重难点突破：一元二次不等式恒成立与有解问题（5大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

重难点突破：一元二次不等式恒成立与有解问题 一元二次不等式能成立（有解）、恒成立问题的常用方法 1、判别式法 （1）不等式（不同时为0）能成立（有解）的条件是：或； （2）不等式（不同时为0）能成立（有解）的条件是：或； （3）不等式恒成立的条件是： 当时，，；当时， （4）不等式恒成立的条件是： 当时，，；当时， 2、分离参数法 首先根据不等式或等式性质将参数分离，将式子变为一边是参数，另一边是变量式的形式，然后求解变量式的最值，并根据最值求出参数的取值范围. 若参数为，变量为，则 能成立；能成立； 恒成立；能成立； 3、更换主元法 把已知取值范围的参数（如）当成主元，把要求取值范围的未知数看成参数.该法适用于题目中由两个变量，且已知取值范围的参数（如）只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解. 题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立 【例1】（23-24高一上·河南·期中）已知关于的不等式对任意的实数恒成立，则的最大值是 . 【变式1-1】（23-24高一上·江苏无锡·月考）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【变式1-4】（23-24高一上·天津·期中）已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 题型二 一元二次不等式在某区间上恒成立 【例2】（23-24高一上·吉林长春·月考）已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·安徽·月考）若命题“，”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【变式2-4】（23-24高一上·广东深圳·月考）不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立 【例3】（23-24高一上·山东淄博·月考）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高一上·云南红河·月考）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【变式3-4】不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为 . 题型四 一元二次不等式在实数集上有解 【例4】（23-24高一上·山东临沂·月考）若不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一上·内蒙古兴安盟·月考）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23高三上·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一上·北京·期中），使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高一上·全国·课后作业）若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 一元二次不等式在某区间上有解 【例5】（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高一上·广东惠州·月考）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：一元二次不等式恒成立与有解问题 一元二次不等式能成立（有解）、恒成立问题的常用方法 1、判别式法 （1）不等式（不同时为0）能成立（有解）的条件是：或； （2）不等式（不同时为0）能成立（有解）的条件是：或； （3）不等式恒成立的条件是： 当时，，；当时， （4）不等式恒成立的条件是： 当时，，；当时， 2、分离参数法 首先根据不等式或等式性质将参数分离，将式子变为一边是参数，另一边是变量式的形式，然后求解变量式的最值，并根据最值求出参数的取值范围. 若参数为，变量为，则 能成立；能成立； 恒成立；能成立； 3、更换主元法 把已知取值范围的参数（如）当成主元，把要求取值范围的未知数看成参数.该法适用于题目中由两个变量，且已知取值范围的参数（如）只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解. 题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立 【例1】（23-24高一上·河南·期中）已知关于的不等式对任意的实数恒成立，则的最大值是 . 【答案】4 【解析】由题意可得，解得，即的最大值是. 【变式1-1】（23-24高一上·江苏无锡·月考）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解 ，解得：， 易见B选项是充要条件，不成立； A选项中，可推导，且不可推导， 故是的必要不充分条件，A正确； C选项中，不可推导出，C错误； D选项中， 不可推导，D错误，故选：A. 【变式1-2】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】由题意可得对一切恒成立， 所以，解得，故选：D 【变式1-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【答案】BCD 【解析】当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确.故选：BCD 【变式1-4】（23-24高一上·天津·期中）已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立， 得，解得， 综上，实数的取值范围为. 题型二 一元二次不等式在某区间上恒成立 【例2】（23-24高一上·吉林长春·月考）已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以，所以.故选：B. 【变式2-1】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以.故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·安徽·月考）若命题“，”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知恒成立，只需， 因为，当且仅当时，即当时取等号， 所以的取值范围为.故选：B. 【变式2-3】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 【变式2-4】（23-24高一上·广东深圳·月考）不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为不等式对任意的及恒成立， 所以对任意的及恒成立， 令，因为及，所以，则在上恒成立， 因为的对称轴为， 所以的最大值为，所以， 所以实数的范围是.故选：D. 题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立 【例3】（23-24高一上·山东淄博·月考）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为.故选：C. 【变式3-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意，不等式恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 所以对任意，， 所以，解得， 故实数x的取值范围是．故选：D． 【变式3-2】（22-23高一上·云南红河·月考）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，恒成立， 设函数， 即，恒成立. 则，即， 解得，或.故选：C. 【变式3-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足，解得， 即x的取值范围为． 【变式3-4】不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】令 由条件对于满足的所有的值都成立，即 则，即 解得： 所以的取值范围为： 题型四 一元二次不等式在实数集上有解 【例4】（23-24高一上·山东临沂·月考）若不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式有解，即不等式有解， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或.故选：A 【变式4-1】（22-23高一上·内蒙古兴安盟·月考）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若关于的不等式有解, 则，解得.故选：C. 【变式4-2】（22-23高三上·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为.故选：C. 【变式4-3】（22-23高一上·北京·期中），使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，原式变为，解得，满足条件； 当时，显然，使成立； 当时，要使有解， 则需要，解得. 又，所以. 综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 【变式4-4】（23-24高一上·全国·课后作业）若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为恒成立， 所以原不等式等价于有解， 即有解， 所以，解得， 即实数的取值范围为，故选：C 题型五 一元二次不等式在某区间上有解 【例5】（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，命题“”为真命题， 则，解得或.故选：B 【变式5-1】（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故.故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】存在，使得不等式成立，等价于． 令，，当时，，所以．故选：B 【变式5-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式在时有解， 等价于当时，. 由二次函数的图象知， 当时，，所以.故选：A. 【变式5-4】（23-24高一上·广东惠州·月考）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为存在，使得不等式成立， 所以存在，使得不等式成立， 令， 因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$