专题04 二次函数图像与系数之间关系的三种考法-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题04 二次函数图像与系数之间关系的三种考法 目录 【考法一、二次函数图像与系数】 1 【考法二、二次函数与一次函数系数】 3 【考法三、二次函数与反比例函数系数】 5 【课后训练】 7 【考法一、二次函数图像与系数】 例．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴的负半轴于点C，顶点为D，连接，．给出下列结论：①；②当时，；③当是等腰直角三角形时，；④若是一元二次方程的两个根，且，则．其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是：（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 变式4．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考法二、二次函数与一次函数系数】 例．函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．  D．   变式1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 变式3．一次函数（a，b为常数）的图象如图所示，则二次函数 的图象是（   ）．    A．  B．   C． D．   变式4．如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【考法三、二次函数与反比例函数系数】 例．若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    ) A．B． C．D． 变式1．已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 变式2．二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（    ） A．B． C．D． 变式3．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【课后训练】 1．二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④ 4．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论： ①；②； ③若点，，在抛物线上，则； ④当时，以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形． 其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 6．拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 7．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数图像与系数之间关系的三种考法 目录 【考法一、二次函数图像与系数】 1 【考法二、二次函数与一次函数系数】 8 【考法三、二次函数与反比例函数系数】 12 【课后训练】 16 【考法一、二次函数图像与系数】 例．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 变式1．如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴的负半轴于点C，顶点为D，连接，．给出下列结论：①；②当时，；③当是等腰直角三角形时，；④若是一元二次方程的两个根，且，则．其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法．根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断①；根据抛物线的对称轴为直线，得出当时，该二次函数取最小值，即可判断②；连接，令对称轴与x轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断③；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 当时，， 整理得：，故①正确，符合题意； 当时，， 当时，， 由②可知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，该二次函数取最小值， ∵， ∴，即，故②不正确，不符合题意； 连接，令对称轴与x轴相交于点E， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，故③正确，符合题意； ∵，是一元二次方程的两个根， ∴抛物线与直线相交于， ∵抛物线交轴于，， ∴，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③，共2个， 故选：B． 变式2．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 变式3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是：（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系、二次函数图像的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由函数图像可知有两个不等的实数根，然后再运用根的判别式即可判定③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴，即①正确； ∵与x轴的一个交点在和之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故②正确； ∵与x轴的一个交点在和之间， ∴有两个不等的实数根， ∴， ∴，即③错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴，故④错误； 综上，①②正确，共两个． 故选：B． 变式4．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 【考法二、二次函数与一次函数系数】 例．函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．  D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和抛物线的图像特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； 故选：C． 变式2．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 变式3．一次函数（a，b为常数）的图象如图所示，则二次函数 的图象是（   ）．    A．  B．   C． D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图像的关系，掌握一次函数、二次函数图像与各项系数的关系成为解题的关键． 根据一次函数的图像可得，然后再判定抛物线的开口方向、与y轴的交点以及对称轴即可解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知， ∵二次函数， ∴抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴， 对称轴为， ∴满足条件的函数图象只有A． 故选：A． 变式4．如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可. 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点， ∴由图象可知，，即， 对于二次函数，其开口向上， 顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为， ∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴， 观察图象可知选D. 故选：D 【考法三、二次函数与反比例函数系数】 例．若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    ) A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向下，得出，与轴交点在轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴， ， 对称轴x， ， ，， 一次函数经过一、二、四象限， ， 反比例函数y位于二、四象限， 观察四个选项可知，只有C选项符合要求， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象得出a，b，c的正负是解题的关键． 变式1．已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． 变式2．二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据抛物线图象，得到，，，即可判断出答案． 【详解】解：根据抛物线图象，开口向上，即；与轴交于负半轴，故；对称轴在轴正半轴，即，所以； ∵中，，，∴排除A、B选项； ∵，，，∴，故排除C选项； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象及一次函数图象，熟练掌握函数图象和性质是本题的关键． 变式3．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的函数图象可知，，，即可确定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则， ∴一次函数图象经过一、二、三象限， 二次函数的图象，当时，， 反比例函数图象经过一、三象限 结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项 故选B 【课后训练】 1．二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断，将点代入，得，由图象可得对称轴为，可得，代入上式可得，再将五个结论分别分析即可由得到答案． 【详解】解：将点代入， 即， ∵图象可得二次函数的对称轴为，开口向下， ∴，， 即， 将代入， 可得． ①∵、， ∴，， ∴， ∴， 故①正确． ②∵， ∴， 故②正确． ③∵、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故③错误． ④∵、， 故， ∵， ∴， ∴， 故④错误． ⑤将代入，即， 再将、代入上式， 化简可得， ∴，， 将，，，代入则方程中， 即， 根据根的判别式， 可得方程没有两个不相同的实数根， 故⑤错误． 综上作述，正确的结论有两个， 故选． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有至少有一个交点，推得关于x的一元二次方程至少有一个实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，，即， ∵， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，故②正确； ③∵图象经过点，对称轴为， ∴二次函数与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，故③错误； ④∵图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：C． 4．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论： ①；②； ③若点，，在抛物线上，则； ④当时，以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形． 其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题是二次函数的应用，考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系，等边三角形的判定等，利用二次函数的图象与性质一一判断即可，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴在轴的右侧， ， 抛物线交轴的负半轴， ，故①正确，； 由图象可知，当时，， ，故②错误； 若点，，在抛物线上， 由图象法可知，，故③正确， 设抛物线的对称轴交轴于． ， ，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故④正确． 综上，结论正确的是①③④， 故选：B． 5．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；④根据两根之和，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【详解】抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， 时，， ，即，故②正确， 的图象过点和， ，，则， ， ，故③正确， ， ， ， ∵， ∴，故④正确， 对于，可得：， 由函数图象交点可知或， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 6．拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∵交y轴的负半轴， ∴， ∴， 故①正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 又，且， ∴， ∴．故②错误． 作点C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，连接， 此时的值最小． 将代入二次函数解析式得，， 又∵， ∴ ∴，即 又抛物线与y轴的交点坐标为， ∴点C坐标为， ∴点坐标为． 又∵当时，即． 设直线的函数表达式为 将点D坐标代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入得，． ∴点P的坐标为．故③正确． 将方程整理得，， ∵方程没有实数根， ∴抛物线与直线没有公共点， ∴， ∴， 解得， 又， 所以． 故④正确． 所以正确的有①③④． 故选：B． 7．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象得，，，即得，即可判断；根据对称轴及图象过点，得，，即可判断；由点是图象上任意两点，且，得点离对称轴近，点离对称轴远，再结合，即可判断；求出抛物线与轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵点是图象上任意两点，且， ∴点离对称轴近，点离对称轴远， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线为轴的另一个交点为， ∵， ∴方程的所有整数根为， ∴所有整数根的绝对值的和为，故错误； ∴正确的结论有，共个， 故选：． 8．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 9．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上，排除B选项和C选项，根据A选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向上，排除D选项，即可得出A为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上， ∴可以排除B选项和C选项； A选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，可以排除D选项， 故选A． 10．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】①抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到， 故①正确； ②， ， ， 无论取何值，总是负数， 故②正确； ③， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键， 根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵点C的纵坐标在～之间， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故③错误； ∵令相等，则 ∴，解得（舍），， ∴，故④正确； 故选A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$