专题03 一元二次方程应用的五种考法-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题03 一元二次方程应用的五种考法 目录 【考法一、销售利润问题】 1 【考法二、传播问题】 3 【考法三、数字问题】 5 【考法四、动态几何问题】 7 【考法五、工程问题】 9 【课后训练】 11 【考法一、销售利润问题】 例．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 变式1．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 变式2．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元． (1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价； (2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低销售，桑葚酒比预计单价降低元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值 变式3．年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为元/千克，水果商贩上门收购的价格为元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高元/千克．设网上销售价格为元/千克，本地自产自销的价格仍然为元/千克． （1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？ （2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？ 【考法二、传播问题】 例．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） (1)求每轮传染中平均每个人传染了几个人? (2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 变式1．为了响应“践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者．” (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人． ①分别求出他们三人号召的成功率； ②求出n的值． 变式2．R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic reproduction number．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染． (1)求德尔塔＋变异病毒的R0值； (2)国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%．若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？ 变式3．某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 11 12 y 1 16 33 53 …… 241 276 (1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数，根据图表，求出二次函数解析式； (2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足．请预计第几天新增病例清零； (3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由． 【考法三、数字问题】 例．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 变式1．【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 变式2．阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 变式3．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【考法四、动态几何问题】 例．如图：在直角梯形中，，它的下底比上底大4，高比上底小1，面积等于18． (1)求梯形的高 (2)动点P、Q同时从B点出发，P从B向终点C运动，速度为每秒一个单位，Q沿B-A-D向终点D运动，速度为每秒一个单位，一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动时间为t秒，几秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二？ (3)当Q点在线段上运动，使的面积取最大值时，求与梯形的面积比？ 变式1．如图①所示，四边形为矩形，，，若点从点出发沿以的速度向运动，从点出发沿以的速度向运动．，分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ (3)如图②，连接，作点绕点顺时针旋转的对应点，连接． ①的形状为________三角形； ②当点在四边形内部时，直接写出的取值范围． 变式2．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 变式3．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【考法五、工程问题】 例．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 变式1．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 变式2．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个． （1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 变式3．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2） 至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 【课后训练】 1．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%，HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为（），2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块，这三年丙类芯片的产量每年按相同的效量递增，这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%（手机与芯片一一匹配），求丙类芯片2020年的产量及m的值． 2．如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 3．某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资. 2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2. （1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？ （2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数. 4．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为_______； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 5．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 6．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元． (1)请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ (2)经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程应用的五种考法 目录 【考法一、销售利润问题】 1 【考法二、传播问题】 5 【考法三、数字问题】 9 【考法四、动态几何问题】 14 【考法五、工程问题】 23 【课后训练】 26 【考法一、销售利润问题】 例．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆；(2)促销时每袋应降价3元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 变式1．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 【答案】(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；(2)4900 【分析】（1）设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据“用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．”列出方程组，即可求解； （2）设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意，列出方程，即可求解 【详解】（1）解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得： ，解得：， 答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； （2）解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵规定每辆车月租金不能超过5000元， ∴m=4900， 答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 变式2．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元． (1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价； (2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低销售，桑葚酒比预计单价降低元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值 【答案】(1)预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，销售桑葚酒的单价为40元/千克；(2)20 【分析】（1）设预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为元/千克，根据销售桑菩酒和桑菩酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元，列分式方程，解此分式方程即可解答； （2）根据题意分别计算出降价后，桑葚酱的销售单价、销售量，桑葚酒的销售单价、销售量，再由销售总额比预计减少了3500a元列方程，解此方程即可解答． 【详解】（1）解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为元/千克， 根据题意得：， 解得： 经检验，是方程的解， 答：预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，则销售桑葚酒的单价为40元/千克． （2）桑葚酱降价后的单价为，桑葚酒降价后的单价为元， 桑葚酱的销量为千克，桑葚酒的销量为千克， ∴ 解得：a=20或a=0（舍去）， ∴a=20 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 变式3．年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为元/千克，水果商贩上门收购的价格为元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高元/千克．设网上销售价格为元/千克，本地自产自销的价格仍然为元/千克． （1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？ （2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？ 【答案】（1）吨；（2）300吨 【分析】（1）设利用网络平台进行销售前，每年有吨“留香瓜”卖给了水果商贩，根据题意列不等式即可求解； （2）设每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：（1）设利用网络平台进行销售前，每年有吨“留香瓜”卖给了水果商贩． 由题意，得 解之得： 答：利用电商平台进行销售前，每年至少有吨“留香瓜”卖给了水果商贩． （2）本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值为:600-500=100(吨) 设每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”．则 解得（舍去），， 答：每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，列出方程或不等式． 【考法二、传播问题】 例．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） (1)求每轮传染中平均每个人传染了几个人? (2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 【答案】(1)12个人；(2)85个 【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染中有人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这个方舱医院设置个重症病房，则设置个普通病房，由题意：重症病房不少于普通病房的，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 由题意得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人； （2）第三轮传染后，患病总人数为：（人）， 设这个方舱医院设置个重症病房，则设置个普通病房， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为85， 答：这个方舱医院至少设置85个重症病房． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 变式1．为了响应“践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者．” (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人． ①分别求出他们三人号召的成功率； ②求出n的值． 【答案】(1)10；(2)①小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为；②4 【分析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”列出方程，即可求解； （2）①根据题意得：小颖号召了n人，小丽号召了人，小红号召了人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少”列出方程，即可求解；②由①，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，即， 解得：（舍去） 答：m的值为10； （2）解：①根据题意，得：小颖号召了n人，小丽号召了人，小红号召了人， ∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， ∵小红的成功率比小颖的两倍少， ∴， 解得：， ∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， 答：小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为； ②由①得：n的值为4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 变式2．R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic reproduction number．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染． (1)求德尔塔＋变异病毒的R0值； (2)国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%．若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？ 【答案】(1)德尔塔＋变异病毒的R0值为8 (2)全民接种率至少应该达到75% 【分析】（1）由已知列出方程，即可解得德尔塔变异病毒的值； （2）根据已知列出不等式，即可解得答案． 【详解】（1）解：设R0值为x，根据题意得： ，解，得：（舍去），， 答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8； （2）解：设全民接种率至少应该达到，根据题意得： ， 令，则， ，解得， 即， ， 答：全民接种率至少应该达到． 【点睛】本题考查一元二次方程及不等式的应用，解题的关键是读懂题意，理解的意义，根据已知列方程（不等式）解决问题． 变式3．某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 11 12 y 1 16 33 53 …… 241 276 (1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数，根据图表，求出二次函数解析式； (2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足．请预计第几天新增病例清零； (3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)够用，理由见解析 【分析】（1）从图表中取两组x与y的值，分别代入二次函数求得a与b的值即可； （2）令中y的值等于0，解方程即可求解； （3）求得前12天确诊病例的总人数与2100相比较即可求解． 【详解】（1）由题意得， 当，时，① 当，时，② 解①②组成的方程组得 ， ∴二次函数的解析式为． （2）∵， ∴， 由题意得，则， 解得或(不合题意，舍去)， ∴预计第天新增病例清零． （3）由题意得，到第12天时，新增确诊病例最多， ∴最多确诊病例为： ， ∴政府准备了2100张病床，病床够用． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的的应用，理解题意是解题的关键． 【考法三、数字问题】 例．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数，∴也是正整数，∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：，整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 变式1．【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 【答案】（1），；（2）存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了图形规律探索以及一元二次方程的应用． （1）根据图形规律总结出规律并表示出来即可，并计算出结果． （2）根据题意列出关于n的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）图1中小正方形的数量是：（个） 图2中小正方形的数量是：（个） 图3中小正方形的数量是：（个） … 图n中小正方形的数量是：个， ， 故答案为：， （2）存在，理由如下： 根据题意：， 整理得：， 即， ∴，（舍去） 故时，使得等于的4倍． 变式2．阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【答案】(1)20706 (2) (3)这群人共有11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律 （1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答； （2）根据方法2：“递归法”计算即可； （3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答． 【详解】（1）， 故答案为：20706； （2）令 ..... ①， ....................② ②①：有， 故答案为：； （3）设这群人共有人， 由题意，得， 即， 解方程，得（舍去），， 答：这群人共有11人． 变式3．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 【考法四、动态几何问题】 例．如图：在直角梯形中，，它的下底比上底大4，高比上底小1，面积等于18． (1)求梯形的高 (2)动点P、Q同时从B点出发，P从B向终点C运动，速度为每秒一个单位，Q沿B-A-D向终点D运动，速度为每秒一个单位，一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动时间为t秒，几秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二？ (3)当Q点在线段上运动，使的面积取最大值时，求与梯形的面积比？ 【答案】(1)梯形的高为 (2)运动或秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二 (3)与梯形的面积比为 【分析】本题考查了梯形的面积，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设梯形上底为，则下底为，高为，列出关于梯形面积的方程求解即可； （2）由（1）可知，，，分开考虑当 Q点在上时，当 Q点在上时两种情况，分别列出方程求解即可； （3）连接，可得，代入数据可得，根据点在线段上运动，可得，故时，有最大值，即可求得的面积取最大值时，与梯形的面积比． 【详解】（1）解：设梯形上底为，则下底为，高为， 由题可得， 解得：，（舍去）， 梯形的高为； （2）解：由（1）可知：，，， 由题可考虑两种情况： ①当 Q点在上时， ， 解得：，， ，不符合题意， ； ②当 Q点在上时， ， 解得：， ，符合题意； 综上，运动或秒后，三角形的面积是梯形面积的九分之二； （3）解：如图，连接，，， 由图可知：， 由题可知：，，，，则， ， 点在线段上运动， ， ， 时，有最大值， ， ， 此时与梯形的面积比为：． 变式1．如图①所示，四边形为矩形，，，若点从点出发沿以的速度向运动，从点出发沿以的速度向运动．，分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ (3)如图②，连接，作点绕点顺时针旋转的对应点，连接． ①的形状为________三角形； ②当点在四边形内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1或3 (2)2 (3)①等腰直角；② 【分析】（1）由四边形为矩形，，，可得，，，的面积为，再解方程并检验即可； （2）由（1）得的面积为，利用二次函数的性质即可求解； （3）①由旋转的性质即可得出结论；②过点作垂足为H，证明，画出示意图即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴当或时，的面积为． （2）解：由（1）得的面积为， ， 时，的面积最大； （3）解：①由旋转的性质即可得 的形状为等啊哟直角三角形； ②过点作垂足为H， ， ， ， ， ， ， 如图，当时，点B与点H重合， 此时，点在上，则， 解得：， 如图，当时，点在四边形内部， 点在四边形内部时，． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 变式2．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 变式3．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵，∴， ∴不合，舍去，∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【考法五、工程问题】 例．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 变式1．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和 【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可； （2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程； （3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可． 【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则 ， ， 漫灌用水：， 喷灌用水：， 滴灌用水：， 答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨． （2）由题意得， ， 解得（舍去），，所以． （3）节省水费：元， 维修投入：元， 新增设备：元， ， 答：节省水费大于两项投入之和． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键． 变式2．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个． （1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【答案】（1）生产线至少生产口罩小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为． 【分析】（1）设生产线至少生产口罩小时，根据生产护目镜的总数量不少于个列出不等式求解即可； （2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多个列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设生产线至少生产口罩小时 解得： 答：生产线至少生产口罩小时. （2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为 解得： 生产时间： 答：设该厂实际每天生产口罩的时间为. 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程． 变式3．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28. 【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，列方程即可得出结论； （2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论． 【详解】（1）设原计划修建滨河步道x千米， 根据题意，得.解这个方程，得. 答：原计划修建滨河步道8千米   （2）根据题意， 一期工程疏通河道里程数：（千米）. 一期工程疏通河道费用：（万元/千米）. 一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米） 令，原方程可化为 ， 整理这个方程，得. 解这个方程，得，. ∴（舍去），.∴. 答：a的值是28. 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【课后训练】 1．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%，HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为（），2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块，这三年丙类芯片的产量每年按相同的效量递增，这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%（手机与芯片一一匹配），求丙类芯片2020年的产量及m的值． 【答案】丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400． 【分析】设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可求出x的值，则2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000（万部），由题意得出400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），设m%＝t，整理得：3t2＋2t−56＝0，解得：t＝4，或t＝−（舍去），即可得出答案． 【详解】解：设2018年甲类芯片的产量为x万块， 由题意得：x＋2x＋（x＋2x）＋400＝2800， 解得：x＝400； 2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600（万块）， 设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块， 则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400， 解得：y＝3200， ∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块）， 2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000（万部）， 则：400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−100%）2＋8000＝28000×（1＋10%）， 设m%＝t， 400（1＋t）2＋2×400（1＋t−1）2＋8000＝28000×（1＋10%）， 整理得：3t2＋2t−56＝0， 解得：t＝4，或t＝−（舍去）， ∴t＝4， ∴m%＝4， ∴m＝400； 答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当秒时，平分对角线 (3)若是以为腰的等腰三角形，的值为 【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，继而可得四边形为平行四边形，则可得，解此方程即可求得答案． （3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可； ②当时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案． 【详解】（1）证明：， 当秒时，两点停止运动，在运动过程中，， ，， 当时，，， 又四边形为等腰梯形， ， 四边形为平行四边形； （2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线． 理由如下： 连接交于点，如图1所示： 若平分对角线，则， ， ，， 在和中， ， ， ， 即四边形为平行四边形， ， 解得，符合题意， 当秒时，平分对角线． （3）解：分两种情况： ①当时，作于，于，与，如图2所示： 则，，， ，， ， ， ， 解得：； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，方程无解； 综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 3．某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资. 2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2. （1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？ （2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数. 【答案】（1）36；（2）35亿元；（3）50% 【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案． （2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案． （3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得． 【详解】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）； （2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元， 根据题意，得：， 解得：， ∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元； （3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元， 设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y， 由题意，得：20（1﹣y）2=5， 解得：y1=0.5，y2=1.5（舍） 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键. 4．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为_______； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：（）， 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 5．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 【答案】(1) (2)20元 (3)销售该书每天的利润不能达到8000元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．掌握利用待定系数法求一次函数解析式和理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键． （1）设y关于x的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可； （3）根据题意可列出关于x的一元二次方程，根据其根的判别式小于0，可判断其无解，即说明销售该书每天的利润不能达到8000元． 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：． ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解：根据题意得：，即，， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：该书的销售单价为20元； （3）解：根据题意得：，即，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴销售该书每天的利润不能达到8000元． 6．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元． (1)请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ (2)经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值． 【答案】(1)甲40本，乙60本；(2)6 【分析】本题主要考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设计划购买书籍甲本，书籍乙本，根据甲乙两种书籍共花费5720元列一元一次方程求解即可； （2）根据购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，列一元二次方程求解即可得解． 【详解】（1）解：设计划购买书籍甲本，书籍乙本．由题得： 解得： 答：计划购买书籍甲40本，书籍乙60本； （2）解：由题得： ∴ ∴（舍）， 答：的值为6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$