专题05 二次函数与一元二次方程压轴题综合的三种考法-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题05 二次函数与一元二次方程压轴题综合的三种考法 目录 【考法一、定值问题】 1 【考法二、定点问题】 3 【考法三、二次函数与线段交点问题】 5 【课后训练】 7 【考法一、定值问题】 例．若抛物线L：与直线l：有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点． (1)若点A为抛物线与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线：、直线：是抛物线的两条切线，当与的交点P的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由． 变式1．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），T是抛物线上一点，连接交x轴于点M，若，求点T的坐标； (3)如图（2），直线与抛物线交于P，Q两点，直线，分别交y轴于点D，E．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 变式2．如图，直线l：交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线． (1)求证：当变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； (2)当变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理由； (3)设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论怎么变化，恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由． 变式3．已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【考法二、定点问题】 例．如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． (1)直接写出点C的坐标； (2)如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标； (3)如图（2），若点F在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 变式1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 变式2．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； (3)如图2．将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点． 【考法三、二次函数与线段交点问题】 例．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 变式1．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 变式2．现有二次函数．，如果m，n的值发生变化，函数的图象也会随之发生改变． (1)当，时，求该抛物线的顶点C的坐标及与x轴的交点的坐标； (2)平面上有和两点， ①小张将抛物线进行平移，当抛物线经过这两点时，求此时m，n的值； ②小张继续平移抛物线，他发现当时，新得到抛物线与线段始终有交点，请直接写出小张在平移抛物线的过程中m的范围． 变式3．已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【课后训练】 1．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含，的代数式表示）； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与轴交于、两点，，且图象过，，，四点，直接写出，，，的大小关系． (3)点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式． 2．在平面直角坐标系中，二次函数与y轴交于点A．已知抛物线顶点的纵坐标为．点在此抛物线上． (1)求出此抛物线的对称轴和解析式； (2)当时，求n的取值范围； (3)若此抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，请直接写出m的取值范围． 3．二次函数解析式为． (1)判断该函数图象与x轴交点的个数； (2)如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是，求直线的解析式； (3)请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线于点R，若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且，求的取值范围． 4．抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 5．已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴相交于点，点在此抛物线上，其横坐标为，该抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)设图象G的最高点与最低点的纵坐标差为h，横坐标差的绝对值为l，当时，求m的值； (4)过点作轴，点的横坐标为，连结，以和为邻边构造，若图象与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出的值． 7．在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． (1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________； (2)如图，当时，连接，．求证：平分； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点的横坐标为． (1)请直接写出，的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点为直线上一动点，当垂直平分时，求的值； (3)过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为，线段，的长度之和记为． ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 9．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在轴和轴的正半轴上，点B在第一象限，，，抛物线经过B，C两点． (1)求的值； (2)如图1，设Q是抛物线L上位于x轴上方的动点，当的面积最大且与矩形的面积相等时，求此时矩形的周长； (3)图2，设线段的两个端点坐标为，过点F作x轴的垂线，垂足为点H，连接． ①若抛物线L与直线有且只有一个公共点，求的值； ②当抛物线L与有公共点时，探究其公共点的个数及对应的取值范围． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，经过定点P作一次函数与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值?请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数与一元二次方程压轴题综合的三种考法 目录 【考法一、定值问题】 1 【考法二、定点问题】 9 【考法三、二次函数与线段交点问题】 19 【课后训练】 27 【考法一、定值问题】 例．若抛物线L：与直线l：有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点． (1)若点A为抛物线与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线：、直线：是抛物线的两条切线，当与的交点P的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)定值，理由见解析 【分析】(1)直线与切线的交点列出方程，解方程即可得出结果； （2）直线和抛物线切于一点即可列出方程，解方程得出结果； （3）根据交点求出的代数式，再利用交点个数列出关于的方程． 【详解】（1）解：由题意可知：，设过点A的切线的解析式为 联立得 解得， ∵只有一个交点 ∴ ∴ ∴解析式为 （2）解：∵直线与相切 联立得 解得 ∴切点为 又∵直线与，都相切于同一点 ∴经过点， ∴ 解得 ∴ 联立 得 ∴ ∴，， ∴的解折式为 （3）解：是定值 ∵与的交点P的纵坐标为5，令 ∴， ∴直线：，直线： 联立 得 由题意得： 同理可得 ∴，为的两根 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的交点的综合题，根据直线与直线的交点、抛物线与直线的切点列出方程是解题的关键． 变式1．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），T是抛物线上一点，连接交x轴于点M，若，求点T的坐标； (3)如图（2），直线与抛物线交于P，Q两点，直线，分别交y轴于点D，E．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)、、 (2)点T的坐标为 (3)为定值 【分析】对于（1），令，求出点A，B，再令求出点C； 对于（2），根据已知条件得，可得，再求出直线的关系式，进而得出直线的关系式，然后联立关系式得出答案； 对于（3），结合已知条件设直线和的关系式，可得点D，E的坐标，联立关系式求出x，进而得出，及，再将关系式联立可得，即可得出，然后根据点的坐标表示出，，进而得出答案． 【详解】（1）令，得或3， ∴、． 令，得，得； （2）连接、， ∵， ∴若， 即， ∴． 由、得直线为． ∴设直线为，代入，得， ∴直线为． 由， 得(舍)或， ∴点T的坐标为； （3）∵， ∴设直线的关系式为， ∴． 设直线的关系式为， ∴． 由得，， 得或， ∴，同理可得， 由得，， ∴， 即，． ∵,)， ∴，， ∴为定值． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程，构造辅助线是解题的关键． 变式2．如图，直线l：交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线． (1)求证：当变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； (2)当变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理由； (3)设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论怎么变化，恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线恒经过定点；或 (3)在直线l上是存在点P．使得无论怎么变化，恒为定值．符合条件点的坐标为，点P不在线段上． 【分析】（1）根据，即可求证； （2）由，即可求解； （3）设点M，N的横坐标为，联立可得，从而得到，，设点，再由是等腰直角三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴当变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； （2）解：当变化时，抛物线恒经过定点； ∵， ∴当，即或2时，抛物线恒经过定点，定点为或； （3）解：存在，理由如下： 根据题意画出图象如下： 设点M，N的横坐标为， 联立得：， 整理得：， ∴，， 设点， 对于， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，恒为定值，此时点， 当时，，此外当点P和点M或N重合时，是定值， 当M、N不是定点，故舍去， 此时对应抛物线上的点的纵坐标为：， 即时，抛物线上对应点在点P的上方，故点N在点P的左方， 故点P不在线段上， 综上，符合条件点的坐标为：，点P不在线段上． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根和系数的关系的运用等，其中（3），用根和系数的关系求解复杂数据是本题的亮点． 变式3．已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)是，2． 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【详解】（1）令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； （2）由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 【考法二、定点问题】 例．如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． (1)直接写出点C的坐标； (2)如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标； (3)如图（2），若点F在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）令，求出点，即可求解； （2）先求出点，再求出直线的解析式，然后过点E作轴交直线于点G，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于a的方程，求出点E的坐标，即可求解； （3）设直线的解析式为，联立，可得，从而得到，再由平行四边形的性质，可得， ，再由点E在抛物线上，可得，从而得到直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴点， ∵C是的中点， ∴； （2）解：把代入得： ， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点E作轴交直线于点G，连接， 设点，则点， ∴， ∵平行四边形的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点， ∵先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点， ∴点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点； （3）解：设直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 变式1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或； (3)经过定点． 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，对称轴为直线，得，即可解得抛物线解析式为； （2）过作轴于，求出，，可得，故，，都是等腰直角三角形，又，即得，设，分三种情况：①，为对角线，则，的中点重合，，②，为对角线，同理，③，为对角线，同理，解方程组可得答案； （3）设过点的直线为，则，即得直线解析式为，由得，设，，则，，有，设，可得，，即可得，设直线解析式为，把，代入可解得直线解析式为，从而知直线解析式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）过作轴于，如图： 在中，令得， ，， ， ， ，轴， ，，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设，又， ①，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②，为对角线，同理， 解得， ； ③，为对角线，同理， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或； （3）直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线为，则， ， 直线解析式为， 由得， 设，，则，， ， 设， ，在直线上， ，， ， 整理得， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为， ， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 令得， 直线必过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，抛物线与直线的交点问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 变式2．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； (3)如图2．将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)见解析 【分析】（1）由的对称轴为直线，可得，根据经过点，得到，联立，即可求解； （2）在中，令，求得点，点，则，令，则，得到点，，，由是抛物线对称轴上一点，可设点的坐标为，从而得到，，根据，可得，即，求出即可求解； （3）由题意得：，设过点的直线的解析式为，与抛物线解析式联立，利用过点的直线、与抛物线只有一个公共点，得到与的关系式，则直线的解析式为，直线的解析式为，分别与抛物线联立，设点的横坐标为，则是方程的根，利用根与系数的关系得到，，则、是方程的两根，即，整理得：，于是得到点、是抛物线与直线的交点，由此即可得证． 【详解】（1）解：的对称轴为直线， ， 将点代入中得： ， 联立， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，， 点，点， ， 令，则， 点， ， ， 是抛物线对称轴上一点， 设点的坐标为， 则，， ， 在中，， 即， 解得：或， 点的坐标为或； （3）证明：将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为， 抛物线的解析式为：， 点为直线上一点， 设点， 设过点的直线的解析式为， ， ， 过点P 的直线的解析式为， ， ， 即， 过点的直线、与抛物线只有一个公共点， ， ， ，， 则直线的解析式为， 则直线的解析式为， 联立得： ， 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， 方程有两个相等的实根， ， ； ， 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， 方程有两个相等的实根， ， ， ，， 、是方程的两根， ， ， 即：点、的坐标满足方程组， 点、是抛物线与直线的交点， ， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，直角三角形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【考法三、二次函数与线段交点问题】 例．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值是13 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）设交点式，再确定，然后把点坐标代入求出即可； （2）由于，则，所以，再利用点和点关于直线对称得到，所以矩形的周长，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）利用数形结合的方式来求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 当时，， ， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （2）解：， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点和点关于直线对称， ， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值是13． （3）解：当时，即， 解得，， 当线段与该函数图象的交点在对称轴的左侧时， 则， 解得； 当线段与该函数图象的交点在对称轴的右侧时， 则， 综上所述，n的取值范围为或． 变式1．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求解即可； （3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴． 当时，， 解得， ∴点． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为或； （3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点； 当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点， ∴n的取值范围为或． 变式2．现有二次函数．，如果m，n的值发生变化，函数的图象也会随之发生改变． (1)当，时，求该抛物线的顶点C的坐标及与x轴的交点的坐标； (2)平面上有和两点， ①小张将抛物线进行平移，当抛物线经过这两点时，求此时m，n的值； ②小张继续平移抛物线，他发现当时，新得到抛物线与线段始终有交点，请直接写出小张在平移抛物线的过程中m的范围． 【答案】(1)顶点C的坐标为，与x轴的交点坐标为， (2)①；②或． 【分析】（1）配成顶点式，可求得顶点C的坐标，令，计算即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分三种情况讨论，画出图形，列不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴二次函数解析式为， ， ∴顶点C的坐标为， 令．解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （2）解：①∵抛物线恰好经过，和两点， ∴，解得； ②当时，，对称轴为直线， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 新得到抛物线与线段始终有交点，分类讨论，如图， 此时，，解得； 如图， 此时，总有，无解； 如图， 此时，， 解得； 综上，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想，数形结合思想思考解决问题是解题的关键． 变式3．已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 【课后训练】 1．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含，的代数式表示）； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与轴交于、两点，，且图象过，，，四点，直接写出，，，的大小关系． (3)点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的顶点坐标等相关知识点，熟练二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的解析式配方得到二次函数的顶点坐标； （2）根据二次函数的对称轴及二次函数的图象可得到c，d，e，f的大小关系； （3）根据取值范围利用二次函数的性质即可得到函数解析式． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，距离对称轴越远的点对应的函数值越大， ∵二次函数的图象图象过，，，四点，且， ∴； 当时，距离对称轴越远的点对应的函数值越小， ∵二次函数的图象图象过，，，四点，且， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）解：当时，时，y随x的增大而增大， ∵当时，的取值范围是， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴此时函数解析式为； 当时，时，y随x的增大而减小， ∵当时，的取值范围是， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴此时函数解析式为； 综上所述，函数解析式为或． 2．在平面直角坐标系中，二次函数与y轴交于点A．已知抛物线顶点的纵坐标为．点在此抛物线上． (1)求出此抛物线的对称轴和解析式； (2)当时，求n的取值范围； (3)若此抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式为 (2)n的取值范围为 (3) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识与方法． （1）由得出抛物线的顶点坐标为，从而得到，得出，即可得解； （2）由点P在此拋物线上，其坐标为，得出，当时，，当时，，由（1）得抛物线的顶点坐标为，当点与抛物线的顶点重合时，则，由此即可得出答案； （3）当点到轴的距离为2时，或，当时，则，得出，，当时，则，得出，，再结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点纵坐标为， ， ， 抛物线的解析式为：； ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：点P在此拋物线上，其坐标为， ∴， 当时，， 当时，， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∴当点与抛物线的顶点重合时，则， ∴当时，的最大值和最小值分别为0和， ∴的取值范围是； （3）解：当点到轴的距离为2时，或， 当时，则， 解得：，， 当时，则， 解得：，， 如图，点，，，到轴的距离均为2，   ，抛物线在点右侧部分（不包括点）恰有三个点到轴的距离为2，的取值范围是． 3．二次函数解析式为． (1)判断该函数图象与x轴交点的个数； (2)如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是，求直线的解析式； (3)请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线于点R，若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且，求的取值范围． 【答案】(1)函数图象与x轴交点的个数是2 (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可； （2）用待定系数法即可求解； （3）因为，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解． 【详解】（1）解：令二次函数， 则， ， ， 函数图象与x轴交点的个数是2； （2）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得， 故抛物线的表达式为， 令，； 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵， ∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A）， 当时，即，解得， 故， 由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称， 故，， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 4．抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，解方程即可； （2）分别求直线的表达式，再求出点P的坐标，过点P作轴于点E，由，即可求解； （3）设，设，可求，联立，求得，求出，同理可求，联立：，求得点，过点E作轴交于点F，则，由，得，即：，解得，则，故． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设，代入A、C， 得：， 解得：， ∴， ∵， ∴设， 代入点B，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：或（舍）， ∴， 同理，可求，， 联立， 解得， ∴， 过点P作轴于点E， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：设， ∵，， ∴设， 代入点得，， ∴， ∴， 联立， 得：， 整理得：， ∴， ∴， 设，代入点A、N得， ， 解得：， ∴， 同理可求， 联立：， 解得：， ∴点， 过点E作轴交于点F， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点坐标，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴相交于点，点在此抛物线上，其横坐标为，该抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当图象G与x轴有交点时，求m的取值范围； (3)设图象G的最高点与最低点的纵坐标差为h，横坐标差的绝对值为l，当时，求m的值； (4)过点作轴，点的横坐标为，连结，以和为邻边构造，若图象与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点，当的面积被直线分成的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或4 (4)或3 【分析】（1）将点代入函数解析式求出的值，即可求函数的解析式； （2）先求函数图象与轴的交点，再由题意可求的取值范围； （3）当时，，，再由，求；当时，，，此时值不存在；当时，，，不符合题意；当时，，，； （4）分别求出，，，，当时，当是的中点时，直线分的面积为的两部分，则，再将点代入函数解析式可得；当时，当是的中点时，直线分的面积为的两部分，则，，求得． 【详解】（1）抛物线的顶点为， ， ， 抛物线的解析式为； （2）当时，， ， 当时，， 解得或， 图象与轴有交点， 或； （3）点横坐标为， ， 当时，，， ， ， 解得或（舍； 当时，，， ， ， 解得（舍或（舍； 当时，，， ，不符合题意； 当时，，， ， ， 解得（舍或， 综上所述：的值为或4； （4），，， 由平移可知， 当时，即点在下方，当是的中点时，直线分的面积为的两部分， ， ， 解得（舍或； 当时，即点在上方，当是的中点时，直线分的面积为的两部分， ，， ， 解得（舍或； 综上所述：的值为3或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． (1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________； (2)如图，当时，连接，．求证：平分； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得即得，根据题意，得，解方程组解答即可． （2）根据抛物线，得抛物线与x轴的交点为，得到，继而得到，求直线的解析式，确定点在直线上即可得证平分； （3）根据对称性，先确定图象的解析式，分类讨论，计算求解即可． 【详解】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得 ∴点， 根据题意，得， 解得， ∴交点坐标分别为， ∵点M在x轴上． ∴点， 故答案为：，． （2）∵抛物线， ∴， 解得， ∴ 抛物线与x轴的交点为， ∴ ， ∵， ∴ ， 根据(1)，得，， ∵点B关于点A的对称点为C，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ． ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故直线的解析式为， ∴ 不论k为何值，直线过定点， ∴点在直线上． ∴平分； （3）设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得， ∴即图象的解析式为， 当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点，∴满足解析式， ∴，解得(舍去)， 经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点， ∴满足解析式， ∴，解得(舍去),∴； 当时， 当时，图象，图象与线段没有交点， 当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意； ∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意； ∴时，图象与线段有一个交点， ∴， 故，∴， 综上所述，符合题意的范围是或． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，对称性，等腰三角形的三线合一性质，分类思想，一元二次方程与抛物线问题，判别式应用，熟练掌握交点坐标计算，对称性，分类思想是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点的横坐标为． (1)请直接写出，的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点为直线上一动点，当垂直平分时，求的值； (3)过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为，线段，的长度之和记为． ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】(1) (2) (3)①；②当时，点有2个，当时，点只有1个 【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出的值即可； （2）过点作轴交于点，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①设，且,则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出； ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入，得， ， 解得，； （2）解：如图所示，过点作轴交于点，连接， 由（1）可得抛物线解析式为 对称轴为直线， 当时，，则， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴轴， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得： 所以直线的解析式为， 设， ∵点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且,则， ∴， ∵ ∴， 解得：或（舍去） （3）解：如图所示， 设，且,则， 过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为， 则点与点关于对称， ∴ ∴， ∴； 当时， 当时， ∴ ②∵ 当时，, ∵当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而增大，最大值为（取不到）， 当时，, 当时， 对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小， 当时，（取不到）， 函数图象如图所示， ∴当时，点有2个，当时，点只有1个． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题，待定系数法求解析式，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在轴和轴的正半轴上，点B在第一象限，，，抛物线经过B，C两点． (1)求的值； (2)如图1，设Q是抛物线L上位于x轴上方的动点，当的面积最大且与矩形的面积相等时，求此时矩形的周长； (3)图2，设线段的两个端点坐标为，过点F作x轴的垂线，垂足为点H，连接． ①若抛物线L与直线有且只有一个公共点，求的值； ②当抛物线L与有公共点时，探究其公共点的个数及对应的取值范围． 【答案】(1)1 (2)24 (3)①；②当或抛物线L与没有公共点；当或抛物线L与有1个公共点；当时，抛物线L与有2个公共点；当，抛物线L与有3个公共点；当，抛物线L与有4个公共点． 【分析】本题主要考查了二次函数的面积问题、求二次函数的解析式、根的判别式、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先确定，再运用待定系数法法求得，然后代入计算即可； （2）由题意可知Q位于抛物线的顶点时，的面积最大；根据抛物线可确定顶点坐标，然后根据图形求得、矩形的面积，然后根据他们面积相等列方程求解即可； （3）①先求得直线的解析式为、抛物线的解析式为，然后联立可得，再根据题意可知方程的左边是完全平方式，据此列方程求解即可；②分情况画出图形，然后根据图形列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵矩形, ∴, ∵抛物线经过B，C两点， ∴，解得：， ∴． （2）解：当的面积最大时，Q位于抛物线的顶点，即， ∵， ∴， ∴的高为， ∴，， ∵， ∴，整理得：，解得：， ∴矩形的周长为． （3）解：∵，过点F作x轴的垂线，垂足为点H， ∴, 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的解析式为：， ∴，整理得： ， ∵抛物线L与直线有且只有一个公共点， ∴该方程的左边是完全平方平方式， ∴,整理得：，解得：， ∵， ∴； ②a、由①可得：， 如图：当与直线有一个交点时，由①可得； 有图像可知：当时，抛物线L与有没有公共点， b、如图： 当与直线有两个交点时，即方程有2个解， ∴且，解得：； c、如图：抛物线与抛物线L与有4个交点， 则 ，解得：， d、抛物线顶点在上时，，即，此时，抛物线与抛物线L与有3个交点， e、如图：抛物线与抛物线L与有4个交点， 则 ，解得：； f、如图：抛物线与抛物线L与有1个交点， ∵， ∴，解得：； g、如图：抛物线与抛物线L与有没有交点，即当时，，解得： 综上，当或抛物线L与没有公共点；当或抛物线L与有1个公共点；当时，抛物线L与有2个公共点；当，抛物线L与有3个公共点；当，抛物线L与有4个公共点． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，经过定点P作一次函数与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值?请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)是定值，理由见解析． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）以为顶点，在下方作，连交抛物线于点，过作交于，过点作轴于点，求出知是等腰直角三角形，可得，，故，，可得，，直线解析式为，联立方程组得，得，； （3）根据题意先确定点的坐标为，，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、、，证出，最后可求． 【详解】（1）抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）如图1，以为顶点，在下方作，连交抛物线于点，过作交于，过点作轴于点， ，令，得， ，又， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 设直线解析式为，把，，代入得： ， 解得， 直线解析式为， 联立方程组得， 解得（舍去）或， ，， （3）是定值．理由如下： 设，，，， 由得， ，， ，， ， ， 点是直线上一定点， ，， ， ， ，， 是定值． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$