专题11 乘法公式的五种考法全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题11 乘法公式的六种考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用平方差公式运算】 2 【考法二、平方差公式与几何图形】 3 【考法三、完全平方式求参】 5 【考法四、完全平方式整体代换】 6 【考法五、配凑完全平方式】 6 【考法六、完全平方式与几何图形】 8 【课后练习】 10 【知识点归纳】 知识点1 平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 知识点2 完全平方公式 完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式 ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 知识点3 平方差与完全平方公式的基本运用 解题技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。 完全平方公式：用 平方差公式为：，常见变化如下： 位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（） 系数变化：（3a+2b）（3a－2b）= 指数变化： 项数变化：（a+b－c）（a－b+c）= 连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）= 【考法一、利用平方差公式运算】 例1．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 例2．计算： ． 变式1．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 变式2．计算： ． 变式3．若，则 ． 【考法二、平方差公式与几何图形】 例1． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． (1)填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 (2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． (3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． (4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 例2．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　；②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 变式1．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 变式2．如图所示的两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母的代数式表示） (2)由（1）你可以得到等式 ； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 变式3．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 【考法三、完全平方式求参】 例．若关于x的多项式是完全平方式，则k的值等于 ． 变式1．如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 变式2．若是一个完全平方式，则 ． 变式3．如果是一个完全平方式，则 ． 变式4．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【考法四、完全平方式整体代换】 例．已知x满足，则的值是 ． 变式1．已知（2021﹣a）（a﹣2022）＝5，则（a﹣2021）2+（a﹣2022）2＝ ． 变式2．已知，则的值是 ． 【考法五、配凑完全平方式】 例．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长为 ． 变式1．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 变式2．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：，， ，，，，． 问题：（3）若，则的值为________； （4） 试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 【考法六、完全平方式与几何图形】 例．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：___________；方法2：___________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知，，求___________． (4)已知，求的值． 变式1．【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    变式2．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 变式3．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【课后练习】 1．若 是一个完全平方式，则k是（   ） A． B． C． D． 2．如果是一个完全平方式，则整式k为 ． 3．的值为 ． 4．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如）．已知“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…、则第2022个“智慧数”是 ． 5．若，则 ． 6．利用平方差公式计算的结果为 ． 7．小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) (2) 8．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 9．【阅读理解】 “若x满足，求的值” 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，则的值为 ； (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是12，分别以为边作正方形，则阴影部分的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 乘法公式的六种考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用平方差公式运算】 2 【考法二、平方差公式与几何图形】 5 【考法三、完全平方式求参】 11 【考法四、完全平方式整体代换】 13 【考法五、配凑完全平方式】 14 【考法六、完全平方式与几何图形】 18 【课后练习】 25 【知识点归纳】 知识点1 平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 知识点2 完全平方公式 完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式 ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 知识点3 平方差与完全平方公式的基本运用 解题技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。 完全平方公式：用 平方差公式为：，常见变化如下： 位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（） 系数变化：（3a+2b）（3a－2b）= 指数变化： 项数变化：（a+b－c）（a－b+c）= 连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）= 【考法一、利用平方差公式运算】 例1．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：A．∵ ， ∴选项A能运用平方差公式，不合题意； B．，不能运用平方差公式，符合题意； C．∵ ， ∴选项C能运用平方差公式，不合题意； D．∵ ， ∴选项D能运用平方差公式，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 例2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式简便计算，将化为，再根据平方差计算化简即可． 【详解】解： 变式1．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先变形再利用平方差公式进行运算，进而得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方差公式的应用．设，原方程化为，整理得，再平方根解方程，进一步计算即可求解． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ∴，即，∴， ∵不论a、b为何值，不能为负数， ∴．故答案为：6． 【考法二、平方差公式与几何图形】 例1． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． (1)填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 (2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． (3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． (4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 【答案】(1)5， (2) (3) (4)1275 【分析】(1)a=3，b=-2时，; 时，a-b=． (2)小空1  大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可． 小空2   把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可． (3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可． (4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1） a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 5 （2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，， ∴阴影部分的面积为a2-b2； 小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b， ∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)． 故答案为： （3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是． （4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1 =(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1) =(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1) =50+49+48+47+46+45+…+2+1==1275 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 例2．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：． 【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； 应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得； ②利用两次平方差公式即可得； 拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为， 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：， 故答案为：； 应用：①， 故答案为：12； ②原式， ， ； 拓展：原式， ， ， ， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 变式1．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 变式2．如图所示的两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母的代数式表示） (2)由（1）你可以得到等式 ； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 【答案】(1) (2) (3)①5550；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据两阴影部分的面积相等解答； （3）①利用平方差公式进行计算即可得解；②利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）图2中的阴影部分面积为； 故答案为：； （2）由（1）你可以得到的等式是：； 故答案为：； （3）① ； ②， ， ，． 变式3．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【详解】（1）解：图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为， 因此， 故选：C； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ∴， ∴ ， 答：不规则四边形BGED的面积为15； ② 【考法三、完全平方式求参】 例．若关于x的多项式是完全平方式，则k的值等于 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查根据完全平方式求参数的值，根据完全平方式的特点“首平方，尾平方，首尾的2倍在中央”进行求解即可． 根据完全平方公式的特点即可解得． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴，解得：或． 故答案为：6或． 变式1．如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点即可求解，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 变式2．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是和．根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：． 变式3．如果是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ， ∴， 故答案为：． 变式4．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 【考法四、完全平方式整体代换】 例．已知x满足，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式：，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据题意原式可化为，再应用完全平方公式可化为，应用整体思想合并同类项，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 变式1．已知（2021﹣a）（a﹣2022）＝5，则（a﹣2021）2+（a﹣2022）2＝ ． 【答案】-9 【分析】当数据较大时，一般使用换元法，设m＝a−2021，n＝a−2022，则原题变为m2＋n2的值，再利用完全平方公式进行求解． 【详解】解：设m＝a−2021，n＝a−2022， 则原题变为：−mn＝5，即mn＝-5，求m2＋n2， ∵m2＋n2 ＝（m−n）2＋2mn ＝[（a−2021）−（a−2022）]2-2×5， ＝（a−2021−a＋2022）2-10 ＝1-10 ＝-9． 故答案为：-9． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形，关键是把里面的多项式整体换元，让问题变得简单． 变式2．已知，则的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查完全平方公式，原式化为：，将作为一个整体进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考法五、配凑完全平方式】 例．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 变式1．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）根据，代入可得答案； （2）由多项式乘多项式法则可得，将已知代入可得的值； （3）根据题意可知：，进而得到的值，代入可得答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴, ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 【点睛】本题考查完全平方公式的推广，解题的关键是掌握完全平方公式． 变式2．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：，， ，，，，． 问题：（3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵，∴， ∴即， ∵，∴，故答案为； （3）∵，∴即 ∴，∴，∴，故答案为：4 （4）存在，原式    当，时，原式最小，，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 【考法六、完全平方式与几何图形】 例．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：___________； 方法2：___________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知，，求___________． (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)16 【分析】（1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）由可得，故，，即可得出结果； （4）设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，； （3）解：由（2）题结论可得， ，时， ， ； ； （4）解：设，， 可得， ， ， 又， 且由， 可得， ． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． 变式1．【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30． 【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①设，，则，，由进行计算即可； ②设，，则，，由进行计算即可； （3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∵， ， 答：； （2）①设，，则，， ， 故答案为：7； ②设，，则，， ， 故答案为：3； （3）设，， ，， ，， 即，， ， 即， ， 答：一块直角三角板的面积为30． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． 变式2．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)；；． 【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出； （）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：大正方形的边长为， ∴； 方法：大正方形面积各个部分面积之和， ∴； 故答案为：；； （2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 变式3．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【答案】（1）2560；（2）31；（3）1026；（4）3636 【分析】（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． 【课后练习】 1．若 是一个完全平方式，则k是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方公式的结构特点求解即可； 【详解】是一个完全平方式， 是一个完全平方式，， 故答案为：B； 2．如果是一个完全平方式，则整式k为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了完全平方式，形如的式子叫完全平方式．把变形为或分别求解． 【详解】解：是一个完全平方式 若，则； 若，则． 故答案为：或或． 3．的值为 ． 【答案】 【分析】设，利用平方差公式求出的值，由此即可得． 【详解】设， 则， ， ， ， ， ， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键． 4．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如）．已知“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…、则第2022个“智慧数”是 ． 【答案】2699 【分析】本题考查了平方差公式及数字的规律问题，正确得出题中的数字规律是解题的关键． 观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，则第n组的第一个数为（，且n为正整数），用2020除以3可知2020是第674组的第1个数，用4乘以674即可得出答案． 【详解】观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ， ∴第2022个智慧数是第674组中的第3个数，即为． 故答案为：2699． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运算，根据，结合题意即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 6．利用平方差公式计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，把分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出，据此即可得出答案； （3）根据完全平方公式得出，再代入，据此即可得出答案． 【详解】（1） 解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （3）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 9．【阅读理解】 “若x满足，求的值” 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，则的值为 ； (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是12，分别以为边作正方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)79 (2) (3)32 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，完全平方公式与几何图形的面积： （1）令，利用完全平方公式的变形计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）根据题意，得到，，进而得到，再根据阴影部分的面积等于，求解即可． 【详解】（1）解：令，则：，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）由题意，得：，， ∵长方形的面积是12， ∴， 令， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴阴影部分的面积等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$