2.2.3 直线的一般式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.3　直线的一般式方程 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握直线的一般式方程的特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程之间的关系; 2.能够正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点 直线的一般式方程 关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把方程　　　　　　　(A,B不同时为0)称为直线的一般式方程,简称一般式.  有时也写成A2+B2≠0 名师点睛 关于直线的一般式方程应注意以下几点: (1)一般式方程适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示. Ax+By+C=0 (2)直线的一般式方程系数的几何意义: (3)直线方程的一般式与其他形式的关系 在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,它们有如下的转化关系: (4)常见的直线方程及其局限性 形式 方程 局限 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 x1≠x2,y1≠y2 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 无 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.(　　) (2)方程x-2=0表示一条直线,但不是二元一次方程.(　　) (3)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)过原点,则C=0.(　　) 2.直线与二元一次方程的关系是什么? × × √ 提示直线的方程都可以化为二元一次方程,二元一次方程都表示直线. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线的一般式方程 【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: 分析根据题目中所给直线的有关量,选择合适的直线方程形式,然后化为直线的一般式方程. (4)由题设知直线在x轴、y轴上的截距均不为0,故可设直线方程为 故所求直线的一般式方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0. 规律方法　求直线的一般式方程的方法 求直线的一般式方程,首先应根据题意,写出最适合已知条件的直线方程,然后化为直线的一般式方程.将直线方程化为一般式方程时,要保证x的系数为正数,系数及常数项一般不要出现分数,按照含x项,y项,常数项的顺序排列. 变式训练 已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的一般式方程. (1)直线l的倾斜角为 ; (2)直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0. 探究点二 含参数的一般式方程有关的问题 【例2】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值: (1)直线l在x轴上的截距为-3; (2)直线l的倾斜角为 . 变式探究1 若本例中方程表示的直线l平行于y轴,求m的值. 变式探究2 若本题中的直线l经过定点P(-1,-1),求实数m的值. 解 直线过定点P(-1,-1),则-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m= 或m=-2. 故当直线l过定点P时,m= 或m=-2. 规律方法　求解含参数的直线的一般式方程应注意问题 (1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0; (2)令x=0可得在y轴上的截距.令y=0可得在x轴上的截距; (3)若确定直线斜率存在,可将一般式化为斜截式后求解. 本节要点归纳 1.知识清单: 直线的一般式方程. 2.方法归纳:根据所给直线的条件,选择恰当的方法求出直线的方程,并转化为直线的一般式方程. 3.注意事项:根据直线的一般式方程研究直线的斜率、截距等问题时,要注意x,y的系数是否为0. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图象只能是(　　) C 解析 由ac<0,bc<0,得abc2>0,所以ab>0,则该直线的斜率k= <0,故排除B,D;又与y轴的截距为 >0,故排除A.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(　　) A.A(x-x0)+B(y-y0)=0 B.A(x-x0)-B(y-y0)=0 C.B(x-x0)+A(y-y0)=0 D.B(x-x0)-A(y-y0)=0 A 解析 由点M(x0,y0)在直线上得Ax0+By0+C=0,得C=-Ax0-By0,将C代入直线方程Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 解析 因为直线mx+ny=2过点A(2,2),所以2m+2n=2, 由m和n都是正实数,所以m+n=1,m>0,n>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.已知直线l经过点(0,1),其倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,则直线l的方程为(　　) A.x+4y-4=0 B.4x+y-1=0 C.x+4y+4=0 D.4x+y+1=0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 当x=0时,得y=-1,所以直线l在y轴上的截距为-1,故选项D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.(多选题)对于直线l:x-my-1=0,下列说法错误的是(　　) A.直线l恒过定点(1,0) B.直线l斜率必定存在 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 由直线方程可化为x-1=my,因此直线l恒过定点(1,0),故A正确; 当m=0时,直线l斜率不存在,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的 ,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　　　　　.  x-3y+24=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.在三角形ABC中,已知点A(4,0),B(-3,4),C(1,2). (1)求BC边上中线的方程; (2)若某一直线过点B,且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍,求该直线的一般式方程. 解 (1)线段BC中点为M(-1,3),所以直线AM的方程为 ,整理得3x+5y-12=0. 故BC边上中线的方程为3x+5y-12=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 9.若点P(a+b,ab)在第二象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.把直线2x-3y+1=0向左平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,所得的直线方程为(　　) A.2x-3y+4=0 B.2x-3y-12=0 C.2x-3y-4=0 D.2x-3y+6=0 C 解析 将直线向左平移2个单位长度,可得2(x+2)-3y+1=2x-3y+5=0,再向下平移3个单位长度,可得2x-3(y+3)+5=2x-3y-4=0,因此所求直线方程为 2x-3y-4=0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.已知直线l1,l2的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示,则(　　) A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线方程为(　　) A.15x-3y-7=0 B.15x+3y-7=0 C.3x-15y-7=0 D.3x+15y-7=0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.(多选题)已知直线l的方程为ax+by-2=0,则下列判断正确的是( 　　) A.若ab>0,则直线l的斜率小于0 B.若b=0,a≠0,则直线l的倾斜角为90° C.直线l可能经过坐标原点 D.若a=0,b≠0,则直线l的倾斜角为0° ABD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 线AC的一般式方程为　　　　　,BC的一般式方程为　　　　　　　　.  x-y=0 x+y-6=0 又直线BC过点B(5,1), 所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),整理得x+y-6=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 解 (1)若直线l在两坐标轴上的截距都为零,则 解得a=2,因此直线l的方程为3x+y=0. 若a+1=0,解得a=-1,整理得y+3=0,不符合题意,舍去. 得直线l的方程为x+y+2=0. 综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)将直线的一般式方程化为斜截式,得y=-(a+1)x+a-2. ∵直线l不经过第二象限, ∴实数a的取值范围是(-∞,-1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 16.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　) A.3x+2y-1=0 B.2x+3y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x+2y+1=0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 (方法1)∵直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),∴3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0. ∴过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0,故选D. (方法2)3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0两式相减可得3(a1-a2)+2(b1-b2)=0, 即2y+3x-(3a1+2b1)=0,结合3a1+2b1+1=0可知过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.若kxy-x+6y-3=0表示两条直线,则实数k的值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 B 解析 ∵kxy-x+6y-3=0表示两条直线, ∴令kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd,其中,abcd≠0, ∴k=ac,ad=-1,bc=6,bd=-3, 本 课 结 束 更多精彩内容请登录志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ ①当B≠0时,则-=k(斜率),-=y(y轴上的截距);②当B=0,A≠0时,则-=x(x轴上的截距),此时不存在斜率,表示一条与y轴平行或重合的直线. (1)经过点B(-,2),倾斜角是; (2)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点; (3)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程; (4)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12. 解 (1)因为直线经过点B(-,2),倾斜角是,所以该直线斜率为,故直线的点斜式方程为y-2=(x+),整理得x-y+2+=0,即该直线的一般式方程为x-3y+6+=0. (2)由两点式方程得,整理得2x+y-3=0. (3)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×=-, 又直线经过点A(1,3),故所求直线方程为y-3=-(x-1),整理得4x+3y-13=0. =1. 因为直线过点(-3,4),所以=1,解得a=-4或9. 解 (1)由直线l的倾斜角为,可得直线l的斜率k=tan=-. 由直线的点斜式方程可得y-3=-(x-2),整理得直线l的一般式方程为x+y-3-2=0. (2)当直线l经过原点时,在x轴,y轴上的截距之和等于0,符合题意,此时直线l的方程为y=x,即3x-2y=0; 当直线l不过原点时,设直线l的方程为=1(a≠0). 因为P(2,3)在直线l上,所以=1,解得a=-1,则直线l的方程为x-y+1=0. 综上所述,直线l的一般式方程为3x-2y=0或x-y+1=0. 解 (1)由题意得 解得m=-. 故当直线l在x轴上的截距为-3时,m=-. (2)由题意得 解得m=. 故当直线l的倾斜角为时,m=. 解 ∵直线l与y轴平行, ∴ 解得m=. 故当直线l平行于y轴时,m=. - - 3.[2024甘肃高二阶段练习]若直线mx+ny=2过点A(2,2),其中m,n是正实数,则的最小值是(　　) A.3+ B.3+2 C. D.5 所以=()(m+n)=1+2+≥3+2, 当且仅当,即m=-1,n=2-时取等号, 所以的最小值是3+2.故选B. 解析 因为直线l的倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,且直线x-4y+1=0的斜率为,所以直线l的斜率为-.又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.故选A. 5.(多选题)关于直线l:x-y-1=0,下列说法正确的有(　　) A.过点(,-2) B.斜率为 C.倾斜角为 D.在y轴上的截距为1 解析 当x=时,-y-1=0,解得y=2,所以直线l不经过点(,-2),故选项A错误; 由题得y=x-1,所以直线l的斜率为,故选项B正确; 由B知直线l的斜率为,又倾斜角的取值范围是[0,π),所以直线l的倾斜角为,故选项C正确; C.当m=时,直线l的倾斜角为 D.当m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 当m=时,有y=(x-1),即直线l的斜率为,则直线l的倾斜角为,故C错误; 当m=2时,直线l:x=2y+1,则直线l与x轴,y轴的交点坐标分别为(1,0),(0,-),所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为,故D正确.故选BC. 解析 由2x-3y+12=0知,该直线斜率为,在y轴上截距为4,则直线l的斜率为,在y轴上截距为8,所以直线l的方程为y=x+8,整理得x-3y+24=0. (2)当直线过坐标原点时,设所求直线方程为y=kx,将点B的坐标代入直线方程可得-3k=4,解得k=-,故所求直线方程为y=-x,即4x+3y=0; 当直线不过坐标原点时,设直线方程为=1(b≠0),将点B的坐标代入直线方程得-=1,即=1,解得b=. 此时,所求直线方程为=1,即x+2y-5=0. 综上所述,所求直线方程为4x+3y=0或x+2y-5=0. 解析 由题意可得a+b<0,ab>0,因此,a,b均为负数.由直线的方程bx+ay-ab=0可得直线的斜率k=-<0,在y轴上的截距为-=b<0,故直线不经过第一象限.故选A. 解析 ∵直线Ax+By+C=0的斜率为5,∴-=5,即A=-5B. 又A-2B+3C=0,∴-5B-2B+3C=0,∴C=,则Ax+By+C=0可化为-5Bx+By+=0,即5x-y-=0,整理得15x-3y-7=0.故选A. 解析 对于A选项,若ab>0,则直线l的斜率-<0,故A正确; 对于B选项,若b=0,a≠0,则直线l的方程为x=,其倾斜角为90°,故B正确; 对于C选项,将(0,0)代入ax+by-2=0中,显然不成立,故C错误; 对于D选项,若a=0,b≠0,则直线l的方程为y=,其倾斜角为0°,故D正确. 故选ABD. 14.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=,∠B=,则直 解析 由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=,所以kAC=tan=1. 又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),整理得x-y=0.同理可知,直线BC的倾斜角为π-∠B=,所以kBC=tan=-1. 若a≠-1且a≠2,原方程化为=1,令=a-2,即为a+1=1,解得a=0,可 ∴解得a≤-1. 由题意a1≠a2,因此k==-,所以直线的方程为y-b1=-(x-a1), ∴b=,c==-2d,a=-, ∴k=ac=×(-2d)=2.故选B. $$