第3讲 二次函数概念及图像性质一-2024-2025学年九年级数学下册（北师大版）

二次函数的概念及图像与性质（一） 教学目标：1.理解二次函数的有关概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系； 2、会画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质，能比较各种图象的异同，会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题。 教学重点：理解掌握二次函数的相关性质，在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性等理解和掌握。 教学难点：根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置 专题一：二次函数的概念 （一）二次函数的概念：形如的函数，叫做的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 定义理解：（1）函数关系式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数必须是2； （3）二次项系数不为0。 例1、下列函数中属于二次函数的是（ ） A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D． 变式练习1、已知函数：①；②；③；④；⑤。其中二次函数的个数有_________。（填序号） 变式练习2：已知方程（a、b、c是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数。 例2、若是二次函数，则的值是（ ） A、3 B、 C、-1 D、0或3 变式练习、（1）若函数是二次函数，求的值 ； （2）是关于x的二次函数，则m的取值范围为 ； （3）下列函数关系是二次函数关系的是（ ） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 （二）列函数关系式 例3、如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，则菜园的面积（）与（米）的关系式为____________。（不要求写出自变量x的取值范围） 变式练习： 1、一块草地是长80米，宽60米的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x的小路，这时草坪的面积是y㎡，y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ； 2、在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为 ，其中自变量x的取值范围是 ． 例4、设人民币一年定期储蓄的年利率是，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是元，那么请问两年后的本息和（元)与之间的关系是什么(不考虑利息税)? 变式练习、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数关系式为 ； 例5、如图，正方形ABCD的边长为，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为x，CQ的长为y．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围？ 变式练习、直角三角形的一条直角边长为xcm，两条直角边的和为7cm，面积为ycm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数。 专题二、二次函数的图像与性质 （一）二次函数（a≠0）的图像和性质 函数 （a＞0） （a＜0） 大致图像 ( O ) ( O ) 顶点 （0，0） （0，0） 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或） 轴（或） 增减性 ，随增大而减小；，随增大而增大。 ，随增大而增大；，随增大而减小。 最值 时，有最小值0 时，有最大值0 填空： ① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； ③的图象，当a 时，图像开口向 （填“上”或“下”）；当a 时，图像开口向 （填“上”或“下”）；当 时，图像开口越大，当 时，图像开口越小； ④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当时，有最 值等于0. ⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，＞0时，随的增大而 。 例1、（1）函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________． （2）函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________． 变式练习： （1）下列关于抛物线和的说法错误的是（ ） A．抛物线y＝x2与y＝－x2有相同的顶点和对称轴 B．抛物线y＝x2与y＝－x2关于x轴对称 C．抛物线y＝x2与y＝－x2与x轴交点相同 D．点A（－1，1）既在抛物线y＝x2上，又在抛物线y＝－x2上 （2）若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________；点A（，）是抛物线上的一点，则= ；过点A作轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。 （3）抛物线①② ③④ 开口从小到大排列是 ；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。 例2、二次函数的图象开口向下，则m___________． 变式练习： 1、二次函数y＝有最高点，则m＝___________． 2、二次函数的图象如图所示，则k的取值范围为___________． （二）二次函数的图象和性质 1、抛物线特点 ①当时，开口向 ；当时，开口 ； 顶点坐标是 ；对称轴是 。 ②抛物线与形状相同，但位置不同，其中是由 向 （填“上”、“下”）平移得到的。 二次函数图象的平移规律：上 下 ，左 右 。 ③的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。 例3、（1）抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线 ； （2）抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当= 时，有最 值是 。 变式练习： 1.由抛物线平移，且经过（1，7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 （填“上”、“下”）平移 个单位得到的，或是把原抛物线向 （填“左”、“右” ）平移 个单位得到的。 2.写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式 ． 3.二次函数的图象经过点A（1，-1）、B（2，5）. （1）求该函数的表达式； （2）若点C(-2，)，D（，7）也在函数的上，求、的值。 例4、如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣x2+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． （1）球在空中运行的最大高度为多少米？ （2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？ 变式练习： 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由． （三）二次函数的图象和性质 1、抛物线的特点： 当时，开口向 ；当时，开口 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 。 2、抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。 3、二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。 若原函数为 （1）上下平移： （2）左右平移： 平移口诀：上加下减，左加右减。 4、二次函数y=a(x-h)2＋k的性质 抛物线 y=a(x-h)2＋k (a＞0) y=a(x-h)2＋k (a＜0) 顶点坐标 （） （） 对称轴 直线 直线 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。 最值 当x＝h时，最小值为k 当x＝h时，最大值为k 用配方法可将二次函数化成顶点式得到： ，其图象与抛物线y=ax2的开口方向、大小、形状完全相同，仅位置不同。当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线.顶点是。 例5、二次函数的图象开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。 2、抛物线是由如何平移得到的？答： 例6、（1）二次函数开口向_____，顶点坐标为_______，对称轴为______， 当x＞1时，y随x的增大而______；当x＜1时，y随x的增大而______。 因为a＞0，所以y有最____值，当x=______时，y的最_____值为______。 （2）下列函数图像的顶点坐标为（-2，-3）的函数是（ ） A． B． C． D． 变式练习： 1、二次函数的图象可由的图象（ ） A.向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到 B.向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到 C.向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到 D.向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到顶点 2、要从抛物线的图象得到的图象，则必须将的图象（ ） A．向下平移1个单位，向左平移2个单位； B．向上平移1个单位，向左平移2个单位； C．向上平移2个单位，向右平移1个单位； D．向下平移2个单位，向右平移1个单位。 3、二次函数的图像经过点（-2，4），则m=________，这个二次函数的解析式为________，当x______时，y随x的增大而减小，当x______时，y随x的增大而增大。 4、由二次函数，可知（ ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【例7】将二次函数化成的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 变式练习： 1、二次函数，当 时，y＞0，且y随x的增大而减小； 2、若抛物线与轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 C．当x=1时，y的最大值为-4 D．抛物线与轴的交点为（﹣1，0），（3，0） （四）二次函数的图像及性质 1、首先将二次函数的一般式化成顶点式，再用二次函数的增减性进行比较。 y=a(x-h)2＋k (a＞0)在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；y=a(x-h)2＋k (a＜0)在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。 2、若给予的x值不在对称轴的一侧，则根据二次函数的对称性进行转化。 例8、二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ） A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2 变式练习：二次函数的图像如图所示，则x的取值范围是（ ） A、m＞0 B、m＜0 C、m＜3 D、0＜m＜3 例9、已知二次函数，若自变量x分别取x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系是( ) A、 B． C． D． 变式练习：若a＜-1，点（a-1，）、（a，）、（a+1，）都在图像的图像上，则、、的大小关系为( ) A、＞＞ B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞ 例10、在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） 变式练习 1、函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） 2、一次函数y=ax+b(a≠0)、二次函数y=ax2+bx和反比例函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，A点的坐标为（－2，0），则下列结论中，正确的是（ ） A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0 3、一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当时，函数值最大；②当时，函数随的增大而减小；③存在，当时，函数值为0．其中正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【课后作业】： 1.下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2.若等边三角形的边长为x，则面积S是x的（ ） A.一次函数 B.二次函数 C.正比例函数 D.反比例函数 3.已知函数(为常数)，当= 时，为二次函数；当= 时，为一次函数；当= 时，为正比例函数. 4、直线与抛物线有（ ） A、1个交点 B、2个交点 C、3个交点 D、没有交点 5、如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 。 二、解答题 6.如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为，面积为，试写出与的函数表达式？ 7、请作出的函数图像，并表示出该函数的顶点坐标、对称轴、最值以及增减性。 8、已知抛物线： （1）求抛物线y1的顶点坐标； （2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式； （3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由。 ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$