精品解析：山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高一下学期第一次教学质量调研考试（5月期中考试）数学试题

怀仁市2023-2024学年度下学期高一 第一次教学质量调研试题 数学 命题：怀仁市教育局高级中学教研组 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：必修第二册第六章平面向量及其应用，第七章复数，第八章立体几何初步的前 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B. 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 2. 是所在平面上一点满足的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 3. 的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. 欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ） A. 高为2 B. 母线长为3 C. 表面积为14π D. 体积为π 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 10. 设内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则满足条件三角形只有1个 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若一个球体积为，则它的表面积为 B. 棱长为1正四面体的内切球半径为 C. 用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为 D. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________． 13. 已知平面向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________． 14. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，且.若点D是外一点，，，下列说法中，正确的命题是______ ①的内角 ②一定是等边三角形 ③四边形面积的最大值为 ④四边形面积无最大值 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆． （1）求其母线长； （2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积． 16. 已知向量，且与的夹角为， （1）求证： （2）若，求的值； （3）若与的夹角为，求的值． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求． 18. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求： （1）堑堵的侧棱长； （2）鳖臑的体积； （3）阳马的表面积． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀仁市2023-2024学年度下学期高一 第一次教学质量调研试题 数学 命题：怀仁市教育局高级中学教研组 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：必修第二册第六章平面向量及其应用，第七章复数，第八章立体几何初步的前 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B. 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形多面体是棱台 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD. 【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 故选：D. 2. 是所在平面上一点满足的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形. 故选：B 3. 的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】利用到三个顶点的距离相等得到是三角形的外接圆的圆心. 【详解】∵ ∴到三个顶点的距离相等， ∴是三角形的外接圆的圆心，故选：A. 【点睛】本题考查复数差的几何意义，注意表示复平面中对应的两点之间的距离，本题属于基础题. 4. 欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案. 【详解】，故. 故选：A. 5. 已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积. 【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和， 则圆台侧面积为， 上、下底面面积分别为和. 由圆台表面积为，得， 所以圆台高， 设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1. 作于点， 设，由，则球心在圆台外部. 则有，解得， 所以球的体积为. 故选：C. 6. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对条件依次运用余弦定理和正弦定理，将其化成，化弦为切同时进行拆角化成，依题意进行组合相加即得. 【详解】由和余弦定理可得，即， 由正弦定理，， 则,即, 于是有①，②，由①+②可得：. 故选：A. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果. 【详解】易知：，，且，. 由. 故选：C 8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ） A. 高为2 B. 母线长为3 C. 表面积为14π D. 体积为π 【答案】D 【解析】 【详解】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×3，即r＝1；2πR＝×6，即R＝2.又圆台的母线长为l＝6－3＝3，所以圆台的高h＝＝2，故A，B正确．圆台的表面积S＝π(1＋2)×3＋π×12＋π×22＝14π，故C正确；圆台的体积V＝π×2×(22＋12＋2×1)＝π，故D错误．故选D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数运算性质判断ABD,举反例判断C. 【详解】设，，因为， ，所以，故A正确； 又， ， ， 所以，故B正确； 取，，可得，故C错误； 若，由B选项知，所以或，可得或，故D正确； 故选：ABD． 10. 设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则满足条件三角形只有1个 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据即可判断A；根据余弦定理结合基本不等式即可判断BC；利用正弦定理化边为角，再结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以满足条件的三角形有2个，故A错误； 对于B，由余弦定理得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 即，所以， 当且仅当时取等号， 所以的周长， 所以周长的最大值为，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，， 即，，所以，故D正确． 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若一个球的体积为，则它的表面积为 B. 棱长为1的正四面体的内切球半径为 C. 用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为 D. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】用球的体积求得半径，进而求表面积可判断A选项；利用等体积法求内切球的半径，可判断B选项；利用球的性质求出球的半径，进而求出体积，可判断C选项；平面截球的截面为的内切圆，进而求内切圆的面积即可判断D选项. 【详解】对于A：一个球的体积为，设该球的半径为，则，解得， 于是该球的表面积为，故A正确； 对于B：正四面体的棱长为1，内切球半径， 如图所示，为的中点，，    由正四面体的性质可知线段为正四面体的高， 在正中，， 同理，在正中，， 则，， 所以， 则， 设点为正四面体内切球的球心，则等体积法有 ，解得，故正确. 对于C：用平面α截一个球，所得的截面面积为π，截面圆的半径，则，即， α到该球球心的距离，设球的半径， 则，所以 球的体积为，故C错误； 对于D：平面截球的截面为的内切圆，如下图： 因为正方体的棱长为1，所以对角线， 内切圆半径， 所以截面面积，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到， 又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为， 故答案为：. 13. 已知平面向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得. 【详解】向量的夹角为锐角，则且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，且.若点D是外一点，，，下列说法中，正确的命题是______ ①的内角 ②一定是等边三角形 ③四边形面积的最大值为 ④四边形面积无最大值 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简等式求出角B，即可判断①②；由余弦定理可得，利用三角形面积公式和辅助角公式可得，结合三角函数的性质即可判断③④. 【详解】①：， 又，所以， 由，得，又， 所以或，而，所以，故①正确； ②：由①知，，又，所以，故为等边三角形，故②正确； ③：由余弦定理，得，且， 又， 当时，取到最大值，且为，故③正确； ④：由命题③可知，有最大值，故④错误. 故答案为：①②③ 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆． （1）求其母线长； （2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积可建立的方程求解即可. （2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积. 【小问1详解】 设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l， 高为h， 由题意知，侧面展开图的弧长， ∴圆锥高， 由其轴截面面积为. 解得，则. 即其母线长. 【小问2详解】 设正四棱柱的高为， 所以圆锥体积为. 由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为， 由图可得，所以， 故正四棱柱的体积为= 所以该几何体的体积为=. 16. 已知向量，且与的夹角为， （1）求证： （2）若，求的值； （3）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1）证明见解 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的定义及向量数量积的运算律，结合向量垂直的条件即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的模公式，结合向量数量积的运算律及一元二次方程的解法即可求解； （3）根据（1）的结论及向量的模公式，利用向量的数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为与的夹角为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为， 所以，即， 于是有，即 ，解得或, 所以的值为或. 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 所以， ， ， 因为与的夹角为， 所以，即，且， 于有，解得或（舍）, 所以的值为. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，，求； （3）若，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得结合三角形内角性质求. （2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a. （3）由题设及（1）得，注意为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得， 则， 而，则，又，所以. 【小问2详解】 由，得，由（1）及余弦定理， 得，解得， 所以. 【小问3详解】 由及正弦定理，得，则， 显然，即，则A为锐角，， 于是，， 所以. 18. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求： （1）堑堵的侧棱长； （2）鳖臑的体积； （3）阳马的表面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设堑堵的侧棱长为，根据阳马体积等于求解即可； （2）根据棱锥的体积计算即可； （3）分别计算的侧面积与底面积即可 【小问1详解】 因为，，， 所以． 所以△为直角三角形． 设堑堵的侧棱长为，则 ，则， 所以，所以堑堵的侧棱长为． 【小问2详解】 因为， 所以． 所以鳖臑的体积为． 【小问3详解】 因为，， ，， ，所以阳马的表面积的表面积为． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值. 【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 ①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以； ②因为为角A的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$