第5章 2 实际问题中的函数模型-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§2实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画甲2.2用函数模型解决实际问题 白题 基础过关 限时：40min 题组1一次、二次函数模型及其应用 2件产品的生产时间为2min,第入件产品的 1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量 生产时间为16min,则第9件产品的生产时间 x(套)之间的关系为y=6x+30000,而出厂价 是第1件产品的 格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产 A.54倍 B.42倍 文具盒 ( C.36倍 D.9倍 A.2000套 B.3000套 5.(2024·安微毫州高一期末)某公司生产一类 C.4000套 D.5000套 电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件， 2.(2024·广东东莞高一期中)若不计空气阻 每万件电子芯片的计划售价为16万元已知 力，则以初速度。竖直上抛的物体距离抛出 生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流 点的高度y与时间t满足关系式y=w一2， 动成本两个部分，其中固定成本为30万 其中g=10m/s2.现有一名同学以初速度 元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流 12m/s竖直向上抛一个排球，则该排球在距 动成本为(x)(单位：万元)，当年产量不超过 离抛出点1m以上的位置停留的时间约为 14万件时，()=子+4：当年产量超过 (参考数据：√31=5.6) ( A.2.24sB.112sC.1s D.0.5s 14万件时，(x)=17x+400-80.假设该公司 3.为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做 每年生产的芯片都能够被销售完 到物尽其用国家向全民发出了关于垃圾分类 (1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万 的号召.为了响应国家号召，各地区采取多种 件)的函数解析式：（注：年利润=年销售 措施，积极推行此项活动.一商家为某市无偿设 收入一固定成本一流动成本) 计制作了一批新式分类垃圾桶（无盖），它近似 (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得 呈长方体状，且其高为0.45米，长和宽之和为 的年利润最大，每年应生产多少万件该 2.4米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体计算， 则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗， 芯片？ 不考虑桶盖)，需耗费的铁皮的面积为( A.3.84平方米 B.3.6平方米 C.6.28平方米 D.4.8平方米 题组2分段函数模型及其应用 4.已知某公司工人生产第x件产品的时间f代x) (单位：min)满足f(x) x+1<A, 若第 2x2 Ax,x≥入 必修第一册：BS黑白题094 题组3指、对、幂函数模型及其应用 并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽 6.一种新型电子产品计划投产两年后，成本降低 车产业链.新能源电动汽车主要采用电能作 36%,那么平均每年应降低成本 为动力来源，目前比较常见的主要有两种： A.18%B.20% C.24% D.36% 混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道 7.已知海面上的大气压强是760mmHg,大气压 上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速 强P(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间 60km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每 的关系为P=760e“(e为自然对数的底数，k 小时耗电量Q(单位：wh)与速度x(单 是常数)，根据实验知500m高空处的大气压 位：km/h)的数据如下表所示： 强是700mmHg,A型直升机的巡航高度为 0 10 40 60 1300m,B型直升机的巡航高度为800m 420 44806720 时，A型直升机所受的大气压强约是B型直升 机所受的大气压强的（精确到0.01）( 为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每 A.0.67倍B.0.92倍C.1.09倍D.1.26倍 小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三 8.(2024·广东珠海高一月考)在有声世界，声 种函数模型供选择：①Q,(x) 50'22+e 强级是表示声强度相对大小的指标其值y [单位：dB(分贝)]定义为y=10,g云其中， ②0，()=1-（）】 :③Q3(x)=200logx+b. (1)当0≤x≤60时，请选出你认为最符合表 I为声场中某点的声强度，其单位为W/m 格中所列数据的函数模型（需说明理 (瓦/平方米)，I。=102W/m2为基准值.则声 由)，并求出相应的函数表达式。 强级为60dB时的声强度1是声强级为 (2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶 50dB时的声强度I,的 到重庆某地，其中，国道上行驶50km,高 A.5倍B.10倍C.20倍 D.40倍 速上行驶250km.假设该电动汽车在国 题组4建立拟合函数模型与函数模型的选择 道和高速上均做匀速运动，国道上每小 9.(2023·江苏常州高一期末)在一次数学实验 时的耗电量Q与速度x的关系满足(1) 中，某同学运用图形计算器采集到如下一组 中的函数表达式：高速路上车速x(单 数据： 位：km/h)满足xe[80,120],且每小时 0.24 0.51 2.02 3.988.02 耗电量N(单位：wh)与速度x(单 -2.0-1.0 0 1.00 2.03.0 位：km/h)的关系满足N(x)=2x2- 在四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能反 10x+200(80≤x≤120)，则当国道和高速 映x,y函数关系的是 ( 上的车速分别为多少时，该车辆的总耗 A.y=a+bx B.y=a+b' 电量最少，最少总耗电量为多少？ C.y=a+logix D.y=a+- 10.(2024·四川宜宾高一月考)2023年宜宾市 新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建 成较为完整的配套协同动力电池产业布局， 第五章黑白题095 黑题 应用提优 限时：40min 1.异速生长规律描述生物的体重与其他生理属 地区二氧化碳的排放量达到峰值a(亿吨) 性之间的非线性数量关系，通常以幂型函数形 (a>0)后开始下降，其二氧化碳的排放量 式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其 S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式S=a· 体重x满足y=”,其中k和α为正常数，该 类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增 公，若经过7年，二氧化碳的排放量为智（亿 长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提 吨).已知该地区通过植树造林、节能减排等形 高到初始状态的8倍，则α为 式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为 A.d B司 c号 子（亿吨）。则该地区要实现碳中和，至少需 2.(2024·河南洛阳高三月考)近年来，“共享单 要经过（参考数据：1g2≈0.3） () 车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方 A.38年B.42年C.46年 D.48年 便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共 5.(2024·湖北咸宁高一月考)中国的5G技术 投资120万元，根据行业规定，每座城市至少 领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名 要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市 的香农公式：C=Mg:1+)它表示在受噪 收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满 音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决 足P=32a-6,乙城市收益Q(单位：万元)与 于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,与 投入1（单位：万元）满足Q=4+2,则投资这 信道内部的高斯噪声功率V的比值，其中月 两座城市收益的最大值为 ( 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数 A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元 里面的1可以忽略不计按照香农公式，若带 3.(2024·福建泉州高三期中)单位时间内通过 道路上指定断面的车辆数被称为“道路容 笼r不变，信噪比从100提升到120. 量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸 则C比原来大约增加了（附：lg2≈0.3010， 多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆 lg3≈0.4771) 数N满足关系N=。 1000m ，,其中d为安 A.32% B.43% C.36% D.68% 0.7m+0.32+d 6.(多选)(2024·吉林白城高一月考)人们常用 全距离，v为车速(m/s).当安全距离d。取 里氏震级M表示地震的强度，E(单位：焦耳) 30m时，该道路一小时“道路容量”的最大值 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单 约为 ( 地表示为M=mlgE-4.8(m为常数).已知甲 A.135 B.149 C.165 D.195 地发生的里氏5.0级地震释放出的能量为 4.(2024·河北保定高三期末)“碳达峰”是指二 1047焦耳，则 氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始 下降：而“碳中和”是指企业、团体或个人通过 A.m22 植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的 二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某 B.m= 3 必修第一册：BS黑白题096 C.乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量9.(2024·福建福州高一月考)学校鼓励学生课 为106焦耳 余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼 D.甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量 的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余 是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能 锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当 量的101.倍 天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求 7.(2023·山东日照一中高一月 及图示如下：(1)函数是区间[0,90]上的增函 考)某厂有许多形状为直角梯 数：(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分 形的铁皮边角料（如图），为降 为0分：(3)每天运动时间为30分钟时，当天 低消耗，开源节流，现要从这 24 得分为3分：(4)每天最多得分不超过6分 些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备 现有三个函数模型①y=x+b(k>0):②y=k· 用，则截取的矩形面积的最大值为 1.2+b(>0):y=k1g(（52)+n(>0)供 8.(2024·江西南昌高一期中)漳州市某研学基 地因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果 选择 特色区”经调研发现：某果树的单株产量W(单 位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关 2(x2+17),0≤x≤2， 系：W(x)= (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说 508 0-12≤5 且单株施用肥料 明理由，再根据所给信息求出函数的解 及其他成本总投入为(20x+10)元已知这种水 析式： 果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通 (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多 供不应求.记该果树的单株利润为(x)(单 少分钟.（注：2≈1.414，结果保留整数） 位：元) (1)求函数f八x)的解析式： (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株 利润最大？最大利润是多少？ 进阶突破拔高练P1 第五章黑白题097(c.(1)-150.所以()(1)<0.且(2)的图象是一条连续 因为f(0)=-1<0,所以f(-1)·/(0)<0,可得x。=(-1.0); 因为/()-→0.所以/() )(0)<0o,得xo(): 不断的曲线,根据函数零点存在定理可知,王ge(1).使得 因为/()--0.所以/()()-0.可得xo(--0): fx.)=0.故A正确.对于B项,设g(x)=e'-3x.则g(0)=1>0. g(1)=e-3<0.所以,g(0)g(1)<0,且g(x)的图象是一条连续不断的 因为/()-△→0.所以/(-)·vo)~0.可得x(-o). 曲线,根据函数零点存在定理可知,x=(0.1).使得g(x)=0.故 第--02.,以所求x词为(-). B正确.对于C项,设(x)=-3x+1.则i (0)=D>0.h(1)=1-3+ 又因为 1=-1<0.所以h(0)h(1)z0.且h(x)的图象是一条连续不断的曲线 根据函数零点存在定理可知,3x:e(0.1).使得h(x.)=0.故C正 (2)易知/()在[-1.1]上为减函数 (/(-1)=0. 确.对于D项,设k(x)=4-4/5x+5.因为k(x)=(2x-5)>0恒成 因为/(x)在区间[-1.1]上存在零点,所以 即 (1)s0. 立,不存在函数值异号区间,所以不满足二分法的条件,故D错误,故 选ABC. (2+8++3>0. 解得-13m3.所以实数m的取值范围是[-13.3). 3.3 解析:一用二分法求零点时,零点两侧的函数值要异号,.个数 (2-8+m+3=0. 为3. s2 实际问题中的函数模型 4.D 解析:因为/(0)·/(0.5)<0.所以由函数零点存在定理可知,零 2.1 实际问题的函数刻画 点xo=(0.0.5).根据二分法,第二次应计算/{ 2.2 用函数模型解决实际问题 故选D. 础 5.A 解析:令/(x)=-2x-5.f(2)=-1<0./(3)=16>0./2.5) 1.D 解析:因为利润:=12x-(6x+30000).所以:=6x-30000.由0 5.625>0./(2)·/f(2.5)<0.所以由函数零点存在定理可知,下一个有 根区间是(2.2.5).故选A 解得x5000.故至少日生产文具盒5000套.故选D 2.A 解析:由条件可知,ro=12m/s.g=10ms},则y=12t-5^>1,即 6.AB 解析:函数(x)在区间(0.3)上有且仅有两个零点,且都可以用 5^-12+1=0.解得6-v31 二分法求得,其图象是连续不断的,则在零点两侧函数值异号,由于 16431 5 .所以停留的时间为 (0)>0)f(1)/(2)f(3)<0,则当f(3)<0时,有/(1)f(2)>0,若 6+V③16-3T231 f1)>0/(2)>0.则/(x)在区间(2.3)上必有1个零点.面在区间(0 5 -224(s).故选A 1)及区间(1.2)上有无零点及零点个数不能确定,若f(1)<0./(2) 3.B 解析:设长为x米,则宽为(2.4一x)米,体积为V立方米,由题意 0.则/(x)在区间(0.1)上必有1个零点,而在区间(1.2)及区间(2. 知.V=0.45(2.4-)=0.45(2.4t-)=0.45 -t-1.2)+1.44](0 3)上有无零点及零点个数不能确定,因此/(3)>0.且/(1)f(2)<0 <2.4).当x=1.2时.V =0.45×1.44=0.648(立方米).即长为 若f1)<0.f(2)>0.则f(0)f1)<0.f1)/f(2)<0.函数fx)的两个零 1.2米,宽为1.2米时.容量最大,此时铁皮面积为1.2×1.2+0.45× 点分别在区间(0.1)和区间(1.2)内.A正确;若/(1)>0.f(2)<0 1.2x2+0.45x1.2x2=3.6(平方米).故选B 则/(2)(3)c0./(1)/(2)<0.函数/(x)的两个零点分别在区间(1.2) □重难点拨 和区间(2.3)内.B正确;显然函数/(x)的两个零点不可能分别在区 1. 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为涵数 间(0.1)和区间(2.3)内,否则/(1)<0/(2)<0./(1)/(2)>0,矛盾. 2. 根据实际问题抽象出函数的解析式后,只密利用基本不等式或 C错误:函数f(x)在区间(0.3)上不可能单调.否则函数/(x)在区间 者函数性质求得函数的最值 (0.3)上最多只有1个零点,矛盾,D错误.故选AB 7.7 解析:如图: 3. 在求函数的数值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变 (将) 量的取值范围)内求解 4.B 解析:依题意/(A)=2A}-A?=16,解得A=4(负值已含去). 首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时.假设发现AC段正 4. ./(2)--2.可得u=6.故(x) 常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常, 可见故障在CD段,再到CD段中点E来查,依此类推....每查一次, 2x2-4xr4. 2x81-4x9 42故选B. 可以把待查的线路长度缩减一半,因此只要7次就够了,故答案为7 8.解:(1)当n=-4时,可得/(x)=2x2-8x-1.则函数(x)的图象开口向 上.对称轴为直线;=2.所以函数/f(x)在区间(-1.1)上为减函数 由/(-1)=9/(1)=-7.可得f(-1)·f(1)<0,所以函数/(x)在区间 0故 (-1.1)上存在唯一零点xo $2-30;当14<x35时,g(x)-16x-f(x)-30=50-x- 参考答案 黑白题063 50n,则所耗电量为g(t)-50 g(x)={ 160 -2-100+800,而0<x$60.则当x=50时0g(t) 32+12x-30.此时g(x) o=8(9)= (2)当0x14时,g(x)=- g(50)=5500wh,所以当这辆车在高速上的行驶速度为80kmh. 40050- 在国道上的行驶速度为50kmh时,该车从宜宾行驶到重庆某地的 总耗电量最少,最少为3812545500=43 625(wh). 高 400 D技巧点拨 =10.当且仅当x=20时,等号成立.因为2410.故当x=9 解函数应用问题的步骤 时,g(x)取得最大值24.即为使公司获得的年利润最大.每年应生产 (1)审题;弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数 9万件该芯片. 学模型: 6. B 解析:设平均每年降低成本x.(1-x)2=1-36%=0.64,解得x= (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语 0.2=20%或v=1.8=180%(含去).故选B 言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; 7. B 解析:700=760e-*,即-s700 760 ,则A型直升机所受的大气压 (4)还原:将数学问题还原为实际问题 .P。 题 m用 7601 760~0.92.故A型直升机所受的大气压强约是 1.D 760-=-.700 (40a<120. 2.B 解析:由题意可知 B型直升机所受的大气压强的0.92倍,故选B 140120-ac120 →40<a80.设投资这两座 l,得l。= 32a-+26.令=te[2v10.4/5].则有/(1)- 9.C 解析:由题,作出散点图如下. 3/21+26.该二次函数图象的对称轴为直线1=62,且开口向下,所 以(1)_-4x(6/2)+32x6/2+26-44.故选B. 1000r 3. B 解析:由题意得,N= 1000 0.7+t0.3-+d。 9.7+0.3u+ 30= r 由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y=a+logx反映 1000 x.y的函数关系.故选C. 0.7+2./03v. 30 10.解:(1)对于③.0(x)=200log.x+b.当x=0时,它无意义,不符合 r 题意;对于②.0.(t)=1-(3).当x=10时.0、(10)=1- 以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149故选B ,解得=v08.令。. (3)”又0(3)”()* =1.所以0(10)=1- -,即=- (31g 2-1)-21g 2.即1-1-3124.1 14242-42.即该地区要实现“碳 中和”,至少需要经过42年,故选B 5.C 解析:当-1000时,最大信息传递速度为C.=W/log.(1+ C_C. Wlog(1+12000)~Wlog12000,所以C比原来增加了 C. 1 log. 12 000-lng 1 000 log.12 000 01 12000-110t1 12 数fx)在区间[80.120]上单调递增,于是f(x)=f(80)=500 log100o log.1000 l1000 3 3+21g2+13.21g2+13-36%故选C. 3 ③ 必修第-册·BS 黑白题064 6. BD 解析;由题意可得5=mlg10147-4.8,即14.7m=9.8,解得m= 81-$2 2 阶段综合 盟题 助化 '1006=10-,D正 1.B 解析:令/(x)=0.则(2)-x-0.()-x,在同一平面直角 确,故选BD. 20-x,-8 坐标系中画出y-(3)和y-x的图象(图略),由图可知,y- ,(24-y).y- y).所以阴影部分的面积S=xy= -(-24) 2.B 解析:因为开区间(-1)的长度等于,每经过一次操作,区 所以当v=12时,s有最大值,最大值为180.故答案为180 间长度变为原来的一半,所以经过n(n=N)次操作后.区间长度变 8.解:(1)由条件知f(x)=10W(x)-(20r+10).又W(x)= (2(r2+17).0x2. (20(+17)-(2r+10)02. 所以/()= 少为6.故选B. 2s5. 0(20+t10),2:s5. 3.A 解析:易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c- (20?-20r+330.0Sx52. a)·(c-b).又a<b<e,则/(a)>0.f(b)<oJf(c)>0.又该函数是二次 整理得/(x)= 函数,且图象开口向上,可知两个零点分别在区间(a.b)和(5.c)内 1- 故选A. ()#.当 (2)当0 x2时f()=20-20r+330=20$ f=2. 4.C 解析:由题可得 ”解得 05xs2时J(x)sf(2)=370.当2<x55时J(x)=490-80 80-20: 1-x.22-20. [80 20(-1)-20]-470-[80+20(c-1)]<470- .2-201.当=2024时,y= 40- 4 5.B 解析:g(x)有且仅有一个零点等价于/(x)=一有且仅有一个解 80 画出函数的大致图象如图所示,结合y=/(x)与y=-x的图象可知 立,故f(x)=390.因为370<300.所以ffx)的最大值为390.故当 当 *+a>0.即a-1时,v=f(x)的图象与y=-x的图象有唯一交 施用肥料为3千克时,该果树的单株利润最大,最大利润是390元 点,故选B. 9.解:(1)第一步:分析题中每个模型的特点.对干模型①.当D0时,匀 -### 速增长;对于模型②,当)0时,先慢后快增长;对于模型③,当l0 时,先快后慢增长. 第二步:根据题中材料和题图选择合适的函数模型,从题图看应选择 先快后慢增长的函数模型,故选y=klog (2)n. 6.D 解析:f(x)是R上的单调递减函数,.y=x?+(4a-3)x+3a在 第三步:根据题意把点的坐标代人选好的模型中,得到函数解析式 区间(-x,0)上单调递减,y=log(x+1)+1在区间(0.+x)上单调递 (+n=0. 跟{△=0. 将(0.0).(30.3)代入解析式得到 解得 减,且/(x)在区间(-x,0)上的最小值大于或等于/(0) &log,4+n=3."2k+n=3. (3-4a0. ()()一_ .ocac!. 3 3a=1. 第四步:验证模型是否合适 当x=90时,y=3log(6+2)-3=6.满足每天得分最高不超过6分的 图如图所示: 条件.所以函数的解析式为y-31g:(1-+2)-3. (2)由y=3lg(12)-3=4.5,得o(12)=2.5=1og2{. 得12-4/ ~5.6,:=54.84 所以每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼55分钟 参考答案 黑白题065