2.4一元二次方程根与系数的关系 自主学习同步练习题 2024-2025学年湘教版九年级数学上册

2024-2025学年湘教版九年级数学上册《2.4一元二次方程根与系数的关系》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．4046 D．2023 3．关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．或0 4．若是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 6．定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 7．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 8．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 二、填空题 9．请你写出两个根分别为1， 的一元二次方程： ． 10．已知关于的一元二次方程根的判别式的值是，则该方程的根是 ． 11．若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为 ，方程的根为 ． 12．一元二次方程与的所有实数根的和等于 ． 13．已知 ，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则m的值为 ． 14．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 15．已知矩形的周长为，面积为，且和的长恰好是方程的两根，则 ． 16．已知关于的一元二次方程的两实数根为．设，则的最小值为 ． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 18．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求k的值． 20．关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 22．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 参考答案 1．解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 2．解： 是方程的两个实数根 ． 故选：C． 3．解：∵关于的一元二次方程的两实数根互为相反数， 设方程两根为，， ∴， ∴ 解得或 ∵ ∴解得或 ∴． 故选：B． 4．解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 所以方程的另一个根为3． 故选：A 5．解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根分别是和， ， ． 故选：B． 6．解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2， ，． 选项A符合题意， 故选A. 7．解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等， ∴， 解得， ∴正根为1， ∵的另一个根为4， ∴， ∴， ∵方程有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则， ∴， ∴另一个根为， ∴的两个根分别为1，， 故选：D． 9．解：，， 以1和为根的一元二次方程可为． 故答案为：（答案不唯一）． 10．解：的一元二次方程根的判别式的值是，即， ∴一元二次方程有两个不相等的实根， ∴， ∴一元二次方程为，变形得，， ∴，解得，，， 故答案为：，． 11．解：整理方程得： 由题意得： ∴ 故两个根为： 故答案为：； 12．解：根据， 故实数根的和为， 实数根的和为， 故所有实数根的和等于， 故答案为：． 13．解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 14解：，是方程的两个实数根， ， 将代入方程得，，即， 原式 ． 故答案为：． 15．解：和的长恰好是方程的两根， ，， 矩形的周长为，面积为， ，， ，， ， 故答案为：． 16．解：已知关于的一元二次方程的两实数根为， 即的两实数根为， ，， ， ， y随m的增大而减小， 当时，y最小，的最小值为， 故答案为：1． 17．解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 18．（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 19．解：根据题意，得 ，．     ∵ ∴， 解得． 20．（1）解：根据题意得：， ∵，异号，，， ∴， ∴此方程有两个不等实数根； （2）∵关于的方程的根是，， ∴，， ∴，， ∵方程， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或， ∴方程的根为或． 21．（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2． ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为 22．（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$