专题12 因式分解压轴培优专项训练（30道）-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题12 因式分解压轴培优专项训练（30道） 一、填空题 1．分解因式：＝ ． 2．分解因式： ． 3．如果，那么 . 4．因式分解：= . 二、解答题 5．用简便方法计算： (1)； (2)． 6．+--4xy-1 7．因式分解： 因式分解： 8． 9． 10．分解因式： 11．因式分解： (1) (2) 12．分解因式： 13．因式分解： 15．分解因式： （1）；（2）. 16．因式分解：（1）          （2） 17．因式分解： 18．分解因式：. 19．设x、y为正整数，且，求xy的值. 20．分解因式：. 21．分解因式： 22．分解因式：. 23．分解因式：. 24．分解因式：. 25．分解因式：. 26．分解因式：. 27．分解因式：. 28．分解因式：. 29．因式分解： (1) (2) 30．分解因式：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 因式分解压轴培优专项训练（30道） 一、填空题 1．分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查的提取公因式以及因式分解的计算，根据题意先提取公因式，然后再因式分解即可得出答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为． 【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正确解答本题的关键． 3．如果，那么 . 【答案】18 【分析】运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整体代入上式，这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现x2+2x，再代入求解即可． 【详解】解：∵x2+2x=3 ∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15 =x2×3+5x3+8x2-13x+15 =5x3+11x2-13x+15 =5x（x2+2x）+x2-13x+15 =15x+x2-13x+15 =x2+2x+15 =3+15 =18 故答案为18. 【点睛】本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15变化后的式子，降低了x的次数，使问题最终得以解决． 4．因式分解：= . 【答案】（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）． 【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x的二次项，x的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x2﹣2x+1为一组． 【详解】原式= （x2﹣2x+1）﹣y2= （x﹣1）2﹣y2=（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）． 故答案为（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x的二次项，x的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组． 二、解答题 5．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000；(2)1000 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）运用完全平方公式计算，即可求解； （2）运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 6．+--4xy-1 【答案】 【分析】将分解为两个，然后利用完全平方式对两部分式子进行因式分解，最后利用平方差公式即可得出答案 【详解】原式=             =             = 【点睛】本题主要考查了因式分解中的重新分组，根据实际情况重新将式子分组再因式分解是关键 7．因式分解： 【答案】 【分析】观察式子可发现：，故可设，，将原式变为进行化简分解，最后将A、B替换再化简即可. 【详解】解：设，， 则, ∴原式= = = = = =. 【点睛】本题考查因式分解，观察得出式子之间的关系是解答本题的关键. 因式分解： 8． 9． 【答案】8． 9． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行分解． 8． =xy（2x-3y）（2x+3y） 9． =（x2-6-3）2 =（x+3）2（x-3）2 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键． 10．分解因式： 【答案】 【分析】先去括号，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题的关键． 11．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； （2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设 令，，得， 令，，得， 解得，， 所以． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键． 12．分解因式： 【答案】. 【分析】先变形为，利用分组分解法、十字相乘法进行因式分解． 【详解】解： = = = 故答案是：. 【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、十字相乘法的一般步骤是解题的关键． 13．因式分解： 【答案】 【分析】先分组分解后提取公因式即可. 【详解】 【点睛】本题考查的是分解因式，能正确的进行分组是关键. 14．因式分解：. 【答案】 【分析】先根据多项式的乘法法则，求出结果，再利用乘法公式，进行分组分解因式，即可. 【详解】 【点睛】本题主要考查用乘法公式分组分解因式，熟悉完全平方公式和平方差公式，是解题的关键. 15．分解因式： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据整式的乘法法则计算，然后再将分成两个2xy，分别分组进行因式分解即可； （2）将看作一个整体，先将原式变形，再利用十字相乘法进行分解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查的是因式分解，熟练的掌握分组分解法，提公因式法，乘法公式法和十字相乘法是解题的关键. 16．因式分解：（1）          （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将看作整体，利用十字相乘法分解为两个多项式相乘，然后再每个多项式利用十字相乘法进行分解即可； （2）先对前两项提公因式再运用平方差公式分解，然后把后两项看作整体，进行提公因式整理即可. 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= = = =. 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法是解题的关键 17．因式分解： 【答案】 【分析】先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可. 【详解】解：原式== =. 【点睛】本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键. 18．分解因式：. 【答案】 【分析】首先去括号，再重新分组为m2n2+2mn+1与（n2+m2-2mn），再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：原式=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2） =（mn+1）2-（m-n）2 =（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）. 【点睛】此题考查了分组分解法分解因式以及二次三项式的分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解， 19．设x、y为正整数，且，求xy的值. 【答案】36或32 【分析】由原方程变形为x2+（y+2）2=100，得到y=-2，由于x，y为正整数，则x只能取1～9之间的整数，所以当x=6，y=6；当x=8，y=4，即可得到xy的值． 【详解】∵x2+y2+4y-96=0， ∴x2+（y+2）2=100， ∴y=-2， 而x，y为正整数， ∴x只能取1～9之间的整数， ∴当x=6，y=6；当x=8，y=4， ∴xy=36或32． 【点睛】本题考查了方程整数解的求法：把方程进行变形，使方程左边分解为含未知数的两个式子，右边为常数，然后利用整数的整除性求解． 20．分解因式：. 【答案】 【分析】把原式看作关于x的代数式，把分解为，再用十字相乘法和平方差公式分解即可， 【详解】解： = ∵ ∴原式 ． 【点睛】此题是十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解． 21．分解因式： 【答案】 【分析】先将原式展开整理得，然后把-4ab拆项将原式重新分组得即可解答. 【详解】解： = ． 【点睛】本题考查了因式分解，利用了分组分解法，公式法分解因式，注意分解要彻底． 22．分解因式：. 【答案】 【分析】由多项式特征可知多项式可分解为，然后展开根据系数之间的关系可得关于ab方程组，解方程即可求出a、b，从而解答此题. 【详解】解：设= ∴， ∴ 解得，． ∴= 【点睛】本题考查了因式分解中的待定系数法分解因式，根据根据多项式的特征得出分解后的因式，展开后根据系数之间的关系列出方程组是解题的关键． 23．分解因式：. 【答案】 【分析】由换元法可将原式化简，设，，即可得原式=，展开后用分组分解法继续分解因式即可.然后将，代入继续用分组分解法分解即可 【详解】解：设，，则 原式 ， =， =， =，， ∴原式= =， =． 【点睛】本题主要考查了分组分解法和公式法因式分解，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 24．分解因式：. 【答案】 【分析】设，代入可得原式，用十字相乘法分解可得 将代入可得，进一步分解即可解答 【详解】设， 则原式 ． , ∴原式=， =, = = 【点睛】本题考查了分解因式，使用换元法简化过程、熟练掌握十字相乘法与公式法分解因式是解题的关键． 25．分解因式：. 【答案】 【分析】将拆成，原式即可利用完全平方公式和平方差公式因式分解． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解， 26．分解因式：. 【答案】 【分析】通过添项0项再拆为后，再将多项式分为3组，变形为然后进一步分解前两组并提公因式得，再继续提公因式即可解答. 【详解】解：原式， ， ， , , , ． 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解， 27．分解因式：. 【答案】 【分析】首先利用补项法再利用完全平方公式分解即可，再利用平方差公式分解得出． 【详解】解：x2-2xy-3y2+2x+10y-8 =x2+（2x-2xy）-3y2+10y-8 =x2+2x（1-y）-3y2+10y-8 =x2+2x（1-y）+（1-y）2-（1-y）2-3y2+10y-8 =[x+（1-y）]2-1+2y-y2-3y2+10y-8 =[x+（1-y）]2-（4y2-12y+9） =[x+（1-y）]2-（2y-3）2 =[x+（1-y）-（2y-3）][x+（1-y）+（2y-3）] =（x-3y+4）（x+y-2）． 【点睛】此题是因式分解-双十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解． 28．分解因式：. 【答案】 【分析】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）； 【详解】解：6x2-5xy-6y2+2x+23y-20； ∴6x2-5xy-6y2+2x+23y-20=（3x+2y-5）（2x-3y+4）； 【点睛】此题是因式分解-双十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解． 29．因式分解： (1) (2) 【答案】， 【详解】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），由此可以完成分解因式． 试题解析：（1） =-4x（）· =· （2） = = = 考点：因式分解 30．分解因式：. 【答案】（x﹣1）（x+2）（x2+x+5） 【分析】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 【详解】设x2+x=y，则 原式=（y+1）（y+2）﹣12=y2+3y﹣10 =（y﹣2）（y+5）=（x2+x﹣2）（x2+x+5） =（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）． 【点睛】本题主要考查了因式分解-十字相乘法，对于展开后次数较高的因式分解，不要急于展开，要多观察查找规律．常用换元法来解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$