专题14 分式方程中的参数问题四种考法-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题14 分式方程中的参数问题四种考法 目录 【考法一、整数解问题】 1 【考法二、增根问题】 4 【考法三、无解问题】 6 【考法四、解的正负问题】 8 【课后训练】 10 【考法一、整数解问题】 例．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 变式1．若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为 ． 变式2．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 变式3．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 变式4．若关于x的一元一次不等式组 有解且至多5个偶数解，且关于y的分式方程 的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【考法二、增根问题】 例．已知分式方程有增根，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ． 变式2．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．1 C． D．3 变式3．若关于的分式方程有增根，求的值． 【考法三、无解问题】 例．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．－1 C．或0 D．0或－1 变式1．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 变式2．若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 变式3．若以x为未知数的方程无解，则 . 【考法四、解的正负问题】 例．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 变式1．若方程的解是正数，则的取值范围是 ． 变式2．已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 变式3．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 【课后训练】 1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 3．若整数a使得关于x的方程的解为非负数，且使得关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 5．若关于x的分式方程 (m为常数)有增根，则 6．已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是 ． 7．已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 8．已知关于的分式方程有增根，则的值为 ． 9．若关于x的分式方程无解，则 ． 10．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 11．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 12．已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 分式方程中的参数问题四种考法 目录 【考法一、整数解问题】 1 【考法二、增根问题】 4 【考法三、无解问题】 6 【考法四、解的正负问题】 8 【课后训练】 10 【考法一、整数解问题】 例．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 变式1．若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解不等式组和分式方程，先求出不等式组的解集，然后根据不等式组有且仅有5个整数解，得出，根据a为整数得出，解关于y的分式方程，得，根据关于y的方程有整数解，求出结果即可． 【详解】解：由等式组得， 由仅有5个整数解，知， 从而， 解得， 从而整数； 解关于y的分式方程，得， ∵关于y的方程有整数解， ∴， 当时，， 经检验，是分式方程的解， ∴． 故答案为：6． 变式2．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，熟练掌握解不等式组是解题的关键．根据题意解出的取值范围，再利用分式方程有非负整数解求出的取值范围，将两者结合即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解集为，，解得， 由于分式方程有非负整数解， 且， ， 且， 且， 取整数且使方程有非负整数解， 取， 故满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 变式3．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 解不等式组求出的取值范围，再根据方程有非负整数解，求出的值，可得结论． 【详解】解：，由①得，由②得， 不等式组的解集为， ，． ， ， ． 方程有非负数解， ，，， 所有符合条件的整数的和为． 故选C． 变式4．若关于x的一元一次不等式组 有解且至多5个偶数解，且关于y的分式方程 的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，关键是根据不等式组的解集的情况求参数的范围．根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组和分式方程，根据不等式组的解集的情况和分式方程的解的情况，求出所有整数的值，求和即可． 【详解】解，得：， 不等式组有解且至多5个偶数解， ，解得：， 解，得：， 分式方程的解为整数， 为整数，且， 整数的值可以为：，，，，，0，3， ， 符合条件的所有整数为，，0，3，它们的和为； 故答案为：． 【考法二、增根问题】 例．已知分式方程有增根，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】去分母得： 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故选：C． 变式1．关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∵原方程有增根，∴最简公分母，解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 变式2．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根问题，先将方程化为整式方程，根据有增根可得，代入即可得到m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵原方程增根为， ∴把代入整式方程，得． 故选：C． 变式3．若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】的值为或． 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】方程两边都乘，得，则， ∵原方程增根为或， ∴把代入整式方程，得， 把代入整式方程，得， ∴的值为或． 【考法三、无解问题】 例．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．－1 C．或0 D．0或－1 【答案】C 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要熟记的内容． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故选：C 变式1．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 【答案】C 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 变式2．若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 【答案】0或2或4 【分析】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键．分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， ∵无解， ∴，即时，方程无解； 当时，方程也无解，此时，则有， ∴． 当时，方程也无解，则有， 故答案为：0或2或4． 变式3．若以x为未知数的方程无解，则 . 【答案】或或 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，包含两类无解的问题：方程增根无解和化简后系数为0无解． 解方程求得，分类讨论方程无解即可． 【详解】去分母得， 整理得，① 当时，方程①无解，此时原分式方程无解； 当时，原方程有增根为或. 当增根为时，，解得； 当增根为时，，解得. 综上所述，或或. 故答案为：−1或或−2. 【考法四、解的正负问题】 例．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非负数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 方程的解为非负数， ， 解得， 又， ， ， ， 的取值范围是且． 故选：C． 变式1．若方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，求不等式的解集．将a看成一个常数，然后按照分式方程的解法求出x即可求出a的范围． 【详解】解：去分母得， ∴， ∵分母不能为0， ∴把代入， 得：， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， ∴且， 故答案为：且． 变式2．已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程有一个正数解，可得，且，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程有一个正数解， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 变式3．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ， ， 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为：， ∴满足条件的整数a的值的和为：， 故答案为： 【课后训练】 1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，再由题意得出，，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，， 解得：且， 故选：B． 2．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数．先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 为负数，且， ，且， 解得，且， 的取值范围是， 故答案为：． 3．若整数a使得关于x的方程的解为非负数，且使得关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】8 【分析】表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出的范围，进而求出的具体范围，确定出整数的值，求出之和即可．此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解为非负数，且为整数， 且，即且，∵ ∴不等式组整理得：，即， 不等式组至少有3个整数解， ， 综上，的范围为且，，即，3，4 则满足条件的之和为． 故答案为：8 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 5．若关于x的分式方程 (m为常数)有增根，则 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母，解得， 把代入得到，，解得， 故答案为：． 6．已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是 ． 【答案】1或3或4 【分析】本题考查分式方程的解，先将m当作已知解方程，根据方程的解为整数可得m的取值，再结合分母不为0舍去不符合的m的值即可求解． 【详解】解： 解得：， ∵关于x的分式方程的解是整数， ∴m的取值为1，0，3或4， ∵，， ∴m的取值为1或3或4， 故答案为：1或3或4． 7．已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验． （1）分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得的范围；（2）解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式．求得的范围；综上所述，求得的范围．根据为整数，求出的值，最后求和即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； （2）分式方程两边都乘以得：，解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴为整数． ∴为偶数， ∵分式要有意义， ， ， 综上所述，且且为偶数， ∴符合条件的所有整数的数有：， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：；． 8．已知关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式方程有增根问题，先去分母，根据分式方程有增根进而可求解，熟练掌握分式方程分母为0时的解就是分式方程的增根是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 由分式方程有增根得：增根为， ∴， ， 故答案为：． 9．若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键． 解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，，求解即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故答案为： 10．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．不等式组整理后，由已知不等式组的解集，确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正整数确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 不等式组的解集为， ， 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解为正整数，， 或6或， 解得：或7或9， 则所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：19． 11．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 【答案】（1）  （2）2 【分析】本题主要考查了解分式方程以及增根的概念，如果一个分式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原方程的增根，掌握解分式方程以及增根的概念是解本题的关键． （1）先找出最简公分母，方程两边同乘以，解得，再将方程的增根代入，即可求解． （2）由（1）得，进而解分式方程，得到，解得，即可求解． 【详解】（1）方程两边同乘以，得，， 解得， 方程有增根， ， 把代入中，得， 解得， 的值为1． （2）由（1）得， 方程为， 方程两边同乘以，得， ， ， 可得， 解得， ． 12．已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1.5；(2)m的值为或或1.5 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解； （2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴，解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1.5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1.5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$