精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川市第十五中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

2022−2023学年宁夏银川十五中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是(    ) A. x2+y-2=0 B. x- =1 C. x2=1 D. x3-2x=x 【答案】C 【解析】 【详解】根据一元二次方程的定义，只有一个未知数，而且含未知数的项中的最高次是2的只有C符合． 故选C． 2. 口袋里装有5个大小、质地相同的小球，其中红色球有2个，黄色球有3个，从中摸出一个球，放回后再摸出一球，则这两球都是红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 先画树状图展示所有25种等可能的结果，再找出这两球都是红色的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有25种等可能的结果，其中这两球都是红色的结果数为4种， 所以这两球都是红色的概率． 故选：A． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 5cm、15cm、2cm、6cm B. 4cm、8cm、3cm、5cm C. 3cm、4cm、5cm、6cm D. 8cm、4cm、1cm、3cm 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 【详解】解：A、，成比例线段，该选项符合题意； B、，不成比例线段，该选项不符合题意； C、，不成比例线段，该选项不符合题意； D、，不成比例线段，该选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 5. 如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（　　） A. 4 B. 5 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及完全平方式和算术平方根的非负性．注意菱形的面积等于对角线积的一半．先由非负数的非负性求得a与b的值，再根据菱形的面积等于对角线之积的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， 解得：，， ∵菱形的两条对角线的长为a和b， ∴菱形的面积． 故选：C． 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 7. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，然后由变形为含有x1+x2和x1•x2的式子，并代入求值即可． 【详解】∵方程的二次项系数a=2，一次项系数b=−6，常数项c=3， ∴根据韦达定理，得, ∴ 故选:A. 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 8. 如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称最短路径求法，得出A点关于BD的对称点为C点，连接EC交BD于点P即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可． 【详解】连接AC，EC，EC与BD交于点P，连接AP，此时PA+PE的值最小． ∵ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP=PC，∴PA+PE=PC+PE=EC． 正方形ABCD中，∵AB=BC=1，E为AB中点，∴BE=，∴EC==． 故选A． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出A，C关于BD对称是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 台湾到上海距离在一张1：50000000的地图册上量得约为3厘米，则实际距离约为 ___千米． 【答案】1500 【解析】 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式求得两地的实际距离．要统一注意单位． 【详解】解：设台湾到上海的实际距离是xcm，则： 1：50000000=3：x， 解得x=150000000 150000000cm=1500km． ∴台湾到上海的实际距离是1500km． 故答案为：1500． 【点睛】主要考查了比例尺的应用，注意单位的统一． 10. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 11. 已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割比为，根据PM为较长线段则， 【详解】解：∵点P是线段MN上的黄金分割点，且， ∴长线段PM的长为. 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比为是解题的关键． 12. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟． 【答案】800 【解析】 【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟， 则200：10＝x：40， 解得x＝800． 故答案为：800． 【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 13. 直角三角形斜边的中线长是，则它的两条直角边中点的连线长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边的长，进而利用三角形中位线定理可求它的两条直角边中点的连线长． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边的长为， ∴它的两条直角边中点的连线长为． 故答案为：4． 14. 某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用经过两期治理后废气的排放量治理前废气的排放量每期减少的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，中，，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去） 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 【答案】1或4或2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）．（配方法） （2）．（因式分解法） （3）．（公式法） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则，即， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 则， 或， ，； 【小问3详解】 解：， ， ，，， 则， ， 即，． 18. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长． （1）k取何值时，方程存在两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求k的值． 【答案】（1）k≥；（2）2 【解析】 【分析】（1）由于x的方程，由此得到其判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围； （2）设方程的两根为x1，x2，依题意x12+x22=52，又根据根与系数的关系可以得到x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1，而x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，这样利用这些等式变形即可求解． 【详解】解：（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0， 即[-（k+1）]2-4（）≥0， 化简得：2k－3≥0， 解之得：k≥． （2）设方程的两根为x1，x2，则有 x1+x2=k+1,x1•x2=， x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=（k+1）2-2（）=． 解之得：k1＝2，k2＝－6． 由（1）可知，k＝－6时，方程无实数根，所以，只能取k＝2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定k的值． 19. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 20. 学校为迎接五四青年节，准备开展独唱、演讲、舞蹈、独奏四项文艺活动．为了了解学生对这些活动的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，要求每人从四个项目中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）请将条形统计图补充完整；扇形统计图中，“独奏”对应扇形的圆心角的度数为________； （3）某班有2名女生，2名男生爱好演讲，要从这四名学生中随机选出两名参加演讲节目，请用列表法或画树状图法求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）100 （2）图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由演讲人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以独唱对应的百分比得出其人数，根据四个项目人数之和等于总人数求出独奏人数，从而补全图形，最后用乘以独奏人数所占比例即可； （3）运用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总人数为（名）． 故答案为：． 【小问2详解】 独唱人数为：（名）， 独奏人数为：（名）， 补全图形如下： “独奏”对应扇形的圆心角的度数为：． 故答案为：． 【小问3详解】 列表为： 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好选中一男一女的概率为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．本题还考查了条形统计图和扇形统计图． 21. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理是关键．连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论． 【详解】证明：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ∵ ∴，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 22. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 【答案】小路的宽应为1． 【解析】 【分析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：设小路的宽应为x米， 根据题意得：， 解得：，． ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 答：小路的宽应为1米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 23. 如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴，即， 即， ∴（米）， ∴古塔的高度为16.2米． 24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ 【答案】30元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． 设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱，利用这种饮料每天销售利润=每箱的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每箱饮料获利大于80元，即可确定的值． 【详解】解：设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵每箱饮料获利大于80元， ∴， ∴， ∴． 答：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价30元． 25. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论； （2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果； ②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵EF∥AB， ∴∠DBE＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； （2）解：①∵EF∥AB， ∴＝＝， ∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE， ∴＝， 解得：BE＝4； ②∵＝， ∴＝， ∵EF∥AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质． 26. 如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒． （1）当时，的面积为__________． （2）当为何值时，与相似？ （3）在、的运动过程中，能否构成等腰三角形？如能求出，如不能，说明理由． 【答案】（1）（2）或（3）能，或或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）根据已知条件求出的长，再过点作，交与点，的长，求出，即可求出的值，最后求的值； （2）先分两种情况进行讨论，当时，，求出的值和当时，，求出的值，经检验它们都符合题意即可； （3）此题分三种情况进行讨论；①当时，得出的值；②当时，先过作，得出，即可求出，得出的值，最后求出的值；③当时，先过作，得出，求出，得出的值，即可求出的值； 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意，可知：，，，， 过点作，交与点，如图1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ； 故答案为：； （2）当时，， ， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 当为或时，经检验，它们都符合题意，此时与相似； （3）能构成等腰三角形，理由如下： 当时，，解得； 当时，过作，交于点，如图2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过作，交于点，如图3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当或或时，能构成等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022−2023学年宁夏银川十五中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是(    ) A. x2+y-2=0 B. x- =1 C. x2=1 D. x3-2x=x 2. 口袋里装有5个大小、质地相同的小球，其中红色球有2个，黄色球有3个，从中摸出一个球，放回后再摸出一球，则这两球都是红色的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 5cm、15cm、2cm、6cm B. 4cm、8cm、3cm、5cm C. 3cm、4cm、5cm、6cm D. 8cm、4cm、1cm、3cm 4. 如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（　　） A. 4 B. 5 C. 2 D. 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 8. 如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 台湾到上海距离在一张1：50000000的地图册上量得约为3厘米，则实际距离约为 ___千米． 10. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___． 11. 已知点P是线段MN上的黄金分割点，且，则较长线段PM的长为______cm． 12. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟． 13. 直角三角形斜边的中线长是，则它的两条直角边中点的连线长为__________． 14. 某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __． 15. 如图，中，，，，，则__________． 16. 如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）．（配方法） （2）．（因式分解法） （3）．（公式法） 18. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长． （1）k取何值时，方程存在两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求k的值． 19. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 20. 学校为迎接五四青年节，准备开展独唱、演讲、舞蹈、独奏四项文艺活动．为了了解学生对这些活动的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，要求每人从四个项目中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）请将条形统计图补充完整；扇形统计图中，“独奏”对应扇形的圆心角的度数为________； （3）某班有2名女生，2名男生爱好演讲，要从这四名学生中随机选出两名参加演讲节目，请用列表法或画树状图法求恰好选中一男一女的概率． 21. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 22. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 23. 如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度． 24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ 25. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 26. 如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒． （1）当时，的面积为__________． （2）当为何值时，与相似？ （3）在、的运动过程中，能否构成等腰三角形？如能求出，如不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $