7.2.2 古典概型的应用 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 7.2.2古典概型的应用 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 理解互斥事件的概率加法公式 01 了解互斥事件与对立事件的关系，掌握对立事件的概率公式 02 能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概型的概率计算问题 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 情境回顾 知识点1 古典概型的应用 分析以下各问题，尝试得出结论． （1）假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，……，9十个数字中的任意一个. 假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？ 随机试验 基本事件10000种 结果等可能 探索新知 02 情境回顾 知识点1 古典概型的应用 分析以下各问题，尝试得出结论． （2）一个暗箱子里放着10个完全一样的小球，其中三个小球上分别写着一等奖、二等奖、三等奖. 现在请10个人无放回地抽取奖品，请问中奖机会与先后顺序有关吗？ 无关 探索新知 02 情境回顾 知识点1 古典概型的应用 分析以下各问题，尝试得出结论． 单眼皮 （3）生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮. 有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率. Ω＝{BB，bB，Bb，bb} Bb Bb 探索新知 02 回顾 1.读——反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息 3.列——列举出总的样本点(个数)及所求事件包含的样本点(个数) 用古典概型计算概率问题的步骤： 2.判——判断事件是否是古典概型 4.算——计算出古典概型的概率，对应用题还要作答 知识点1 古典概型的应用 对于古典概型来说，如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为 探索新知 02 例2 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：（1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套. 解：设取出第一套书的上、下册分别记为A1，A2，取出第二套书的上、下册分别记为B1，B2， 取出第三套书的上、下册分别记为C1，C2. 不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1C1，A1C2，A1B2，A2B1， A2C1，A2C2，A2B2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的.从而用古典概型来计算概率. 知识点1 古典概型的应用 （1）设事件A表示“取出的书不成套”，则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2， A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，故P(A) 探索新知 02 例2 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：（1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套. 解：设取出第一套书的上、下册分别记为A1，A2，取出第二套书的上、下册分别记为B1，B2， 取出第三套书的上、下册分别记为C1，C2. 不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1C1，A1C2，A1B2，A2B1， A2C1，A2C2，A2B2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的.从而用古典概型来计算概率. 知识点1 古典概型的应用 （2）设事件B表示“取出的书均为上册”，则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，故 探索新知 02 例2 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：（1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套. 解：设取出第一套书的上、下册分别记为A1，A2，取出第二套书的上、下册分别记为B1，B2， 取出第三套书的上、下册分别记为C1，C2. 不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1C1，A1C2，A1B2，A2B1， A2C1，A2C2，A2B2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的.从而用古典概型来计算概率. 知识点1 古典概型的应用 （3）设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则C＝{A1B2，A1C2，A2B1， A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故 探索新知 02 例3 口袋里共有4个球，其中2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同. 4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），计算第二个人摸到白球的概率． 解法1 考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果. 把2个白球编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为w1，w2； 把2个黑球也编上序号1，2，记摸到1，2号黑球的结果分别为b1，b2. 知识点1 古典概型的应用 24个样本点 等可能 事件A含12个样本点 古典概型 探索新知 02 例3 口袋里共有4个球，其中2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同. 4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），计算第二个人摸到白球的概率． 知识点1 古典概型的应用 思考：该试验为4人摸球试验，但所求的是第二个人的摸球概率，那我们可以只研究第一个人和第二个人的摸球情况吗？这样又会得到怎样的样本空间呢？ 解法2 考察试验：前两个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果 12个样本点 等可能 事件A含6个样本点 古典概型 简化了模型 探索新知 02 例3 口袋里共有4个球，其中2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同. 4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），计算第二个人摸到白球的概率． 知识点1 古典概型的应用 思考：四个球除了颜色不同外，其他的都没有任何区别，我们可以不考虑球的编号，只关注球的颜色吗？这样会得到怎样的样本空间呢？ 解法3 考察试验：4个人按照顺序依次从中摸出一个球，只记录摸出球的颜色 6个样本点 等可能 事件A含3个样本点 简化了模型 探索新知 02 例3 口袋里共有4个球，其中2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同. 4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），计算第二个人摸到白球的概率． 知识点1 古典概型的应用 思考：结合上一种解法，我们不考虑球的编号，只关注球的颜色，并且不考虑4人摸球的结果，只考虑前两人的摸球结果，又会得到怎样的样本空间呢？ 解法4 考察试验：4个人按照顺序依次从中摸出一个球，只记录第二个人摸出球的情况 4个样本点 等可能 事件A含2个样本点 记摸到1，2号白球→→w1，w2 记摸到1，2号黑球→→b1，b2 样本空间{ w1，w2，b1，b2} 事件A={ w1，w2} 探索新知 02 知识点1 古典概型的应用 例3 口袋里共有4个球，其中2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同. 4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），计算第二个人摸到白球的概率． 解法1 考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果. 解法2 考察试验：前两个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果 解法3 考察试验：4个人按照顺序依次从中摸出一个球，只记录摸出球的颜色 解法4 考察试验：4个人按照顺序依次从中摸出一个球，只记录第二个人摸出球的情况 以上4种解法分别从不同的角度切入，选择了不同的古典概型. 这个问题表面上是一个摸球的问题，实际上它也是许多实际问题的一个模型. 例如，抽签问题、排序站位问题.由这个问题的解答过程可以看出：无论第几次摸球，摸出白球的概率都是.这说明，摸球时，中奖的可能性大小与顺序无关. 探索新知 02 思考交流 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 (1)在试验E“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中， 设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”， 试探究P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系． 试验E的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}共包含6个样本点，而且每个样本点出现的可能性是相等的 事件A＝{2，4，6}共包含3个样本点，所以P(A) 事件B＝{5}共包含1个样本点，所以P(B) 事件A∪B＝{2，4，5，6}共包含4个样本点，所以P(AB) P(AB) 探索新知 02 思考交流 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 (2)在试验E“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示“第一次掷出的点数为1”，事件B表示“第一次掷出的点数不是1”， 试探究P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系． 试验E的样本空间共包含36个样本点，而且每个样本点出现的可能性是相等的 事件A＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}共包含6个样本点，所以P(A) 事件A与事件B互斥且对立，所以事件B包含30个样本点，所以P(B) 事件A与事件B对立，所以事件A∪B共包含36个样本点，所以P(AB) P(AB) 探索新知 02 思考交流 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 (3)在试验E“从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取1张，记录它的花色”中，设事件A表示“抽出的牌是黑桃”，事件B表示“抽出的牌是红心”， 试探究P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系． 试验E的样本空间共包含52个样本点，而且每个样本点出现的可能性是相等的 事件A包含13个样本点，所以P(A) 事件B包含13个样本点，所以P(B) 事件A∪B共包含26个样本点，所以P(AB) P(AB) 探索新知 02 抽象概括 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有 这一公式称为互斥事件的概率加法公式 在一次试验中，相互对立的事件A和不会同时发生，并一定有一个发生，即，所以. 一般地，如果事件两两互斥，那么有 互斥事件的概率加法公式和长度、面积、体积、质量等的加法公式本质上是一样的. 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 探索新知 02 追问 (1)如果A、B不是互斥事件，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）还成立吗？ (2)如果事件A1，A2，，An，两两互斥，有P（A1∪A2∪An）≤1成立吗？ (3)互斥事件和对立事件的区别和联系是怎样的呢？ 不成立 成立 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥的 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 探索新知 02 知识剖析 在集合中我们知道card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，两边同除以card(Ω)， 因此，在一般情况下我们有 用集合知识理解概率的加法公式 当事件A，B互斥时，，所以对于互斥事件A，B而言， 我们有. 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 探索新知 02 例4 某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们背要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如表. 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 观点 男生人数 女生人数 总人数 赞成 15 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 总计 50 50 100 随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？ 探索新知 02 例4 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 观点 男生人数 女生人数 总人数 赞成 15 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 总计 50 50 100 随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？ 解：用事件A表示“对这次调整表示反对”，事件B表示“对这次调整不发表看法”，则事件A和事件B是互斥事件，并且事件A∪B就表示“对这次调整表示反对或不发表看法”.由互斥事件的加法公式，得 因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率的. 探索新知 02 例5 某网站登录密码由四位数字组成．某同学注册时将自己生日的四个数字0，3，2，5重新编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，则该同学不能顺利登录的概率是多少？ 解：用事件A表示“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”．由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件，即“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”，显然它只有一种结果．四个数字0，3，2，5随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示，如图 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 探索新知 02 从树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，因此可以用古典概型来解决． 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 由，得.因此， 随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码，即该同学不能顺利登录的概率为 在概率计算的问题中，当事件A比较复杂而对立事件比较简单时，我们往往通过计算来求得. 探索新知 02 例6 班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与． 把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率． 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 （1）依题意可知抽取的所有可能结果为 （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）． 解：把抽取2张卡片的结果记为（i，j），其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 探索新知 02 例6 班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与． 把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率． 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 共有20种可能的结果．因为每次都是随机抽取，所以可以认为每个结果出现的可能性相等，从而用古典概型来解决． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：依题意知事件A包含的样本点有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有14种可能的结果．因此，事件A “选出的2人不全是男生”的概率是： 探索新知 02 例6 班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与． 把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率． 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 方法2：依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共有6种可能的结果．因此， 即选出的2人不全是男生的概率为. 探索新知 02 例6 （2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求：①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 解：（2）与（1）中的不放回的抽取不同的是，（2）中的抽取是有放回的抽取．抽取的所有可能结果为 （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有25种可能的结果． 因为每次都是随机抽取，所以可以认为每个结果出现的可能性相等，从而用古典概型来解决． 探索新知 02 例6 （2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求：①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 ①设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”，则事件B所包含的样本点有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），共有5种可能的结果．因此， 即独唱和独奏由同一个人表演的概率为 探索新知 02 例6 （2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求：①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率 知识点2 互斥事件、对立事件的概率公式 ②设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”，包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有9种可能的结果．因此， 即选出的不全是男生的概率为. 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 抽取中的古典概型问题 题型突破 03 题型1 抽取中的古典概型问题 题型突破 03 题型1 抽取中的古典概型问题 题型突破 03 解题通法 “有放回抽取”“无放回抽取”和“同时抽取”的概率： 1.“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题时初学者特别容易出错的，而且也是特别景点的题型.“有放回抽取”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的；“无放回”是指物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少. 题型1 抽取中的古典概型问题 题型突破 03 解题通法 “有放回抽取”“无放回抽取”和“同时抽取”的概率： 2.有放回抽取和无放回抽取的区别在于同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次，而“无放回抽取”最多被抽到一次.这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”的样本空间包含的样本点数量多的原因. 2.“同时抽取”的实质是把不同性质的两(多)组元素混合在一起抽取，没有先后顺序，只考虑配对，所以对应样本空间包含的样本点数量一般要比“逐个不放回抽取”对应的样本空间包含的样本点数量要少. 题型1 抽取中的古典概型问题 题型突破 03 题型2 排队(排座)中的古典概型问题 例2. 有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时： (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． 解：将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来： 如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个． 题型突破 03 题型2 排队(排座)中的古典概型问题 例2. 有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时： (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝． (2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝． (3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝． 题型突破 03 题型3 复杂事件的概率求解 题型突破 03 题型3 复杂事件的概率求解 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 当堂检测 04 B 当堂检测 04 当堂检测 04 ACD 当堂检测 04 A 当堂检测 04 当堂检测 04 C 当堂检测 04 谢谢观看 Learn to report 例1.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； 解析：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C， 因为A，B，C为两两互斥事件， 由已知得解得 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； 例1.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （ⅰ）写出该试验的样本空间； 解析：（2）（ⅰ）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间，； 例1.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （ⅱ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 解析：（2）（ⅱ）由（ⅰ）得，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平. 例3. 为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 7环以下 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.10 求该选手射击一次： （1）命中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率； 解析：（1）记“射击一次，命中9环或10环”为事件A， 由互斥事件的加法公式得. 解析：（2）设“射击一次，至少命中8环”为事件B，由互斥事件概率的加法公式得. 例3. 为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 7环以下 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.10 求该选手射击一次：（3）命中不足8环的概率. 解析：（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”， 根据对立事件的概率公式得. 1.袋子里有4个大小、质地完全相同的球,其中有2个红球、2个白球,从中不放回地依次随机摸出2个球,事件“两个球颜色相同”,事件“两个球颜色不同”,事件“第二次摸到红球”,事件“两个球都是红球”.下列说法错误的是( ) A. B.C与D互斥 C. D. 解析：由题意知，摸出两个球要么颜色相同要么颜色不同，即A正确； 当第一次摸到红球，第二次也摸到红球时，C，D可同时发生，即B不正确； 事件C包括:第一次摸到白球，第二次摸到红球和第一次摸到红球，第二次摸到白球，所以，即C正确； 1.袋子里有4个大小、质地完全相同的球,其中有2个红球、2个白球,从中不放回地依次随机摸出2个球,事件“两个球颜色相同”,事件“两个球颜色不同”,事件“第二次摸到红球”,事件“两个球都是红球”.下列说法错误的是( ) A. B.C与D互斥 C. D. 解析：， 则，所以D正确.故选：B. 2.（多选）已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 解析：A.，对于事件C， ①当第一次摸到非黑球时，， ②当第一次摸到黑球时，， ，则，故A正确； 2.（多选）已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 解析：B.，， ，故B错误； C.，故C正确； D.，，故，故D正确. 故答案为：ACD. 3.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( ) A. B. C. D. 解析：因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又 所以有 故，故 故选：A. 4.抛掷一枚质地均匀的硬币n次,记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”,“n次中至多有一次正面朝上”.下列说法正确的是( ) A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, 解析：由题意可知:抛掷一枚质地均匀的硬币，正面，反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 4.抛掷一枚质地均匀的硬币n次,记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”,“n次中至多有一次正面朝上”.下列说法正确的是( ) A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, 解析：对于选项AB:若，则，，， 可得，，故AB错误; 对于选项CD:若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误;故选:C. 5.已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则__________. 解析：因为事件A，B，C两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. $$