3.4函数的应用(一)5题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.4函数的应用(一)5题型分类 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． （一） 一次函数模型 用一次函数模型解决实际问题的解题方法 (1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围； (2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型； (3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验． 注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 题型1：用一次函数模型解决实际问题 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)､乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为 C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为 1-2．（2024高一·全国·课后作业）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ． 1-3．（2024高一上·浙江·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高三·全国·专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x （二） 二次函数模型 1、二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符． 题型2：二次函数模型及应用 2-1．（2024高一上·云南昭通·期中）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 2-2．（2024·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为 件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元. 2-3．（2024高一上·广东东莞·期中）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 2-4用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)． （1）求f(50)的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？ （三） 幂函数模型应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 题型3：用幂函数模型解决实际问题 3-1．（2024高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 3-2．（2024高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 3-3．（2024高一上·江苏南通·期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ （四） 分段函数模型 1、用分段函数模型解决实际问题的解法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． 2、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 题型4：用分段函数模型解决实际问题 4-1．（2024高一上·辽宁）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 4-2．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 4-3．（福建福州外国语学校2023-2024学年高一上学期阶段性测试数学试题）某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：. (1)将利润（单位：元）表示成日产量x的函数； (2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入） 4-4．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 4-5．（2024高二下·山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ （五） 对勾函数模型 解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 题型5：对勾函数模型解决实际问题 5-1．（2024高一上·广东深圳·期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件. (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用） (2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？ 5-2．（2024高一上·上海徐汇·期末）某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元 (1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润． 5-3．（2024高二下·江苏镇江·期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 一、单选题 1．（2024高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 2．（2024高一上·北京·阶段练习）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（    ） A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位 3．（2024高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 4．（2024高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ）    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 6．（2024高一上·河南·期中）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 三、填空题 7．（2024高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 8．（2024高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 9．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 10．（2024高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    四、解答题 11．（2024高一上·河南濮阳·阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本） 12．（2024高一·全国·专题练习）A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示： 运行区间 公布票价 学生票 上车站 下车站 一等座 二等座 二等座 A B 81（元） 68（元） 51（元） (1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式. (3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？ 13．（2024高一上·江苏宿迁·期末）如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为点，不与，重合）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分图形的面积关于的函数解析式．    14．（2024高一上·山东泰安·期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 15．（2024高一上·山东）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本） (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 16．（2024高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式； (2)若，求的取值范围． 17．（2024高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 18．（2024高一·全国·课后作业）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中． (1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值； (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． 19．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) （2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. 20．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 21．（2024高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 22．（2024·湖北）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.    （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 23．（2024高二下·山西运城·阶段练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）. (2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 24．（2024高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 25．（四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考理科数学试题）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 26．（2024高一上·上海浦东新·期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）． (1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值，并求出此时x的值． 27．（2024高一上·福建厦门·开学考试）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”. 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画. (1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度； (2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？ (3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度） 28．（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 29．（2024高一上·湖北十堰·开学考试）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费； ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等； (2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围． 30．（四川省绵阳市绵阳南山中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）据悉某市一号线一辆列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合中小城市的运营.日前该市运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关：当间隔时间达到或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为. (1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； (2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值. 31．（2024高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.4函数的应用(一)5题型分类 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． （一） 一次函数模型 用一次函数模型解决实际问题的解题方法 (1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围； (2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型； (3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验． 注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 题型1：用一次函数模型解决实际问题 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)､乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为 C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为 【答案】ABCD 【分析】根据甲厂和乙厂的函数图象，结合一次函数的图象与性质，结合待定系数法，即可求解. 【详解】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确； 设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为， 代入点，可得，解得， 所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确； 设当时，设与之间的函数关系式为 代入点，可得，解得， 所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确. 故选：ABCD. 1-2．（2024高一·全国·课后作业）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ． 【答案】6 【分析】设A的横坐标为m，把代入两个直线方程，所得值相减（大减小）差为1，由此可解得，得结论． 【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx， 为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6． 故答案为：6． 1-3．（2024高一上·浙江·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得. 【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,符合题意； 当时,,不符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为15. 故选：C. 1-4．（2024高三·全国·专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 【答案】BD 【分析】根据图表逐项判断即可 【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确. 故选：BD （二） 二次函数模型 1、二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符． 题型2：二次函数模型及应用 2-1．（2024高一上·云南昭通·期中）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 【分析】（1）由利润销售总收入总成本可得答案； （2）对于配方法即可求得最大值． 【详解】（1） . （2）， ∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 2-2．（2024·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为 件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元. 【答案】 200 7.94 【分析】将利润表示为关于的一个二次函数，求出该函数的最值即可. 【详解】由题意易得日利润， 故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元， 故答案为：200，7.94. 2-3．（2024高一上·广东东莞·期中）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440. 【分析】（1）将x=6时，y=220代入关系式，即可求出a； （2）根据每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数，根据二次函数求最值的方法得出最大值对应的x值． 【详解】（1）因为.且时，. 所以解得. . （2）由（1）可知，该商品每日的销售量.    所以商场每日销售该商品所获得的利润：    因为为二次函数，且开口向上，对称轴为. 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.    所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法及生活中的优化问题，考查建模思想，属于中档题． 2-4用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)． （1）求f(50)的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？ 【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大． 【分析】（1）由计算可得； （2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值． 【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元， 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5． （2）由题知， f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120 ＝－x＋4＋250， 依题意得 解得20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]， y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282， 当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元． （三） 幂函数模型应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 题型3：用幂函数模型解决实际问题 3-1．（2024高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 3-2．（2024高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 3-3．（2024高一上·江苏南通·期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. （四） 分段函数模型 1、用分段函数模型解决实际问题的解法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． 2、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 题型4：用分段函数模型解决实际问题 4-1．（2024高一上·辽宁）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)4千克，480元﹒ 【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式； （2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可． 【详解】（1）依题意，又， ∴． （2）当时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为． 当时，， 当且仅当时，即时等号成立． ∵，∴当时，． ∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元． 4-2．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1); (2)100（百辆），2300万元. 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【详解】（1）由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，； 当时，, 当且仅当， 即时取得等号； 综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元． 4-3．（福建福州外国语学校2023-2024学年高一上学期阶段性测试数学试题）某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：. (1)将利润（单位：元）表示成日产量x的函数； (2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入） 【答案】(1) (2)当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元 【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润的解析式； （2）结合（1）中的解析式，分讨讨论的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得的最值，同时得到相应的值. 【详解】（1）根据题意， 当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，； 当时，易知是减函数， 所以； 综上：当时，， 所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元. 4-4．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 【答案】(1) (2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元. 【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解； （2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求. 【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得， 则. （2）当，，，对称轴为， 则函数在，上单调递增，故当时，， 当，时， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元. 4-5．（2024高二下·山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果； （2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可. 【详解】（1）当时，， 当时,， 所以. （2）当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. （五） 对勾函数模型 解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 题型5：对勾函数模型解决实际问题 5-1．（2024高一上·广东深圳·期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件. (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用） (2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意可得销售额，则利润，，化简即可得出答案； （2）由（1）得，，利用基本不等式可得，结合对勾函数的性质，分类讨论，，求出最大值，即可得出答案. 【详解】（1）由题意得，； （2）由（1）得，， ， ，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的性质可知： 当时，在上单调递增， ∴当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 综上所述，当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元； 当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元. 5-2．（2024高一上·上海徐汇·期末）某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元 (1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)38万部时，最大利润为7170万元. 【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果； （2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润. 【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元）， 故利润，而， 故， 整理得，； （2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为； 时，， 其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值 故在 时，y取得最大值 而， 故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元. 5-3．（2024高二下·江苏镇江·期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【分析】根据题设可得，，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值. 【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为， 油耗为， 则总费用， ， 由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，取到最小值， 最小值为. 最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 一、单选题 1．（2024高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 2．（2024高一上·北京·阶段练习）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（    ） A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位 【答案】D 【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可． 【详解】解：设每生产单位试剂的成本为， 因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元， 职工的工资总额为元，后续保养总费用为元， 则， 当且仅当，即时取等号， 满足， 所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D． 3．（2024高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 4．（2024高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设，代入求解，然后计算出的体重，确定选项. 【详解】根据题意设， 当，,则， 当，则，所以 故选：D 二、多选题 5．（2024高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ）    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故y与x的关系式为，故D正确． 故选：BCD 6．（2024高一上·河南·期中）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 【答案】AD 【分析】将销售额表示成一个关于的函数，然后确定满足条件的的可能值即可. 【详解】设此种商品的月销售额为， 由题意知，单价为，销售量为， 所以销售额：， 所以， , , . 故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13. 故选：AD 三、填空题 7．（2024高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 【答案】， 【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式. 【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米, ∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得： ，, 故答案为：，. 8．（2024高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元， 则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值． 【详解】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 9．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 10．（2024高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（2024高一上·河南濮阳·阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本） 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解； （2）根据题意求分段函数解析式； （3）根据利润公式及分段函数入代求解即可. 【详解】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个， 则. （2）当时，； 当时，； 当时，. （3）设工厂获得的利润为元，则， 即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元. 12．（2024高一·全国·专题练习）A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示： 运行区间 公布票价 学生票 上车站 下车站 一等座 二等座 二等座 A B 81（元） 68（元） 51（元） (1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式. (3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？ 【答案】(1)10人、20人与180人； (2)； (3)至少要花11233元，最多要花16980元. 【分析】（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元. 【详解】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人， 若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：， 解得，则. 答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人. （2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人， ①当时，最经济的购票方案为： 学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票. 所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即. ②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张. 所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即. 综上： （3）由（2）知，当时，， 由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，， 由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元. 13．（2024高一上·江苏宿迁·期末）如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为点，不与，重合）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分图形的面积关于的函数解析式．    【答案】 【分析】分别过点作，，垂足分别是点，．根据已知条件求出等腰梯形的高和上底边长，再根据点的位置分类讨论可求出面积关于的函数解析式． 【详解】分别过点作，，垂足分别是点，． 因为四边形是等腰梯形，底角为，，所以． 又，所以． （1）当点在上，即时，；    （2）当点在上，即时，；    （3）当点在上，即时， ．    故函数的解析式为. 14．（2024高一上·山东泰安·期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【答案】(1) (2)当年产量为百件时，获利最大. 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【详解】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为万元. 当时，万元， 当且仅当百件时等号成立. 综上所述，当年产量为百件时，获利最大. 15．（2024高一上·山东）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本） (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 【答案】(1) (2)70万盒 【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可； （2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，， 当产量大于50万盒时，， 故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为 （2）当时，； 当时，， 当时，取到最大值，为1200．                     因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大． 16．（2024高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、写出分段函数即可； （2）解分段函数不等式，即可求出. 【详解】（1）当，时，； 当，时，． 故 （2）当，时，由，解得； 当，时，由，解得． 故的取值范围是． 17．（2024高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 【答案】(1) (2)立方米 (3)元 【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解. 【详解】（1）因为某户该月用水立方米， 按收费标准可知，当时，； 当时，； 当时，． 所以 （2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档， 所以， 解得． 所以该月的用水量为立方米． （3）因为， 所以． 当时，，此时． 所以此时两户一共需要支付的水费是元． 18．（2024高一·全国·课后作业）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中． (1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值； (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． 【答案】(1)4 (2)7分钟时，280（元） 【分析】（1）根据分段函数的表达式进行判断，然后求解不等式即可得到发车时间间隔t的值； （2）求出的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可. 【详解】（1）当时，，不满足题意，舍去， 当时，，即． 解得（舍）或． 且，． 所以发车时间间隔为4分钟． （2）由题意可得 当时，（元） 当时，（元） 所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）． 19．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) （2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. 【答案】（1），；（2）；（3）0.65. 【解析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由，进而结合基本不等式求出的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，可知在上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，即可得出的值. 【详解】（1）由题意， 即； （2） 因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立， 所以 故政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为万元. （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，则在上恒成立 不等式整理得， 令，则，则 令 任取，且 则 ， 即函数在上单调递增 可得 所以，即 所以当复工率达到0.65时，对任意的（万元），公司都不产生亏损. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 【答案】(1)车流密度的取值范围是 (2)隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案； （2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案. 【详解】（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时）， 代入，解得， 所以. 当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是. （2）解：由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， . 当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 21．（2024高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 【分析】（1）根据已知条件及年利润年销售收入固定成本变动成本即可求解； （2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 所以； （2）当时，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以当时，取得最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 因为， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 22．（2024·湖北）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.    （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（Ⅰ）y=225x+ （Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ （2） ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 23．（2024高二下·山西运城·阶段练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）. (2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)答案见解析 (2)游客为40万人时利润最大，最大为370万． 【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式． （2）根据（1）中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 （2）解：当时，； 当时，； 当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立， 故， 综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万． 24．（2024高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元． 【分析】（1）根据已知条件，解出k，进而由题意得到函数关系式； （2）根据函数形式知，要求函数的最大值，可以用基本不等式来求解. 【详解】（1）由题知，当时，，代入得． ． 将代入得． 所以，所求函数为． （2）由（1）知，． 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时取等号． 所以． 故月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元． 25．（四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考理科数学试题）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)封装160万片时，公司可获得最大利润 【分析】（1）根据利润=销售额-成本即可的利润的函数解析式； （2）根据（1）利润的函数解析式，分段求解函数最值，最终比较得最大值即可. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上可知； （2）解：当时，， ∴当时，利润取最大值700万元； 当0时，， ∴当且仅当“”，即“”时，利润取最大值730万元， 综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元． 26．（2024高一上·上海浦东新·期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）． (1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值，并求出此时x的值． 【答案】(1)， (2)当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为． 【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积: , 根据 边长为正得其定义域为 ； （2）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题设，得，． （2）因为，所以， 当且仅当时等号成立，从而． 故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为． 27．（2024高一上·福建厦门·开学考试）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”. 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画. (1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度； (2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？ (3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度） 【答案】(1)，千米分钟； (2)小红5分钟后与潮头相遇； (3)小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟. 【分析】（1）根据给定时间及坐标系求出m，再计算速度作答. （2）求出小红从乙地出发时潮头离乙地的距离，设出从出发到与潮头相遇的时间，列方程求解作答. （3）根据给定数据求出s与t的函数关系，求出小红追赶潮头距离乙地的距离与t的关系，由相距1.8千米列出方程，求解作答. 【详解】（1）到的时间是30分钟，则，即， 潮头从甲地到乙地的速度（千米分钟）. （2）因潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进（千米）， 此时潮头离乙地（千米），设小红出发分钟与潮头相遇， 于是得，解得， 所以小红5分钟后与潮头相遇. （3）把，代入，得，解得，， 因此，又，则， 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得， 则当时，， 即从分钟时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头， 设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为， 当时，，解得：，因此有， 最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有， 解得，（舍去）， 于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时（分钟）， 因此共需要时间为（分钟）， 所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟. 28．（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 【答案】(1)8小时 (2)1.6 【分析】（1）由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． （2）设从第一次喷洒起，经小时后， 其浓度， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为． 29．（2024高一上·湖北十堰·开学考试）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费； ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等； (2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围． 【答案】(1)48000元；37辆 (2) 【分析】（1）确定每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的每辆车的月租费，即可求得甲公司的月利润；列出每个公司的月利润，可得方程，求得答案； （2）由题意列出甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差的表达式，结合二次函数的性质列出不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得=48000元， 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元； 设每个公司租出的汽车为x辆，设两公司的月利润分别为，月利润差为y， 则， ， 由题意可得：， 解得：， ∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； （2）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则此时利润差为=， 函数图象对称轴为直线，          ∵x只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：，经检验此时满足捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 故a的取值范围为. 30．（四川省绵阳市绵阳南山中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）据悉某市一号线一辆列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合中小城市的运营.日前该市运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关：当间隔时间达到或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为. (1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； (2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值. 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案； （2）由题意可得，，采用换元并结合二次函数性质, 【详解】（1）当时，设，a为比例系数， 由时满载可知， 即，则， 当时，， 故当时，, 故. （2）由题意可得，， 化简得，， 令，则， 当，即时，符合题意，此时. 31．（2024高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】(1)一次支付好，理由见解析 (2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【详解】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元, 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$