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆。其中定点称为______，定长称为_____。 （2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆记作“_____”，读作“_____”。 2.与圆有关的概念 （1）弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做_____，其中经过圆心的弦叫做_____，______是圆中最长的弦。 （2）弧和半圆：圆上任意两点间的部分叫做____，用符号“⌒”表示，以AB为端点的弧记作_____，读作“____”，弧分为劣弧、半圆、优弧，小于半圆的叫做劣弧，大于半圆的叫做优弧，优弧在表示的时候必须用三个大写字母表示。 （3）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧称为______。 例1.（弦弧的认识）如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧． 变式练习1.如图，在⊙O中，半径有　 　，直径有　 　，弦有　 　，劣弧有　 　，优弧有　 　． 例2下列说法，正确的是（　　） A．半径相等的两个圆大小相等 B．长度相等的两条弧是等弧 C．直径不一定是圆中最长的弦 D．圆上两点之间的部分叫做弦 变式练习2（1）下列说法中正确的有（　　） ①弧可分为优弧和劣弧； ②长度相等的两条弧是等弧； ③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ④直径是弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 （2）．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是（　　） A．M、N两点到圆心O的距离相等 B．MN是圆的一条对称轴 C．在圆中可画无数条与MN相等的弦 D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧 例3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 变式练习3.（1）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． （1）求∠AOB的度数． （2）求∠EOD的度数． （2）．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠C=40°，求∠E及∠AOC的度数． （3）如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长． 例4.．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中非直径的弦，你能判定AB与CD的大小关系吗？ 变式练习4．如图，点P为⊙O外一点，PO及延长线分别交⊙O于A、B，过点P作一直线交⊙O于M、N（异于A、B）．求证： （1）AB＞MN； （2）PB＞PN； （3）PA＜PM． 专题二：点与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： ①________ d>r ； ②点在圆上 _____； ③点在圆内 _____。 例5.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为　 　． 变式练习5.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　） A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜ 例6.在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为　 　cm． 变式练习6（1）平面上有⊙O及一点A，点A到⊙O上一点的距离最长为10cm，最短为4cm，则⊙O的半径为　 　． （2）⊙O的半径为5cm，平面上有一点P，PO=3cm，则点P到⊙O上各点的最小距离为　 　． 专题三：圆的对称性 1. 圆的轴对称：圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线都是它的对称轴 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心 3. 圆心角、弧、弦之间相等关系的定理： 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①；②； ③；④弧BA 弧BD 例7.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA，求证：． 变式练习7（1）．如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，AP是⊙O的弦，且AP∥CD，求证：=． （2）.如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE． （1）求证：=； （2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长． （3）如图，弦AB=CD，AB与CD相交于点E，求证：=； （4）.如图所示，AB是⊙O的弦（不是直径），C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC，CD，分别交⊙O与点E、F，证明：=． 题型二 证明弦相等 例8.如图，已知A，B，C，D是⊙O上四点，若AC=BD，求证：AB=CD． 变式练习8（1）.已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC． （2）.如图，AB、CD为⊙O的直径，=，求证：BD=CE． （3）.如图，已知AB和CD是⊙0的两条弦，，求证：AB=CD． （4）.如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，求证：AC=BD． 例9.如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD． 变式练习9（1）如图，⊙O中有内接五边形ABCDE，且AB=BC=CD=DE=AE．求∠AOB的度数； （2）受（1）的启发，你能将一个圆四等分，六等分吗？ （2）.如图，在⊙O中，OA是半径，AB，AC是弦，且=，求证：点O在∠BAC的平分线上． （3）.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且，判断AC与0D有什么样的位置关系，并说明理由． 课后作业 1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（　　） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 2．下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 3．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 4.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由 5.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________. 6.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为( ) A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不确定 7．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．求证：∠1=∠2． 8．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，=，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD． 9．如图，在⊙O中，AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数． 10．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$