精品解析：四川省成都市天府七中执诚学部2022-2023学年九年级上学期10月学业检测数学试题

2022-2023学年四川省成都市天府七中执诚学部九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图，中，，则的正弦值可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 如图，在中，，，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 将中的a，b都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍 D. 不变 5. 同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（　　） A. 0.8米 B. 6.4米 C. 12.8米 D. 25.6米 6. 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则与的面积之比为（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 方程的根为_______． 10. 若分式无意义，则x的值为________． 11. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____． 12. 如图，是的高，，点R在边上，点S在边上，，垂足为E．当时，则_____． 13. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为______． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解不等式组： 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标． 16. 为了解“幸福里小区”居民接种“新冠疫苗”的情况，社区工作人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类—接种了只需要注射一针的疫苗；B类—接种了要注射两针，且两针之间要间隔一定时间的疫苗；C类—接种了要注射三针，且每两针之间要间隆定时间的疫苗；D类—还没有接种．根据调查结果给制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）此次拍样调查的人数是______；______； （2）补全条形统计图； （3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名，要从这4人中随机挑选2人，求恰好抽到1男和1女的概率． 17. 2022年北京冬季奥运会的跳台滑雪中心赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点C、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），的正切值为，通过GPS高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为．由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置D后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为多少米．（参考数据：） 18. 如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则的值是 _____． 20. 已知是一元二次方程的两根，则的值为 _____． 21. 定义一种新运算：观察下列各式： 若，计算的值为_____． 22. 如图所示，已知：点，，．在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第个，第个，第个，……，则第1个等边三角形的面积等于 _____；则第个等边三角形的面积等于 _____． 23. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，且，按以下步骤操作： 第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为 _____； 第二步，分别在，上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为 _____． 五、解答题（共3小题，共30分） 24. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某负责生产冰墩墩硅胶外壳的公司收到了一笔订单． （1）若这笔订单总量为48万个，按原计划生产的日产量计算，则完成这笔订单的生产时间将超过一年，扩大生产规模后，日产量可提高到原来的30倍，生产时间能减少464天，扩大生产规模后每天生产多少个冰墩墩硅胶外壳？ （2）该公司又陆续接收到生产冰墩墩硅胶外壳的订单，公司决定关停旧设备，并购买甲、乙两种节省能源的新设备共10台进行生产，甲、乙两种设备每台的日产量分别为4000个，2000个，已知甲种设备每台2000元，乙种设备每台1500元，要求总日产量不低于360000个，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． （1）求的面积； （2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为射线（不含点）上一点，过点作轴的平行线交射线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试运用：如图（2），在中，点D是边上一动点，，且，与相交于点F，在点D运动的过程中，当时，求的长度； 拓展创新：如图（3），D是外一点，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年四川省成都市天府七中执诚学部九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图，中，，则的正弦值可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，直接计算判别式，确定符号即可确定答案． 【详解】解：一元二次方程， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根是解决问题的关键． 3. 如图，在中，，，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE 4. 将中的a，b都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式的基本性质进行计算判断即可解答． 【详解】解：由题意得：， 将中的a、b都扩大3倍，则分式的值扩大3倍． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5. 同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（　　） A. 0.8米 B. 6.4米 C. 12.8米 D. 25.6米 【答案】C 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：设树的高度为h米 由题意可得： 解得：h＝12.8 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于对相似三角形知识的熟练掌握． 6. 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则与的面积之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似的性质，位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似图形；通过相似的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比为． 故选：C 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 10. 若分式无意义，则x的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】根据题意得∶， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分式的分母等于0是解题的关键． 11. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设 则 且 再利用，列方程，解方程可得答案. 【详解】解：设 则 且 ， 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，舍去，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，分式方程的解法，掌握“黄金分割比的含义”是解本题的关键. 12. 如图，是的高，，点R在边上，点S在边上，，垂足为E．当时，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．根据，可得出，故，再由相似三角形的性质可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：，，，， ， ∴， ，即． 解得， ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知，，即，则可利用勾股定理求得，从而求得． 【详解】解：四边形为菱形， ， 依题意．题中作图为作边垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得： ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）原式第一项利用二次根式的化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式＝2+1- ＝2； （2）， 由①得：x＞2.5， 由②得：x≤4， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握零指数幂、三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及不等式的性质． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，即为所作， 【解析】 【分析】（1）利用点关于y轴对称的性质得出的坐标，顺次连接点即可得出所求图形； （2）利用关于原点位似图形的性质得出，的坐标，顺次连接点即可得出所求图形． 【小问1详解】 利用点关于y轴对称的性质得出坐标， 顺次连接点即可得； 【小问2详解】 ∵位似比为， 又要求在y轴的左侧， ∴得到点， 顺次连接点即可得． 【点睛】本题考查了作图—位似变换和轴对称变换，理解轴对称图形与位似图形的画法是解题的关键． 16. 为了解“幸福里小区”居民接种“新冠疫苗”的情况，社区工作人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类—接种了只需要注射一针的疫苗；B类—接种了要注射两针，且两针之间要间隔一定时间的疫苗；C类—接种了要注射三针，且每两针之间要间隆定时间的疫苗；D类—还没有接种．根据调查结果给制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）此次拍样调查的人数是______；______； （2）补全条形统计图； （3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名，要从这4人中随机挑选2人，求恰好抽到1男和1女的概率． 【答案】（1）200；30 （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）由样本估算整体，得40÷20%=200 60÷200×100%=30%； （2）B类人数：200×40%=80；C类人数：200×=20； （3）利用树状图，抽到1男和1女的情况有8种，总情况数为12种，代入概率计算即可. 【小问1详解】 解：此次抽样调查的人数为：40÷20%=200（人） D类疫苗的人数百分比为：60÷200×100%=30% ∴m=30 故答案为：200，30 【小问2详解】 B类人数：200×40%=80；C类人数：200×=20； 【小问3详解】 画树状图如下： 根据树状图列出等可能总情况数为12种， 其中抽到1男和1女的情况有8种， ∴抽到1男和1女的概率为=. 【点睛】本题主要考查树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图. 17. 2022年北京冬季奥运会的跳台滑雪中心赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点C、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），的正切值为，通过GPS高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为．由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置D后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为多少米．（参考数据：） 【答案】赛道长度约为米． 【解析】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，再利用的正切可得的长度，根据坡度可得的长度，最后由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可得：四边形是矩形， ∴米， 中，米， ∴（米）， ∴（米）， ∵的正切值为， ∴，， ∴（米）． 答：赛道长度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 18. 如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】发现：，；（1）①秒②秒（2）满足条件的t的值为或秒 【解析】 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，综合性较强，证明三角形相似是解题的关键， 发现：利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； 猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出结论；②先求出的面积，进而求出的面积，最后用的面积建立方程并解方程，即可得出结论； （2）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：发现：在中，， ∴， ∵， ∴， ， 由运动知，， ， ∴， 故答案为：，； 猜想：（1）①∵， ∴， ∴秒； ②∵ ， ∴， ∵与四边形面积比值为， ∴， 如图，过点M作于D， 在中，，， ∴， ∴， 解得：秒； （2）∵与相似， 当时， ∴ ， ∴ ， ∴秒， 当时， ∴， ∴， ∴秒， 即：满足条件的t的值为或秒； 四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知得到，代入分式化简即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为： 20. 已知是一元二次方程的两根，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 21. 定义一种新运算：观察下列各式： 若，计算的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，理解新定义的运算与通常的加、减、乘、除、乘方的关系，列出相应的代数式，再根据通常运算的运算法则进行计算是正确解答的关键． 先根据新定义运算得出a、b之间的关系，再将要求的代数式根据定义的运算转化为通常的运算，化简后整体代入求值即可． 【详解】解：当时， 即：， ， ， 故答案为：． 22. 如图所示，已知：点，，．在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第个，第个，第个，……，则第1个等边三角形的面积等于 _____；则第个等边三角形的面积等于 _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题目已知条件可推出，，，依此类推，第个等边三角形的边长等于，根据三角形的面积公式即可得到结论； 【详解】解：如图， ， 点，，， ，， ， ， ， 而为等边三角形，， ，则， 在中，， 第个等边三角形的边长为， 第个等边三角形的面积等于， 同理得：， 依此类推，第个等边三角形的边长等于， 第个等边三角形的边长， 第个等边三角形的面积等于， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质及解直角三角形，归纳出边长的规律是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，且，按以下步骤操作： 第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为 _____； 第二步，分别在，上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为 _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，过点F作于T，则四边形是矩形，连接，，设交于J．证明，求出，，设，根据，可得，解方程求出x，可得结论． 【详解】解：如图，过点F作于T，则四边形是矩形，连接，，设交于J． 方法一： ∵四边形是矩形， ，， ∵四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 方法二： 过点F作于T， ， ， ， ， ， ， ， 设， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 五、解答题（共3小题，共30分） 24. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某负责生产冰墩墩硅胶外壳的公司收到了一笔订单． （1）若这笔订单总量为48万个，按原计划生产的日产量计算，则完成这笔订单的生产时间将超过一年，扩大生产规模后，日产量可提高到原来的30倍，生产时间能减少464天，扩大生产规模后每天生产多少个冰墩墩硅胶外壳？ （2）该公司又陆续接收到生产冰墩墩硅胶外壳的订单，公司决定关停旧设备，并购买甲、乙两种节省能源的新设备共10台进行生产，甲、乙两种设备每台的日产量分别为4000个，2000个，已知甲种设备每台2000元，乙种设备每台1500元，要求总日产量不低于360000个，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1）扩大生产规模后每天生产30000个冰墩墩硅胶外壳 （2）购买甲种设备8台，乙种设备2台 【解析】 【分析】(1)设扩大生产规模前每天生产x个冰墩墩硅胶外壳，则扩大生产规模后每天生产30x个冰墩墩硅胶外壳.根据题意列方程，求出 x的值即可知扩大生产规模前每天生产的数量，进而可求出扩大生产规模后每天生产的数量． (2) 设购买甲种设备m台，乙种设备（）台，根据题意列不等式先求出m的范围，再在此范围内取m的正整数值，再分别求出每种方案所需资金，找出最省钱的一种即可． 【小问1详解】 解：（1）设扩大生产规模前每天生产x个冰墩墩硅胶外壳，则扩大生产规模后每天生产30x个冰墩墩硅胶外壳， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， . 答：扩大生产规模后每天生产30000个冰墩墩硅胶外壳． 【小问2详解】 （2）设购买甲种设备m台，乙种设备（）台，根据题意得，得 ， 解得，， 又∵m≤10, ∴8≤m≤10, ∵m是正整数， m=8，9，10 当时，购买资金为（元）， 当时，购买资金为（元）， 当时，购买资金为（元）， ， 最省钱的购买方案为：购买甲种设备8台，乙种设备2台．. 【点睛】本题主要考查了列分式方程解应用题和运用一元一次不等式组解决方案问题．正确的列方程和不等式是解题的关键． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． （1）求的面积； （2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为射线（不含点）上一点，过点作轴的平行线交射线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先将点代入，求得，再根据解析式求出点，则，，直接计算的面积即可； （2）利用勾股定理计算出，则点，使用待定系数法求出直线的解析式为．根据题意，点的坐标为，点的坐标为，因此； （3）分三类讨论，当点为直角顶点时，容易判断，由（2）可得，根据列方程解出，此时点的坐标为；当点为直角顶点时，同理①可得，则；点为直角顶点时，作于点，容易判断，则，解得或，对应的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴一次函数解析式为， 令，得， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在射线上，且点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点为直角顶点时，如图， ∵，轴， ∴轴， ∵点， ∴点的坐标为， ∴， 由（2）可知，， ∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ∴， ∴，即， 解得或， ∵， ∴，此时点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图， 同理①可得，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， ∴解得或（舍去）， ∴点的坐标为； ③当点为直角顶点时，如图，作于点， ∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ∴，， ∵， ∴点为的中点， ∴，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或， 26. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试运用：如图（2），在中，点D是边上一动点，，且，与相交于点F，在点D运动的过程中，当时，求的长度； 拓展创新：如图（3），D是外一点，，，，，求的长． 【答案】问题背景： 证明：∵， ，， ，， 即，， ∴； 尝试运用：； 拓展创新： 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 问题背景：根据，得出，，推出，，即可证明结论； 尝试应用：连接，先证，得到，再证，得出，，可证，根据，列方程，求出，进一步利用勾股定理即可得答案； 拓展创新：过点A作，交于点E，连接，证明，则，由得到，证明，则，，得到，则，，由勾股定理求出，又由即可求出答案． 【详解】问题背景：略 尝试运用：如图（2），连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 经检验是方程的解，符合题意， ∴，， ∴． 拓展创新：过点A作，交于点E，连接， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $