第4讲 二次函数的图象及性质二-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

二次函数的图象及性质2 教学目标：掌握二次函数系数a、b、c对图象的影响；二次函数中的最值问题及同一直角坐标系下直线、反比例函数、二次函数的大致图象 教学重点：二次函数系数a、b、c对图象的影响；根据二次函数的最值情况求参数的取值或取值范围 教学难点：二次函数系数a、b、c对图象的影响；根据二次函数的最值情况求参数的取值或取值范围 考点一：利用二次函数性质比较函数值大小 知识点再现及解析 （1）首先将二次函数的一般式化成顶点式，再用二次函数的增减性进行比较。 对于：在对称轴的左侧，y随着x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随着x的增大而 ； 对于：在对称轴的 ，y随着x的增大而增大；在对称轴的 ，y随着x的增大而减小。 （2）若给定的x值不在对称轴的一侧，则根据二次函数的对称性进行转化。 例1：若A(－2, ）, B（－1, ）, C（,）为二次函数图像上的三点,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 变式练习1： 1、 若A（），B（），C（）为二次函数的图象上 的三点则的大小关系是( )　 A. B. C.　 D. 2、若A（-4，），B（-1，）,C（2，）为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C.　 D. 3、若一个二次函数的图象经过五个点A（-1，n），B（3，n），C（m+1，），D（1-m，）和E（1，），则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 考点二：判断同一坐标系中二次函数与直线、双曲线的大致图像 知识点再现及解析 （1）一次函数的的值对一次函数图象的影响。 过 象限；过 象限； 过 象限；过 象限。 （2） 反比例函数（为常数，）中则过 象限；则过 象限。 例2：已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 变式练习2： 1、如图，一次函数与二次函数的图象相交于P，Q两点，则函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 2、二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则一次函数在直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 例3：如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B．C． D． 变式练习3： 1、在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点三：二次函数的图像与系数 的关系 知识点再现及解析 ，通常情况下可以通过图象的识别，判别出的符号。 ①的符号：由二次函数的开口方向决定；,开口 ； ,开口 ； 的绝对值决定二次函数开口大小，越 ，二次函数开口越小． ②的符号：根据的符号和对称轴在轴左右两侧的位置确定。确定法则： ，但时，对称轴是 。 ③的符号：由二次函数与轴交点的位置决定. 当二次函数与轴的交点在正半轴时： ；与轴的交点在负半轴时 ；当二次函数经过原点时： ； ④的符号：由对称轴＞1（或＜1）可确定的正负（或取值）； 由对称轴＞或＜）可确定的正负（或取值）。 ⑤的符号：由二次函数与点的位置关系确定。引申：， ⑥的符号：由二次函数 与轴是否有交点确定。>0，二次函数与x轴有 交点； =0，二次函数与x轴有 交点； 0，二次函数与x轴无交点． 例4：已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习4： 1、如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当x＜0时，y＜0；④方程有两个大于﹣1的实数根．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 例5：已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习5： 1、如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 2、已知二次函数图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④点（﹣3，），（1，）都在抛物线上，则有．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3、已知二次函数的图象如图所示， 有下列5个结论：①；② ；③ ；④ ； ⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4、二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 考点四：根据二次函数的增减性求参数的取值或取值范围 知识点再现及解析 对于：在对称轴的左侧，y随着x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随着x的增大而 ； 对于：在对称轴的 ，y随着x的增大而增大；在对称轴的 ，y随着x的增大而减小。 例6：二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 . 变式练习6： 1、如图，已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 . 2、已知二次函数，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围是 . 考点五：根据增减性求二次函数的最值或根据最值求参数的取值或取值范围 知识点再现及解析 对于：在对称轴的左侧，y随着x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随着x的增大而 ； 对于：在对称轴的 ，y随着x的增大而增大；在对称轴的 ，y随着x的增大而减小。 例7：关于二次函数的最大值，下列说法正确的是（　　） A．最大值是3 B．最大值是﹣3 C．最大值是5 D．最大值是﹣5 变式练习7： 1、二次函数的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 例8：已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 变式练习8： 1、已知二次函数，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　） A．或 B．或C．或 D．或 2、已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 3、已知是关于x的二次函数，当x的取值范围是时，y仅在时取得最大值，则实数a的取值范围是 . 例9：当时，函数的最小值为1，则a的值为（　　） A． ﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2 变式练习9： 1、已知关于x的二次函数，当时，函数有最大值1，则a的值为（　　） A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 2、已知二次函数在时有最小值t，则t的值是（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 例10：以x为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是 . 变式练习10： 1、抛物线过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足，则实数m的取值范围是 . 2、在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点，例如点（1，1），（2，2），（，），…都是等值点，已知二次函数的图象上有且只有一个等值点，且时，函数的最小值为﹣9，最大值为﹣1，则m的取值范围是　 　． 课后作业 1、当时，与的图象大致是（　　） A． B. C． D． 2、已知函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3、已知二次函数的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4、如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①，②，③，④，⑤当时，y＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5、如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论： ①；②；③；④； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（　　） A．20 B．1508 C．1550 D．1558 7、 已知关于x的二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若，则a的取值范围是　 　． 8、 已知二次函数，当自变量x的取值在的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是　 　． 9、已知函数，当时，对应的函数值y的取值范围是 . 15 学科网（北京）股份有限公司 $$