八年级数学第一次月考卷（人教版，测试范围：第十一～十二章）-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分．） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（本题共 8小题，共 72分．第 17-18题每题 6分，第 19-20 题每题 8 分，第 21-22 题每题 10分，第 23-24 题每题 12分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.94 构成三角形的条件 2 0.85 用SSS直接证明三角形全等（SSS）；用SAS直接证明三角形全等（SAS）；用HL证全等（HL） 3 0.85 多边形截角后的边数问题 4 0.85 根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质 5 0.85 根据三角形中线求面积；角平分线的判定定理 6 0.65 两直线平行内错角相等；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 7 0.85 正多边形的外角问题 8 0.65 三角形三边关系的应用；倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 9 0.65 三角形中位线与三角形面积问题 10 0.4 与角平分线有关的三角形内角和问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 二、填空题 11 0.85 几何问题(一元一次方程的应用)；多边形对角线的条数问题 12 0.65 三角形内角和定理的应用 13 0.85 与三角形的高有关的计算问题；与角平分线有关的三角形内角和问题 14 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理 15 0.65 三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用 16 0.65 全等三角形的性质；全等三角形综合问题 三、解答题 17 0.65 两直线平行内错角相等；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据三线合一证明；格点作图题 18 0.65 求不等式组的解集；三角形三边关系的应用 19 0.85 全等的性质和SSS综合（SSS）；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 20 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS） 21 0.65 全等的性质和SSS综合（SSS）；角平分线的性质定理 22 0.65 几何图形中角度计算问题；直角三角形的两个锐角互余；与角平分线有关的三角形内角和问题 23 0.4 角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形折叠中的角度问题 24 0.65 全等的性质和SSS综合（SSS）；全等的性质和SAS综合（SAS） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C C A C B C B B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．六 12．/360度 13．/5度 14． 15．20°． 16．3或7或10 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 【详解】（1）如图，格点即为所求；    （2）如图，即为所求．    18． 【详解】（1）解：由题意有，且，， ∴， ∴ 又∵ ∴ 故 又因为 ∴ （2）解：∵周长为 ∴ 又∵， ∴ ∴， 19． 【详解】解：连接，   ∴在与中    ∴ ∴ ∴在与中 ∴ 20． 【详解】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由为： 由（1）得，， ， 则． 21． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ，，， ， ， 平分； （2）如图，过点作于点， 平分，， ， ， ， ， 设的边上的高为， ，， ，即． 22． 【详解】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， ∴， 故答案为：17； （2）解：①是“准互余三角形； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 23． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十一章~第十二章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．7 2．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 4．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（　　） A．28° B．32° C．58° D．60° 5．如图所示，点是△ABC内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（    ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 6．如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，．已知则的长为（） A．5 B．6 C．7 D．6．5 7．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则（    ） A． B． C． D．不存在 8．如图△ABC中，是中线，，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 9．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　） A．25 B．.30 C．35 D．40 10．如图，中，，△ABC的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是 边形． 12．如图，等于 ． 13．如图，在△ABC中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 14．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ． 15．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为 ． 16．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，正方形的四个顶点都是格点，点是格点，且在边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． (1)找到格点，并连接，使，且； (2)连接，过作于点； 18．已知△ABC的三边a，b，c满足，，且． (1)求c的取值范围； (2)若△ABC的周长为，求c的值． 19．如图，在△ABC和中，与相交于点O，，．求证：． 20．如图，在△ABC中，、分别是△ABC的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 21．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，△ABC的面积是，求的长和的值． 22．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若△ABC是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若△ABC是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 23．（1）如图，把△ABC沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在△ABC内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程． 24．【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 3 分，共 3 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 1 1 . ________________ 1 4 . ________________ 1 2 . ________________ 1 5 . ________________ 1 3 . ________________ 1 6 . ________________ 三 、解答题 （ 本题共 8 小题，共 72 分．第1 7 - 18 题 每题6 分， 第 19 -2 0 题每题8 分 ，第 21 -2 2 题每题 10分 ，第 23 -2 4 题每题 12分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 7 ．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（6分） 19 ．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 2 1 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 2 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（1 2 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三 、解答题 （ 本题共 8 小题，共 72 分．第1 7 - 18 题 每题6 分， 第 19 -2 0 题每题8 分 ，第 21 -2 2 题每题 10分 ，第 23 -2 4 题每题 12分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 7 ．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（6分） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 21 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十一章~第十二章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．7 2．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 4．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（　　） A．28° B．32° C．58° D．60° 5．如图所示，点是△ABC内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（    ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 6．如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，．已知则的长为（） A．5 B．6 C．7 D．6．5 7．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则（    ） A． B． C． D．不存在 8．如图△ABC中，是中线，，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 9．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　） A．25 B．.30 C．35 D．40 10．如图，中，，△ABC的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是 边形． 12．如图，等于 ． 13．如图，在△ABC中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 14．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ． 15．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为 ． 16．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，正方形的四个顶点都是格点，点是格点，且在边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． (1)找到格点，并连接，使，且； (2)连接，过作于点； 18．已知△ABC的三边a，b，c满足，，且． (1)求c的取值范围； (2)若△ABC的周长为，求c的值． 19．如图，在△ABC和中，与相交于点O，，．求证：． 20．如图，在△ABC中，、分别是△ABC的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 21．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，△ABC的面积是，求的长和的值． 22．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若△ABC是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若△ABC是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 23．（1）如图，把△ABC沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在△ABC内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程． 24．【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3分，共 18分．） 11.________________ 14. ________________ 12. ________________ 15. ________________ 13. ________________ 16. ________________ 三、解答题（本题共 8 小题，共 72分．第 17-18 题每题 6 分，第 19-20 题每题 8 分，第 21-22 题每题 10分，第 23-24题每题 12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 18．（6分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十一章~第十二章（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单选题 1．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是3，7，m，它们能构成三角形， ∴， ∴， ∴整数m的最大值是9． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法：，进行判断即可； 【详解】解：A、利用，不能判断两个三角形全等，符合题意； B、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； C、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； D、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 3．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 4．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（　　） A．28° B．32° C．58° D．60° 【答案】C 【分析】先利用外角与内角的关系求出∠4，再利用平行线的性质求出∠2． 【详解】解：如图， ∵∠3＝∠1＝28°，∠4＝∠3+∠A，∠A＝30°， ∴∠4＝28°+30°＝58°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠4＝58°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（    ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【分析】根据点到、的距离相等可得点在的角平分线上，由可得边上的中线上，即可求解． 【详解】解：由点到、的距离相等可得点在的角平分线上， 由可得边上的中线上， 则点是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的判定以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 6．如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，．已知则的长为（）      A．5 B．6 C．7 D．6．5 【答案】C 【分析】根据题意得出，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， 在和中， 即， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． 7．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，先根据题意求出小林左转8次回到了点P，再根据八边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：由题意得，小林一共左转了次回到了点P， ∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个八边形， ∴， 故选；B． 8．如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至点E，使，连接，利用证明，得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵是上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关系． 9．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　）    A．25 B．.30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC． 【详解】．解：BD＝2DC， ∴S△ABD＝2S△ACD， ∴S△ABC＝3S△ACD， ∵E是AC的中点， ∴S△AGE＝S△CGE， 又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4， ∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝3+3+4＝10， ∴S△ABC＝3S△ACD＝3×10＝30． 故选B．    【点睛】此题考查三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．解题关键在于注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 10．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题 11．若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是 边形． 【答案】六 【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可． 【详解】解：设此多边形有条边，由题意， 得， 解得， 这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查多边形的对角线；解题关键在于理解题意找出等量关系列出方程． 12．如图，等于 ．    【答案】/360度 【分析】结合已知图形，根据三角形的内角和定理进行角的计算即可； 【详解】   解：∵ ， ； 故答案为：； 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，结合已知条件将化为解题的关键． 13．如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 【答案】/5度 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键． 根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可． 【详解】解：∵在中，是高，是角平分线，，， ∴，， ∴． 故答案为： 14．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F，    ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 15．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为 ． 【答案】20°． 【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，在△ABF和△PCF中根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，再根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PCD－∠D，再根据PB、PC是角平分线即可推出2∠P=∠A－∠D，问题即得解决． 【详解】解：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，如图， ∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°，∠AFB=∠PFC， ∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF， ∵∠P+∠PBE=∠PED，∠PED=∠PCD－∠D， ∴∠P+∠PBE=∠PCD－∠D， ∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A－∠D+∠ABF+∠PCD， ∵PB、PC是角平分线， ∴∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE， ∴2∠P=∠A－∠D， ∵∠A=50°，∠D=10°， ∴∠P=20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质和角平分线的定义等知识，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 16．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解： ，，， ，当E在线段上时，若， ， ， ， ， ； 若， ， ， （舍去）， 当E在线段AB延长线上时，若， ， ， ， 若， ， ， ， 当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题 17．如图，正方形的四个顶点都是格点，点是格点，且在边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．    (1)找到格点，并连接，使，且； (2)连接，过作于点； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在延长线上取格点，连接、，使得，会有，即，结合，可证，则，，故，即，则，故格点即为所求； （2）连接，在点的左侧，过点的水平网格线上取格点；在点的右侧，过点的水平网格线上取格点，使得，会有，连接交于点，连接，根据“两直线平行，内错角相等”，可得、，可证，可得，即点为的中点，根据、等腰三角形三线合一的性质，可得，故即为所求． 【详解】（1）如图，格点即为所求；    （2）如图，即为所求．    【点睛】本题主要考查了网格作图，涉及了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质等，灵活运用知识点作图是解题的关键． 18．已知的三边a，b，c满足，，且． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出|，结合，则，故，即可作答； （2）由的周长为，得，又因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：由题意有，且，， ∴， ∴ 又∵ ∴ 故 又因为 ∴ （2）解：∵周长为 ∴ 又∵， ∴ ∴， 【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 19．如图，在和中，与相交于点O，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】连接，首先证明出，得到，然后证明出． 【详解】解：连接，   ∴在与中    ∴ ∴ ∴在与中 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 20．如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用即可得证； （2）与垂直，理由为：根据（1）的结论得到，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由为： 由（1）得，， ， 则． 21．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是，求的长和的值． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)， 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得是解题关键． (1)利用三条对应边相等证明来得到即可证明． (2) 过点作于点，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及三角形的面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ，，， ， ， 平分； （2）如图，过点作于点， 平分，， ， ， ， ， 设的边上的高为， ，， ，即． 22．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析； ②或． 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， ∴， 故答案为：17； （2）解：①是“准互余三角形； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 23．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 24．【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3），见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中，， ≌， ，， ，， 在和中，， ≌， ， ， ， ， 即， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$