2.2.2 直线的两点式方程 （教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

2.2.2 直线的两点式方程 2.2 直线的方程 湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.(重点) 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 情景导入 我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程. 如图，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 1.直线的两点式方程 新知探究 课本例 3　已知直线l上的两点A(2,1)和B(5,2)，求直线l的方程. 例3的实质是求过平面直角坐标系中横坐标不相同的两点的直线方程． 那么这种方法可以推广到任意两点吗？ 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面直角坐标系中的任意两点 当x1≠x2时，直线 l 的斜率 取直线上一点P1(x1，y1)，由点斜式方程，得 当x1=x2时，由于P1，P2是不同的点，必然y1≠y2．此时直线垂直于x轴， 方程为x = x1． 也满足方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0． 也可以去分母，化成(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0的形式． 我们把过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0 称为直线的两点式方程，简称两点式． 如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x1≠x2且y1≠y2， 两点式方程可以写成 思考：将方程（4）做一个变形，得到 它的左右两边各具有怎样的几何意义?该方程代表完整的一条直线吗? 当x≠x1且x1≠x2时，因为P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线 l 上，所以式子的左右两边均表示的直线 l 的斜率． 当x=x1时上述方程不成立，故方程不表示整条直线，表示的是一条直线但不包含点P1(x1，y1)． 例5　如图，三角形的顶点分别为A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边所在直线的方程； 整理得2x＋5y＋10＝0. 这就是BC边所在直线的方程. 课本例题 (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 整理得10x＋11y＋8＝0. 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程. 注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程． 典例剖析 例 1　已知三角形的顶点是A(1,3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴，故边BC所在直线的方程为y＝－1. 归纳总结 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程. 1.(1)过点(－2,1)，(3，－3)的直线方程为_________________. 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 4x＋5y＋3＝0 化简得4x＋5y＋3＝0. 练一练 (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程. 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. 当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； 即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 练一练 课本例 4 已知两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线 l 的方程． 解：过A(a，0)，B(0，b)的两点式方程为 ， 即 ． （5） 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距（横截距），此时直线在 y 轴上的截距是b．方程（5）由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 和 b 确定，称为直线的截距式方程． 注：垂直于坐标轴和经过原点的直线不能用截距式表示． 2.直线的截距式方程 新知探究 典例剖析 例 2　求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx， 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 典例剖析 例 3　求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程. (1)当截距不为0时， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 归纳总结 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 练一练 2.求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时， 直线l的方程为y＝x； 当直线l在坐标轴上的截距不为零时， 设l的方程为＝1， 将点(5，2)代入方程得＝1， 解得a＝， 所以直线l的方程为x＋2y－9＝0. 综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0. 3.截距式方程的应用 新知探究 例4.直线l过点P ，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B 两点，O为坐标原点.是否存在这样的直线同时满足下列条件？ (1)△AOB的面积为6； (2)△AOB的周长为12. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 所以存在这样的直线同时满足(1)，(2)， 即3x＋4y－12＝0. 归纳总结 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积 S＝|a|·|b|. 例5.已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； 典例剖析 (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且|OA|＝4，|OB|＝8， 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 总结归纳 直线的两点式方程： 过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0． 直线的截距式方程： 在两个坐标轴上的截距分别为 a 和 b 的直线方程为 ． 注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程． 随堂练 1.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是（ ） B 2.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是（ ） A 3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_______________ _____________. 2x－y＝0或 随堂练 x－y＋1＝0 4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_____________. 2x－y＋1＝0 错因分析 易错辨析　忽视截距为零引发的错误 例6　求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程． 解析：当在x、y轴上的截距均为零时， 所求直线的方程为y＝x. 当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＝1， 把点M(3，2)代入得，a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5. 综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y＝5. 出错原因: 忽视了截距为零的情况，直接由 ＝1得直线方程产生了漏解． 纠错心得： “截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等， 二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解， 因此对于此类题目，也要分类讨论． 错因分析 分层练习-基础 1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ） A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 A 2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 A 31 3.若直线 过第一、二、三象限，则（ ） A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 分层练习-基础 C 4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为（ ） A.2 B.－3 C.－27 D.27 D 分层练习-基础 5.(多选)下列命题中不正确的是（ ） A.经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程 (x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程 表示 ABD 分层练习-基础 6.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为（ ） A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0 C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0 A 7.已知点P(x,2)在过M(－2,1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是_____. －3 8.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的方程为____________. x＋3y＋2＝0 分层练习-基础 9.已知直线l过点P(4,1). (1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程； ∵直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)， (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程. 由题意知，若直线l过原点，则得直线l的方程为x－4y＝0； 综上，直线l的方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0. 分层练习-基础 10.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程； 即x－2y＋8＝0. 即x＋y－4＝0. 分层练习-基础 (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 分层练习-基础 由题意，得点D的坐标为(－4,2)，由两点式， 即2x－y＋10＝0. 分层练习-巩固 11.(多选)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程为（ ） A.x＋y－1＝0 B.x－y－7＝0 C.3x＋4y＝0 D.4x＋3y＝0 ABC 12.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是（ ） B 分层练习-巩固 13.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线的方程为（ ） A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0 D B 15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____. 3 分层练习-巩固 分层练习-拓展 16.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， ∴a＝±6，∴直线l的方程为x＋y±6＝0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)， ∴a＝±6， ∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. (3)直线的截距式方程的应用. 2.方法归纳： 分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： 利用截距式方程求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 由直线l过A(2,1)，B(5,2)两点，得直线l的斜率k＝＝. 于是，经过点A(2,1)，斜率k＝的直线的点斜式方程是y－1＝(x－2)， 化简得y＝x＋. 过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝. BC中点M的坐标为＝. 过A(－3,2)，M 的直线的两点式方程为＝. 如图，直线AB过A(1,3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝，整理得边AB所在直线的方程为4x－3y＋5＝0. 所以＝，即＝， 当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. 因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 当a＝2，b＝6时，|OA|＝2，|OB|＝6，|AB|＝2， C△AOB＝8＋2，不符合条件(2). 且直线方程为＋＝1， 直线l的两点式方程为＝， 即＝，化简得2x＋y＝8. 所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1. 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 ＋＝1  ＋＝1 ∴直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. 若直线l不过原点，则直线l的方程可设为＋＝1， 将P(4,1)代入得＋＝1，解得a＝，即2x＋y－9＝0， 由截距式方程，得边AC所在直线的方程为＋＝1， 由两点式，得边AB所在直线的方程为＝， 得边BD所在直线的方程为＝， ∴＋＝1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S＝×5×10＝25. A. B.(－∞，－1)∪ C. D. 14.直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象 可能是（ ） 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. 直线AB的方程为＋＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3. 则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， 故直线l的方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36， $$