【预习衔接】第八单元垂线与平行线（讲义）-2024-2025学年四年级数学上册苏教版

第八单元垂线与平行线 （知识梳理+例题精讲+专项练习） 知识梳理 1、线段、射线、直线的相同点和不同点： 名称 相同点 不同点 端点 长度 线段 直的 2个 有限长 射线 1个 无限长 直线 没有 无限长 注意：经过n个点最多可以画n×(n－1)÷2条直线。 2、两点之间线段最短。 3、连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 4、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。角的大小和角的两边张开的大小有关。 5、直角=90度 平角=180度 周角=360度 1平角＝2直角 1周角＝2平角＝4直角 锐角小于90度 钝角大于90度且小于180度 6、两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。（画垂线必须要有直角符号） 7、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 注意： a过一点作已知直线的垂线的方法：一贴、二靠、三移、四画、五标记。 b从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫做这点到这条直线的距离。 点到直线的所有线中,垂直线段最短。平行线之间的距离,处处相等。 8、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 9、一副三角尺的度数分别是：30度、60度、90度和45度、45度、90度。 用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。 10、两条平行线之间的垂直线段可以画无数条，长度都相等。 11、钟面上共有12大格，共360°，每一大格30°，每一小格6°。 钟面上3时和9时整,时针和分针组成了直角;钟面上6时整,时针和分针组成了平角。 12、风筝线与地面所形成的角的度数越大，风筝飞得越高。 13、丹顶鹤结队飞行时通常排成“人”字形，角度一般保持在110度左右。 14、在物体的质量相同，斜面的长度相同时，物体从成45°角的斜面上滚下会滚得最远。 例题精讲 例题一．．说一说，平移前后的图形中有哪些线段是互相平行的？ 答案．ab//AB；ac//AC 【详解】平移后图形的大小不变，位置发生变化；根据平行线的定义判断平行的线段即可。 例题二．．下面的角是（    ）°，以A点为顶点，在这个角内画一个60°的角。 【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和角的一边重合。在量角器60°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出60°的角。 【详解】角是115°。 【点睛】本题考查用量角器量角以及用量角器画角的方法，解题时注意量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 例题三．一个梯形的街心花园广场（如图）。 （1）∠A＝ °，∠D＝ °。 （2）从A点走到对边CD，怎样走最近？在图上画出来。 （3）过A点作BC边的平行线。 【分析】（1）用量角器的0度刻度线对准所量角的一条边，用中心点对准顶点，看看另一条边在哪一刻度（同一圈），这个角就是几度； （2）根据从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短；由此过A点向CD作垂线，交CD于点E； （3）三角板的一条直角边与已知直线BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板和已知直线BC重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】（1）∠A＝120°，∠D＝60°。 （2）、（3）如下图所示： 【点睛】本题主要考查了学生利用三角板和直尺，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力。 专项训练 一、选择题 1．下列几种情况，两条直线互相垂直的是（    ）。 A．直角的两条边 B．两条直线相交 C．不平行的两条直线 2．如下图，汽车经过收费亭时，转杆会慢慢地升起。转杆升起的过程中，与竖杆形成的角的变化情况为（    ）。 A．直角→钝角→周角 B．锐角→直角→钝角 C．直角→钝角→平角 D．锐角→钝角→直角 3．笑笑发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（    ）。 A．9时30分 B．12时 C．15时 D．6时 4．过直线外一点分别画出已知直线的垂线和平行线，画出的两条直线（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 D．无法确定 5．下面说法错误的是(   )． A．一条直线长6厘米 B．角的两边叉开的越大角越大 C．钟面上4时整，分针和时针成钝角 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 6．将一张长方形纸折叠（如图），∠2＝75°，则∠1等于（    ）°。 A．15 B．30 C．105 二、填空题 7．下图是一张长方形纸折起一个角。已知，( )度。 8．10时整，钟面上时针和分针成( )°的角。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的( )。 9．经过一点可以画( )条直线。不在同一条直线上的四个点最多可以画( )条线段。 10．如图所示，∠1＝( )°，是( )角；∠2＝( )°，是( )角。 11．乐乐和小狗玩掷飞盘游戏，小狗要想最快捡到飞盘，应该选( )号路线，你的理由是( )。 12．下图中∠1=25°,∠2=( )°，∠3=( )°, ∠4=( )° 13．小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是( )角。 14．根据要求量出距离。 两点间的距离       点B到对边的距离      两条平行线之间的距离 ( )毫米   ( )毫米   ( )毫米 15．如图，∠2是∠1的4倍，∠2＝( )°。    16．钟面上，分针从12走到4，分针转动了( )°。6时整，时针和分针组成了一个( )角。 17．字母“H”中间的一笔( )于两边．(填“平行”或“垂直”) 三、判断题 18．7时15分，钟面上的时针与分针互相垂直。( ) 19．钟面上6：15的时候，分针与时针形成一个直角。( ) 20．一天中，时针和分针成直角的时刻有4个。( ) 21．6时整钟面上的时针和分针互相垂直。 ( ) 22．把一个钝角分成两个角，这两个角都是锐角。( ) 23．把5厘米长的线段的一端延长500米，还是一条线段。( ) 四、解答题 24．在直线右边画2个与已知直线的距离都是2厘米的点。 过这两个点能画（    ）条直线，请画一画；画出的直线与已知直线（    ）。 25． （1）如图1，已知：∠1=45°，求：∠2. （2）如图2，已知：∠1=90°，∠2=30°求：∠3等于多少度？ （3）如图3，已知：∠1=135°求：∠2、∠3、∠4各等于多少度？ 26． （1）量一量如图角的度数是（    ）度。 （2）经过A点画CD边的垂线。 （3）经过A点画BC边的平行线。 27．下图表示一张长方形纸折起一个角。已知∠2＝60°，∠1是多少度？请你写出计算过程。 28．说一说长方形的哪几条边是互相垂直的。 29．下图中，a和b是两条互相平行的直线，∠1和∠2相等吗？先猜一猜，再量一量。 30．按要求操作。 （1）量出下边角的度数是（    ）度。 （2）画出点A到点C的最短距离。 （3）过点B画线段AC的垂线。 （4）画线段BC的平行线。 31．如图，∠1=30°求∠2的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据垂直的含义：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，据此判断。 【详解】A．直角的两条边，互相垂直。 B．两条直线相交，不一定互相垂直，只有当相交成90度时，这两条直线才互相垂直。 C．同一平面内不平行的两条直线，可能相交，但相交不一定成直角。 故答案为：A 【点睛】此题考查了垂直和平行的特征，应明确垂直和平行的含义。 2．C 【分析】小于90°的角是锐角，90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，180°的角是平角，360°的角是周角，据此解答。 【详解】转杆升起的过程中，与竖杆形成的角的变化情况为直角→钝角→平角。 故答案为：C 3．C 【分析】等于90°的角叫做直角。时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。整时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90°，即直角。根据时针、分针成直角这一特点，对选项逐一判断即可。 【详解】A．9时30分时，时针在9与10的中间，分针指向6，超过90度，不是直角，不符合题意； B．12时，时针指向12，分针指向12，重合，不是直角，不符合题意； C．15时，时针指向3，分针指向12，是直角，符合题意。 D．6时，时针指向6，分针指向12，是平角，不符合题意。 因此钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是15时。 故答案为：C 4．A 【分析】如下图，过点A作直线a的垂线和平行线，这两条直线也互相垂直，据此即可解答。 【详解】过直线外一点分别画出已知直线的垂线和平行线，画出的两条直线互相垂直。 故答案为：A。 【点睛】熟练掌握平行线和垂线的画法是解答本题的关键。 5．A 【详解】直线没有端点，不能测量直线的长度． 6．B 【分析】折叠后与∠2重叠部分的角度也是75°，∠2、与∠2重叠的部分和∠1构成一个平角，平角等于180°，用180°减去∠2、与∠2重叠的部分的角，即可求出∠1等于多少度。 【详解】180°－75°×2 ＝180°－150° ＝30° 将一张长方形纸折叠（如图），∠2＝75°，则∠1等于30°。 故答案为：B 7．60° 【分析】把这张长方形纸展开，以∠1的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°，展开后2∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠2＝3，由此∠2＝（180°－30°×2）÷2，据此解答。 【详解】（180°－30°×2）÷2 ＝120÷2 ＝60° 【点睛】本题是考查简单的图形折叠问题，解题时要根据图意，正确进行分析，找出折叠前后之间度数的关系。 8． 60 距离 【分析】10时整，时针指向10，分针指向12，时针与分针之间间隔2大格，钟面1大格是30°，30°乘2即可求出10时整，分针与时针的夹角；从一点到到一条直线作线段，能作无数条，而垂线段只有1条，这条垂线段的长度即为这点到这条直线的距离。 【详解】30°×2＝60° 10时整，钟面上时针和分针成60°的角。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 9． 无数 6 【分析】通过两点最多可画1条直线，通过一点可画无数条直线。假设不在同一条直线上的四个点分别为A、B、C、D。分别过AB、AC、AD、BC、BD、CD均可以画一条线段，则一共可以画6条线段。 【详解】经过一点可以画无数条直线。不在同一条直线上的四个点最多可以画6条线段。 【点睛】本题考查直线和线段的性质，直线没有端点，则过一点可以画无数条直线。线段有两个端点，连接任意两点可以且只能画一条线段。 10． 150 钝 75 锐 【分析】一副三角板的角有30°，45°，60°，90°，由此分析看是由哪些角拼成；小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝角；据此解答即可。 【详解】由图知，∠1是用90°和60°的角拼得，90°＋60°＝150°，是钝角。 ∠2是用45°和30°的角拼得，45°＋30°＝75°，是锐角。 【点睛】此题考查的是用三角尺拼角，熟记两个三角尺每个角的度数是解答此题的关键。 11． ③ 两点之间线段最短 【分析】两点之间的连线中，线段最短。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。据此解答。 【详解】乐乐和小狗玩掷飞盘游戏，小狗要想最快捡到飞盘，应该选③号路线，理由是：两点之间线段最短。 【点睛】理解两点之间线段最短是解题关键。 12． 65 155 25 13． 垂直 锐 【分析】把一张圆形纸片对折两次后展开，两条折痕相交成90度，所以这两条折痕互相垂直，再继续对折一次，这时折成的角是45°，是锐角。 【详解】根据分析可知，小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相垂直（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是锐角。 【点睛】本题主要考查学生对垂直的定义和角的分类知识的掌握。 14． 22 12 13 【分析】图1：两点距离：将零刻度线对准左边端点，看另一点，所在直尺的读数。 图2：点到对边距离为点到边的垂线，用三角尺直角边紧贴边，再移动，直至B点在另一条直角边上，读出垂线长度。 图3：做两条平行线的垂线，找一条边上任意一点，让点在三角尺直角边上，三角尺的直角边紧贴另一条平行线，读出长度。 【详解】如图： 图1：两点间的距离：22毫米；（以实际测量为准）。 图2：点B到对边的距离：12毫米；（以实际测量为准）。 图3：两条平行线之间的距离：13毫米；（以实际测量为准）。 【点睛】本题考查从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 15．144 【分析】根据题图，∠1和∠2组成一个平角，则∠1＋∠2＝180°。∠2是∠1的4倍，则∠1的5倍是180°，∠1＝180°÷5。再用∠1乘4，求出∠2。 【详解】180°÷（4＋1） ＝180°÷5 ＝36° 36°×4＝144° 则∠2＝144°。 【点睛】解决本题的关键是明确∠1的5倍是180°。 16． 120 平 【分析】钟面上有12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每两数即一大格之间夹角是：360°÷12＝30°。 分针从12走到4，一共走了4个大格，即4个30°。 6时整，时针指向6，分针指向12，此时时针跟分针之间有6个大格，用30°乘大格数就可以求出时针分针组成角的度数。 等于90°的角是直角，等于180°的角是平角，大于90°而小于180°的角是钝角，小于90°的角是锐角；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 钟面上，分针从12走到4，分针转动了：30°×4＝120°； 6时整，时针和分针组成角的度数是：30°×6＝180°，是一个平角。 【点睛】本题的关键是先求出在某个整点时，时针与分针之间的格子数，再根据每个圆心角对应的角的度数，就可以求出时针与分针组成的度数。 17．垂直 18．× 【分析】钟面上，6时整时，时针与分针之间的夹角是180°，有6个大格，因此每个大格是：180°÷6＝30°，钟面上7时15分，时针和分针之间的较小角有4个大格，因此用4乘30°即可；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此判断。 【详解】180°÷6＝30° 30°×4＝120° 120°＞90° 所以7时15分，钟面上的时针与分针没有互相垂直，原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】钟面上有12个数字，将钟面平均分成了12个大格，每两个数字之间的夹角是30°；6：15，时针指向数字6和数字7之间，分针指向数字3；直角是90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角。据此判断时针和分针形成的角即可。 【详解】由分析可知，6：15时针指向数字6和数字7之间，靠近数字6，分针指向数字3，时针和分针之间形成的夹角是3个大格多，4个大格不到。3×30°＝90°，4×30°＝120°，所以时针和分针形成的角的度数是90°至120°，是一个钝角。题目说法错误。 故答案为：× 20．× 【分析】由于每小时时针会转动一个大格，分针会转动一圈，则每一小时，分针和时针会有两次形成直角的机会，所以一天中，分针和时针成直角的时刻应该不只4个。据此判断。 【详解】根据分析可知： 一天中，时针和分针成直角的时刻不只有4个。原题说法错误。 故答案为：× 21．× 【分析】根据整点时间与钟面指针的位置可知，6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针在同一直线上；垂直的定义：两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，据此判断。 【详解】6时整钟面上的时针和分针在同一直线上，结合垂直的定义可知，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】熟悉整点时间与钟面指针的位置，掌握垂直的定义及特点是解答此题的关键。 22．× 【分析】小于90度的角叫做锐角，等于90度的角叫做直角，大于90度且小于180度的角叫做钝角；把一个钝角分成∠1、∠2两个角，因为这个钝角的度数不知道，所以若∠1是锐角，∠2可能是锐角，也可能是钝角，也可能是直角，所以无法判断，据此解答。 【详解】把一个钝角分成∠1、∠2两个角，若∠1是锐角，∠2可能是锐角，也可能是钝角，也可能是直角， 例如：150°＝30°＋120°＝60°＋90° 所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查角的概念及其分类方法，应注意知识的灵活运用。 23．√ 【分析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长，能测量；据此解答即可。 【详解】把5厘米长的线段的一端延长500米，还是一条线段。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握。 24．图见详解；1；平行 【分析】用三角板的一条直线边与已知直线重合，沿另一条直角边向已知直线画直线即可得到已知直线的一条垂线，从垂足开始截取一段2厘米线段，过两个点画一条直线，画的直线与已知直线是平行线。据此解答。 【详解】根据题意画图如下： 过这两个点能画1条直线，画图如上图所见；画出的直线与已知直线平行。 25．135°；60°；135°，45°，45° 【详解】试题分析：（1）∠1和∠2组成的是平角， （2）∠1、∠2和∠3组成的是平角， （3）∠1和∠3组成平角，∠1和∠4组成的是平角，∠2和∠3组成的是平角． 解：（1）∠2=180°﹣∠1=180°﹣45°=135° （2）∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180﹣90°﹣30°=60° （3）∠3=180°﹣∠1=180°﹣135°=45° ∠4=180°﹣∠1=180°﹣135°=45° ∠2=180°﹣∠3=180°﹣45°=135° 26．（1）120；（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）把量角器的中心点与图中角的顶点重合，零刻度线与边CD重合，找到角的另一边BC所指的度数即为这个角的度数。 （2）把三角尺的一条直角边与边CD重合，使得点A在另一条直角边上，过这条直角边画线段即为所求。 （3）把三角尺的一条直角边与边BC重合，使得点A在另一条直角边上，把直尺与直角三角尺的另一条直角边重合，过点A沿着直尺画直线即为所求平行线。 【详解】（1）量一量如图角的度数是120度。 （2）（3）见下图： 【点睛】会借助直角三角尺与直尺画已知直线的垂线以及平行线。 27．60° 【分析】如图，把这张纸展开后，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是180°，由于∠1盖住了一个和它相等的角，展开后就是∠2＋2∠1＝180°，又知∠2＝60°，据此可求出∠1的度数。 【详解】180°－60°＝120° 120°÷2＝60° 答：∠1是60°。 【点睛】本题是考查简单图形的折叠问题及角度的计算，关键是∠1盖住了一个和它相等的角。 28．AB与BC，AD与DC，BA与AD，DC与BC 【详解】略 29．相等；∠1＝∠2＝60° 【分析】根据a和b是两条互相平行的直线，一条直线与它们相交，同侧同位置的角的度数相等判断，并测量出度数来验证。量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 【详解】两条直线a、b被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角相等，也就是∠1和∠2相等； 通过测量，可知∠1＝∠2＝60°。 30．（1）120 （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 【分析】（1）量角时使量角器的中心点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度。 （2）两点之间的连线中，线段最短。 （3）用直角三角尺的一条直角边和直线AC重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向直线AC画直线即可。 （4）把三角尺的一条直角边和直线BC重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，沿三角尺的直角边画直线即可。 【详解】（1）120 （2）、（3）、（4）如图： （画线段BC的平行线画法不唯一） 【点睛】此题考查了学生用三角尺和直尺作垂线和平行线的能力。 31．30° 【详解】因为90°-∠2＝90°-∠1，所以∠2=∠1=30° 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$