专题02 一元二次方程根与系数值关系的四种考法-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题02 一元二次方程根与系数值关系的四种考法 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、化简求值】 1 【考法二、构造二次方程】 4 【考法三、求参数】 6 【考法四、解不等式】 8 【课后训练】 11 【知识点归纳】 1.判别式：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 2.根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程有两个根，，那么， 【考法一、化简求值】 例1．（整体代换）设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为 ． 例2．（降幂）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 变式2．方程的两个根为、，则的值为 ． 变式3．设是方程的两实数根，则 ． 变式4．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ． 【考法二、构造二次方程】 例1．（直接构造）已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 例2．（间接构造）已知，，且，则 ． 变式1．已知实数a，b是满足 ，且，则的值是 ． 变式2．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 【考法三、求参数】 例．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 变式1．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是 ． 变式2．关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k= 【考法四、解不等式】 例．已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 变式1．关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 变式2．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是 ． 变式3．关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【课后训练】 1．已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 2．已知满足，，且，则的值为 ． 3．如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 ． 4．若方程的根也是方程的根，则 ． 5．设实数s、t分别满足，并且st≠1，求 6．双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为 ． 7．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 8．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程根与系数值关系的四种考法 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、化简求值】 1 【考法二、构造二次方程】 4 【考法三、求参数】 6 【考法四、解不等式】 8 【课后训练】 11 【知识点归纳】 1.判别式：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 2.根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程有两个根，，那么， 【考法一、化简求值】 例1．（整体代换）设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为 ． 【答案】2017 【详解】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，∴α2+α﹣2018＝0，∴α2＝﹣α+2018， ∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018， ∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣1， ∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017． 故答案为2017． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系. 例2．（降幂）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 变式1．若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解． 变式2．方程的两个根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得α+β=-3，α•β=1，即可得，，再把化为，最后代入求值即可. 【详解】∵方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，∴α+β=-3，α•β=1，∴，， ∴= 故答案为3. 【点睛】本题考查了根与系数的关系及整体思想的运用，解题时要注意判定，. 变式3．设是方程的两实数根，则 ． 【答案】 【分析】先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】∵是方程的两实数根，∴,∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根，∴,∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 变式4．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ． 【答案】8． 【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果. 【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1， ∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+ ＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键. 【考法二、构造二次方程】 例1．（直接构造）已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 例2．（间接构造）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，把方程两边同时除以，然后把，看成的两个实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意知：，， 把变形为， ∵，，且，， ∴把，看成的两个实数根， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练的掌握根与系数的关系是解题的关键． 变式1．已知实数a，b是满足 ，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，推断出a，b是方程的两根是解题的关键，根据题意可知a，b是方程即的两根，得到，，从而利用得解． 【详解】解：∵，且， ∴a，b是方程即的两根， ∴，， ∴， 故答案是：． 变式2．已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键． 把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， x，是一元二次方程的两个不同的根， ， ， 故答案为：24． 【考法三、求参数】 例．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 变式1．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是 ． 【答案】-2或 【分析】先由x12-2x1+2x2=x1x2，得出x1-2=0或x1-x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1-2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，解方程求出k=-2；②如果x1-x2=0，那么△=0，解方程即可求解． 【详解】∵x12-2x1+2x2=x1x2， x12-2x1+2x2-x1x2=0， x1（x1-2）-x2（x1-2）=0， （x1-2）（x1-x2）=0， ∴x1-2=0或x1-x2=0． ①如果x1-2=0，那么x1=2， 将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0， 整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2； ②如果x1-x2=0， 则△=（2k+1）2-4（k2-2）=0．解得： ， ∴k的值为-2或． 故答案为：-2或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验． 变式2．关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k= ． 【答案】0或1或 【分析】分情况讨论，假设或，当时，原式是一元一次方程必有根，当时，利用根与系数的关系公式求出根的可能性，从而求出k的值． 【详解】解：若，则是方程的根， 若，根据根与系数的关系，得，， 两式相减得，则， 不妨设，若，，解得，，此时，， 若，，解得，，此时，， 综上：k的值为0或1或． 故答案是：0或1或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式． 【考法四、解不等式】 例．已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 变式1．关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是求出． 根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，从而得出，则，即可求出，再根据即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键． 先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根据根的范围，求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 设的两个根为，， 由根与系数的关系可知，，， ∴， ∵，均大于1且小于2， ∴，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 变式3．关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3 【分析】由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分别根据： （1）由两根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范围； （2）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴，依此求出a的取值范围； （3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围； 【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根， ∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0， ∴a＜-1或a＞2． 设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β， α+β=2a，αβ=a+2． （1）∵两根都小于0， ∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，解得：-2＜a＜0， 又，a＜0； ∵a＜-1或a＞2，∴-2＜a＜-1； （2）∵两根都大于1， ∴（α-1）（β-1）＞0， ∴αβ-（α+β）+1＞0， ∴a+2-2a＞-1， ∴a＜3， 又，a＞1； 又a＜-1或a＞2， ∴2＜a＜3； （3））∵一根大于1，一根小于1，∴（α-1）（β-1）＜0， ∴αβ-（α+β）+1＜0，∴a+2-2a＜-1， ∴a＞3. 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=. 【课后训练】 1．已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 将代入方程，得， 即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 2．已知满足，，且，则的值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题中两个方程得到是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵满足，， ∴是方程的两个根， ∴， ∴ 故答案为：65． 3．如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 ． 【答案】2008 【详解】分析：根据题意知m、n是关于x的方程x2-2x-1=0的两不等的实数根；然后利用根与系数的关系求得m+n=2；最后将m+n、m2、n2的值代入所求的代数式并求值即可． 详解： ∵m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1， ∴m、n是关于x的方程x2-2x-1=0的两不等的实数根， ∴m+n=2； 又m2-2m=1，n2-2n=1， ∴m2=2m+1，n2=2n+1， ∴2m2+4n2-4n+1994 =2（2m+1）+4（2n+1）-4n+1994 =4m+2+8n+4-4n+1994 =4（m+n）+2000 =4×2+2000 =2008； 故答案是：2008． 点睛：本题考查了代数式求值、根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 4．若方程的根也是方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系． 设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 5．设实数s、t分别满足，并且st≠1，求 【答案】-5 【详解】试题分析：由题意得s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出结果． 把方程转化为 ∴s与是方程的两个根 ∴， ∴ 考点：一元二次方程根与系数的关系，代数式求值 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，；注意将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 6．双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为 ． 【答案】0 【分析】设x2＝a，将方程变为一元二次方程，求出两根的和与积，得到a1＞0，a2＞0，再分两种情况x2＝a1、x2＝a2求出两根和即可. 【详解】设x2＝a，则原方程可化为：a2﹣2019a+4＝0， ∵△＝（﹣2019）2﹣4×4＞0， ∴方程有两个不相等的实根， 设方程a2﹣2019a+4＝0的两根为a1、a2， ∴a1+a2＝2019，a1a2＝4， ∴a1＞0，a2＞0， 当x2＝a1时，有两个不相等的实数根，两根和为0， 当x2＝a2时，有两个不相等的实数根，两根和为0， ∴双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为0， 故答案为：0． 【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并熟练运用解题是关键. 7．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k＞﹣且k≠0；（2）存在，详见解析 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据即可求出k的值，看是否满足（1）中k的取值范围，从而确定k的值是否存在． 【详解】解：（1）由题意知，k≠0且△＝b2﹣4ac＞0 ∴b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0， 即4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0， ∴12k＞﹣4 解得：k＞且k≠0 （2）存在，且理由如下： ∵ 又有    k＞且k≠0， ∴满足条件的k值存在，且 ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 8．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$